数学联邦政治世界观
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数学视觉思维的认识论(二)

我们面临的一个问题是,为了通过遵循涉及任意实例的概括(又名普遍概括或普遍量词引入)的论证来了解结论的真实性,思维是否必须包括有意识的、明确的检查满足条件。事实上满足条件显然是不够的。因为在这种情况下,满足条件可能只是思想家的运气好。因此,思考者不会知道概括是有效的,因此不会在该步骤中真正思考证明。

这留下了两个选择。严格的选择是,如果没有有意识的、明确的检查,就没有真正思考过证明。宽松的选择是,人们可以正确地思考证明,而不检查是否满足条件,但前提是人们对潜在的错误敏感,并且会在其他类似的论证中检测到它。因为这样一来,满足条件就不仅仅是幸运了。在这种情况下保持敏感在于警惕对任意实例的特征的依赖,这些特征并非为泛化类别的所有成员所共享,这是一种由过去的经验和当前的警惕相结合产生的状态。如果没有令人信服的理由选择这些选项之一,那么关于什么算作证明或遵循证明的决定必须是有条件的。

所有这些如何应用于从对任意实例的视觉思维进行概括?以使用图 2 的图表的三角形数公式的视觉路线为例。该图显示该公式适用于第 6 个三角形数。仅当所使用的视觉空间方法适用于所有正整数 n 的第 n 个三角形数时,即假设所使用的方法不依赖于并非所有正整数共享的属性,则对所有三角形数的推广才是合理的。有意识、明确地检查是否满足此条件需要明确以 6 为例的方法,并证明该方法适用于代替 6 的所有正整数。(有关自动化视觉论证中的类似想法,请参阅 Jamnik 2001 )。在实践中,视觉思考时并没有这样做,因此,如果我们接受通过涉及概括的证明进行思考的严格选择,我们将不得不接受三角形数公式的视觉路径并不等于通过证明进行思考它;这同样适用于其他一般正整数公式的熟悉视觉路线,例如 n2= 前 n 个奇数之和。

但是,如果对任意实例进行泛化证明的严格选项过于严格,而宽松的选项是正确的,该怎么办?当以视觉指示的方式得出公式时,人们没有注意到视觉显示代表了第6个三角形数的情况这一事实;就好像大脑以某种方式从特定案例中提取了视觉推理的一般图式,然后进行示意性推理,将示意性结果转化为普遍命题。对于宽松的选项,需要的是对模式不适用于所有正整数的可能性的敏感性;人们必须对给定类型的模式可能达不到普遍适用性的方式保持警惕,以至于如果向人们提供了一种确实达不到普遍适用性的模式,人们就会发现失败。

在手头的例子中,视觉推理的模式首先涉及到用 k 个点的列来表示数字 k,然后用 n 列的三角形数组来表示前 n 个正整数的总和,然后取该数组与倒置副本相结合,形成一个 n 列、n+1 个点的矩形数组。对于以这种方式开始的普遍适用的模式,给定任何正整数 n,前 n 个正整数的总和必须能够以三角形数组的形式表示,以便与倒排副本相结合得到一个矩形数组。这实际上在极端情况下失败:n=1。公式 (n.(n+1))/2 对于这种情况成立;但这是我们通过用“1”代替公式中的变量来知道的,而不是通过所示的视觉方法。该方法不能应用于n=1,因为单个点不会形成三角形阵列,并且与副本组合也不会形成矩形阵列。但是我们可以检查该方法是否适用于第一个之后的所有正整数,使用视觉推理来确保它适用于 2,并且如果该方法适用于 k,那么它也适用于 k+1。与这种反思性思维一起,前面概述的视觉思维构成了对所有整数 n>1 的第 n 个三角形数的公式的证明,至少如果通过证明进行思维的宽松观点是正确的。类似的结论也适用于其他“点”论证(Giaquinto 1993,2007:第 8 章)。因此,在某些情况下,当视觉表示带有不需要的细节时,可以克服视觉推理中过度概括的危险。

但评论家经常忽视这一点,这一事实表明,所需的敏感性往往不存在。遗漏非典型案例是尝试目视证明时常见的危险。一个著名的例子是通过多面体的三角平面投影的“删除三角形”来证明多面体的欧拉公式 V−E+F=2。人们很容易被这种想法所说服,但这只是因为我们通常认为的多面体是凸的,而例外的多面体不是凸的。但从视觉上思考时,也很容易错过一些并非不典型或极端的案例。一个例子是柯西尝试证明(Cauchy 1813)的主张,即如果将凸多边形变换为另一个多边形,并且保持除一侧以外的所有边不变,那么如果顶点处的部分或全部内角增加,则剩余的边也会增加,而如果顶点处的部分或全部内角减小,则剩余边减小。论证继续考虑当一个人通过逐个角度增加(或减少)角度来变换多边形时会发生什么。但在梯形中,改变单个角度可以将凸多边形变成凹多边形,这使得该论证无效(Lyusternik 1963)。

