数学视觉思维的认识论（三）

4.2发现证明策略

在某些情况下，视觉思维倾向于，鉴于受试者当前的知识，视觉表现所建议的假设是基于视觉表现所建议的假设。在这种情况下，总会有危险，即主体采取视觉表示表达假设的正确性，并以不必要的信念最终出现。在这种情况下，即使信念是真实的，该主题也没有发现，因为信仰的手段是不可靠的。这是一个使用图7（Montuchi和Page 1988）的示例。

[X轴上的第一个象限图被标记为（2 Squareroot（K），0），然后向右右侧（j，0）。 在y轴上标记（0,2（Squareroot（k）），然后向上（0，j）。实线连接（0,2（Squareroot（k））至（2（Squareroot（k），0，0） ）和（0，j）至（j，0）。 ），标记为0）（Squareroot（K），Squareroot（K））。

图7

使用此图，可以思考以下关于实际数字的信息。对于常数k时，x和y的正值被约束以满足方程式x·= k，x+y最小的x和y的正值为x =√k= y。 （让“＃”表示这个主张。）

假设一个人知道笛卡尔坐标系统中图表示函数的约定，还知道对角线代表函数y = x，并且具有梯度–1从（0，b）到（b）的线段段0）表示函数x+y = b。然后查看该图可能会倾向于认为，对于x的正值，x·y = k中的y值均低于x+y = 2中的y值。√k，并且这些功能仅在对角线上重合。从这些信念中，主题可以（正确）推断结论＃。但是，仅关注图表就不能保证，对于给定的正x值，x·y = k的y值永远不会落在x+y = 2的y值之下。

√k并且功能仅在对角线上重合；对于表示的惯例，不排除x·y = k的曲线符合x+y = 2的曲线√k在两个点上极为接近对角线，而前曲线在这两个点之间落在后者之下。因此，在这种情况下，视觉思维不是发现命题＃的一种手段。

但这很有用，因为它为结论提供了证明的想法，这是数学视觉思维的主要好处之一。简而（√k）如果x = y，它们的共同价值为 √k。

因此，这些方程式在对角线上表达的函数相遇。为了证明，对于固定的正x值，x·y = k的y值永远不会落在x+y = 2的y值之下√k，足以证明2√k-x≤K/x。作为几何平均值小于或等于相应的算术平均值，

√[x猛（k/x）]≤[x+（k/x）]/2。所以2√k

≤x+（k/x）。

所以2√k-x≤K/x。

在此示例中，视觉上关注和推理，该图不是发现结论的方式的一部分。但是，如果它给出了刚刚提出的论点的想法，那将是导致发现结论的方法的一部分，这很重要。

视觉思维能否导致在更高级上下文中发现证明的想法？是的。卡特（Carter，2010）从自由概率理论中举了一个例子。该案例是关于一组有限的自然数量的某些置换（在Carter 2010中用Burdflex表示的列表）。使用特定类型的图表，图表的易于看到的特性自然导致了排列的某些特性（交叉和非交叉，具有相邻对），并具有一定的操作（取消相邻对）。所有这些都有代数定义，但是通过在图表方面思考，定义的思想是注意到的。对于相关排列σ，σ（σ（n））= n;因此，可以通过连接点的一组线表示置换。图8中左和右表示的排列分别是不交叉和交叉的，前者具有相邻的对{2,3}和{6,7}。

[圆周上有8个点的圆，一个约45度的点标记为“ 1”，15度，'2'，-15度'3'，以-45度为-135度为-15度'3'，以-135度为-135度'5'，位于-165度'6'，在165度'7'，在135度'8'中。 圆连接点1至4、2至3、5至8和6至7的光滑曲线。]在15度，“ 2”，-15度'3'，以-45度'4'，-135度'5'，-165度'6'，165度'7'和135学位“ 8”。直线连接1至6、2至5、3至8和4至7。]

（a）（b）

图8

{1,2，…，2p}的列表被定义为在{1,2，…，2p}中有a，b，c，d时具有交叉σ（a）= c和σ（b）= d。重点是采用该概念的定理的证明。 （定理是，当相关类型的{1,2，…，2p}的排列不交叉时，将有p+1 r-等价类的恰好是{1，1，1，r等于1 2，…，2p}根据排列定义。情况。还有一个很好的例子，说明了一个图表的某些推理，该图为诱饵提供了证明（“建议策略”）的想法，即每个非交叉置换都有相邻的对。在图9之类的图表上的反射进行了工作。

[一个圆，虚线的内部曲线将大约40度的未标记点连接到-10度的未标记点（第二点标记为“ J+1”）。 另一个虚线的内部曲线将这一点连接到约-100度的未标记点。 一个实心内部曲线在约10度（标记为“ J'）上连接和未标记点至约-60度（标记为“ J+A”）的另一个未标记点。 在标签“ J+1”和“ J+a”之间是另一个标签“ J+2”，然后在“ J+2”和“ J+A”之间的虚线。]

图9

原因