此类错误的频繁发生表明视觉论证(符号操作除外)通常缺乏证明所需的透明度。即使视觉论证实际上是合理的,其合理性也可能并不明确,在这种情况下,论证就不是证明结论真实性的一种方式,尽管它可能是发现结论的一种方式。但这与视觉非符号思维可以(而且经常是)证明某事的方式的一部分的说法是一致的。

结理论的一个例子将证实这一主张的模态部分。为了展示这个例子,我们需要一些背景信息,这些信息将以最少的技术细节给出。

结是欧几里得 3 空间中一条驯服的封闭非自相交曲线。

换句话说,结只是欧几里得三维空间中与圆同胚的温和曲线。这里的“驯服”一词代表一种旨在排除某些病态情况的属性,例如具有无限嵌套打结的曲线。有不止一种方法可以使其在数学上精确,但我们不需要这些细节。结具有特定的几何形状、尺寸和轴相对位置。现在想象它是由柔韧但不易断裂的纱线制成的,可拉伸和收缩,这样它就可以顺利地转变为其他结,而无需切割或粘合。由于我们对结的兴趣在于其打结的本质,而不管其形状、大小或轴相对位置如何,因此真正感兴趣的焦点不仅仅是结,而是其所有可能的变换。思考这个问题的一种方法是想象一个结不断地变换,这样每一个可能的变换都会在某个时间实现。那么,中心兴趣的事物将是随着时间的推移以不同形式持续存在的物体,严格意义上的结是在每个特定的定格帧中捕获的事物。在数学上,我们将相关实体表示为结的等价类。

两个结是等效的,前提是一个结可以通过拉伸、收缩、扭曲、翻转、重新定位或以任何其他不涉及切割、粘合或将一根线穿过另一根线的方式平滑地变形为另一根。

相关类型的变形禁止通过将打结部分缩小到一点来消除打结部分。结等价同样有数学上精确的定义。图 3 给出了等效结的图,即三叶草的实例。

[一条闭合线,在其下方、上方、下方、上方、下方、上方,形成具有三个节点的形状] [一条闭合线,其下方、上方、下方、上方、下方、上方,但形成一个更接近于椭圆内的图8]

(一) (二)

图3

像这样的图表不仅仅是说明;而且是图表。它们在纽结理论中也具有操作作用。但任何结的图片都无法达到此目的。我们需要指定:

结图是结在平面上的规则投影,当存在交叉时,它告诉我们哪一根线穿过另一根线。

这里的规律性是条件的组合。特别地,规则性意味着严格结的不超过两个点投影到平面上的同一点,并且仅在存在交叉的情况下严格结的两个点投影到平面上的同一点。有关结理论中图表的更多信息,请参阅(De Toffoli 和 Giardino 2014)。

纽结理论的一个主要任务是找到判断两个纽结图是否是等价纽结图的​​方法。特别是,我们想知道给定的结图是否表示相当于无结的结,即可以用没有交叉的结图表示的结。

一种表明结图表示等同于未结的结的方法是表明该图可以通过一系列原子移动(称为reidemeister movess)转换为一个而无需交叉的一个。相关背景事实是Reidemest的定理,它将可视化的图形变化与结节等效性的数学精确定义联系起来:两个结是等效的,并且仅当有一个有限的redemeister move序列,将一个结的有限顺序与一个结的结合在一起。另一个。图4说明了。每个结图通过雷迪德移动更改为相邻的结图;因此,由最左图表示的结与未结的相等。

[一条封闭的线,在封闭的线下,下方,下方,在上面,越过,但形成类似于图3A的形状]封闭的线形成一个扭曲的环路,没有交叉路口]

(a)(b)(c)

图4

与这些相反,图3的左结图提出的结似乎是不可能变形为无结的。实际上是。为了证明这一点,我们可以使用一个称为色的结。结图中的弧度是交叉点之间的最大部分(如果没有交叉点,则整个事物)。可调性是这样:

当且仅当可以将其每个弧涂成三种不同的颜色之一时,就可以颜色一个结图,以便(a)至少使用两种颜色,并且(b)在每个交叉的三个弧线上均具有相同的颜色或所有颜色的颜色不同。

这里对颜色的引用是不必要的。实际上,色情是一种称为mod p标记的组合特性的特定情况(对于奇数素数)。从某种意义上说,如果结一个图是可以色调的,那么该结的每个图和任何等效结都是可以色彩的,因此,可相入性是一个不变的。 (通过ReideMeister的定理,这可以通过证明每个雷德姆的动作都可以保留可调性。)显然是无调的标准图,一个没有交叉的图表,显然是不可分化的,因为它只有一种弧度(整个颜色),所以两种颜色无法被使用。因此,为了完成证明Trefoil不等于未结,我们只需要证明我们的Trefoil图是可以颜色的。这可以在视觉上完成。结着结图的每个弧形的每种弧线,三种颜色红色,绿色或蓝色,使得没有两个弧具有相同的颜色(或可视化)。然后对每个交叉点进行视觉检查,以查看在每个交叉处,三个会议弧的颜色都不同。证明的视觉部分显然是不变且不可替代的(没有更改证明)。而且,论点的健全性是相当透明的。因此,这是证明数学真理的非正式,非符号视觉方式的情况。

3.3争议:分析中的证明中的图表。

如果涉及无限的概念正在发挥作用,例如许多涉及限制的概念,使用图的使用是有风险的。因此,人们普遍认为,除了一些非常简单的案例外,在实际和复杂的分析中,图表中具有不变的作用的论点不是真正的证据。 Bolzano [1817]在给出纯粹的分析证明之前,就实数(IVT)的中间值定理表达了这种态度,认为不能使用空间思维来帮助证明IVT合理。詹姆斯·罗伯特·布朗(James Robert Brown,1999年)在这一点上对博尔扎诺提出了疑问。 IVT是这样:

如果f是在闭合间隔[a,b]和f(a)<c <f(b)上的真实变量连续的实值函数,则在(a,b),f(x)中进行一些x = c。

当C = 0时,布朗专注于特殊情况。由于可以使用该定理从这种特殊情况下轻松推导IVT,即两个连续函数的差异是连续的,因此这里没有一般性损失。 Brown(1999)撰写了诸如图5之类的图表

我们有一个从下方到上方的连续线。显然,它必须越过这样的轴。 (1999:26)

后来他声称:

仅使用图片,我们可以确定这一结果 - 如果我们可以确定任何事情。 (1999:28)

[第一个象限图,X轴在左附近标记为“ A”,并在右边附近,带有“ B”; Y轴在顶部标记为“ f(b)”,中间,带有“ C”,底部为“ f(a)”。 一条虚线的水平线与“ C”对齐。 坚固的曲线启动了“ f(b)”和“ A”的交点,在上升到“ c”虚线之上之前,水平漫步了一段时间,然后倾斜,然后再次上升,然后在'f(b)的交点上结束。 '和'b'。 ]

图5

Bolzano的IVT的无图表证明是一个论点,即后来被称为实数的Dedekind完整性:上面(下)的每组非空的真实集(下)具有最小的上限(下限最大)。根据布朗的说法,博尔扎诺从真实的Dedekind完整性中扣除IVT的价值并不是说它证明了IVT,而是它使我们确认了Dedekind的完整性,就像通过推论一些经验科学的经验假设一样假设和观察这些后果的结果是真实的。该观点假设我们已经知道通过观察图5相关图表来了解IVT是正确的。

Giaquinto(2011)挑战了这一假设。一旦我们将图形概念与相关的分析概念区分开来,该图中的基本参数本质上就是这样。

1。在[a,b]上连续的任何函数f,f(a)<0<f(b)具有视觉连续的图形曲线,从水平线下方,代表x轴到上方。

2。从水平线下方到上方的任何视觉连续的图形曲线都在交叉点符合线路。

3。任何图形曲线符合表示X轴在交叉点处的线的函数的值为零。

4。因此,f(a)<0<f(b)上[a,b]上的任何ε-δ连续函数f的值为零。

从图中推断出的是前提2。前提1和3是将分析与图形条件联系起来的假设。这些链接的假设是有争议的。关于前提1 Giaquinto(2011)认为,在真实物质上有函数符合先决条件,但没有图形曲线,例如连续但无处可区分的函数和功能,这些函数和功能都以无绑定的频率振荡,例如F(x)= f(x)=对于[-1,1]和f(0)= 0的非零x的x·sin(1/x)。

关于前提3,有人认为,在笛卡尔坐标框架中函数的图形表示标准惯例下,理由中x2-2的图形曲线与x2-2的图形曲线相同真实。这是因为每个真实都是理性的限制点。因此,对于一个或两个坐标的每个点p,都有一个任意接近p的点。因此,如果从真实的X2-2中删除了非理性点,则不会出现差距。但是对于x在有理间隔[0,2]中,函数x2-2的值没有零值,即使它具有图形曲线,该图形曲线在视觉上越过表示x轴的线路。因此,人们无法从图中读取x2-2的零的存在。人们需要诉诸理性缺乏的真实财产,例如Dedekind的完整性。

这提出了一些明显的问题。分析的任何定理是否都有证据,在哪些图中具有不变的作用? Littlewood(1953:54-5)这样想,并给出了一个例子,该例子在Giaquinto(1994)中进行了研究。如果是这样,我们可以通过其内容的某些数学特征来划界这类定理?另一个问题是,我们可以证明一个中间值定理(即仅限于该类别)是否存在大量的函数。

如果有分析的理论可证明具有图表,则我们尚未为其具有数学分界标准。自然的外观将是真实的O最低结构,这是Ethan Galebach引起了作者的注意。这是因为对这种结构的一些显着定理,这些结构排除了对真实物质的所有病理(因此有违反视觉)的功能(van den dries 1998),例如连续的无处可区分函数和“空间填充”曲线,即连续偏移f f。 :(0,1)→(0,1)2。通过视觉手段证明,在真实的o最小结构中的函数的IVT是否?当然,当限制到位时,对无限制IVT的视觉论证的反对意见不适用。这是反对反对的,没有图形曲线的连续可区分函数为前提提供了反示例,即[a,b]上的任何ε-δ连续函数f,f(a)<c<f(b)具有视觉上连续的从表示y = c到上方的水平线下方的图形曲线。但是与Azzouni的主张相反,没有图形曲线的连续函数的存在并不是唯一的反对意见(2013:327)。也有反驳的前提是,任何确实具有图形曲线的函数,该函数可明显越过代表y = C的线,将C作为值,例如,在c = 0的理由上的函数x2-2。因此,在写作时,IVT视觉证明的视觉证明限制在真实的O-最低结构中的功能仍然是开放的。

4。视觉思维和发现

尽管对数学中视觉思维的哲学讨论集中在其在证据中的作用,但视觉思维对于发现可能比证明更有价值。在数学实践中重要的三种发现是:

(1)命题发现(发现,命题,是真的),

(2)发现证明策略(或更宽松地,获取命题证明的想法),然后

(3)发现属性或类型的数学实体。

在以下小节中,将讨论和说明这些类型的视觉发现。

4.1命题发现

要发现一个真理,因为这里正在使用这种表达,就是要以一种可靠的方式来相信自己的灯光(而不是阅读或被告知),而不涉及违反认知理性的行为(鉴于一个人的认识论状态)。一个人可以发现一个真理,而无需第一个发现它(在这种情况下);就足以以一种独立,可靠和理性的方式相信它是足够的。仅发现真理和证明这是一个透明的问题:为了证明或遵循证据,主体必须意识到得出结论的方式以及这种方式的健全性;发现这不是必需的。

有时,人们使用背景知识通过视觉思考发现了某些东西,从而导致了一个可以构建证明的说法。一个很好的例子是一个视觉论证,即通过互换其某些交叉点的​​过度链和链,任何具有有限交叉数的结图都可以将其变成一个未结的图(Adams 2001:58-90)。该论点太长了,无法在此处访问。在一个简短的例子中,这是一种发现两个正数的几何平均值小于或等于其算术平均值(Eddy 1985)。

[两个不同尺寸的圆圈彼此相邻并在一个点接触时,较大的左圆圈具有垂直直径线和相邻的垂直直径线,左侧是一条双箭头头线,标有“ A”。 较小的圆圈具有相似的垂直直径线,并带有双箭头头线,标有右侧的“ B”。 直径线的底部通过标有“(AB)平方根”的双头箭线连接。另一条线连接两个圆的中心,并具有标记为“(A+B)/2”的平行双箭头线线。 一条虚线的水平线从较小圆的中心水平延伸,直到撞击较大圆的直径线。 在此交叉点和较大圆的中心之间是标有“(a-b)/2”的双箭头线线。]。

图6

两个圆圈(直径A和B)在一个点相遇。通过他们的共同点在其中心之间绘制了一条线。它的长度为(a+b)/2,两个半径的总和。这条线是右角三角形的斜边,其长度(a -b)/2的另一侧为半径的差。毕达哥拉斯定理用于推断右角三角形的其余一侧长度 √(AB)然后,当较小圆的直径在0和较大圆的直径之间变化时,三角形会发生什么,一个<√(AB)<(a+b)/2;然后象征性地验证

√(AB)=(a+b)/2当a = b时,一个人得出结论,对于正a和b, √(AB)≤(a+b)/2。

这种想法并不构成证明或遵循结论证明的案例,因为这涉及一个我们无法明确说明有效的步骤。这是尝试以视觉方式想象较小圆的直径在0到较大圆的直径之间会发生什么的步骤从较小圆的中心到较大圆的垂直直径的线。此步骤似乎是合理的(不会导致我们陷入错误),并且可能是合理的。但是它的健全性是不透明的。如果实际上是正确的,那么整个思维过程是得出结论的可靠方式。因此,在没有使思想不合理的因素的情况下,这将是一种发现结论是真实的方式。

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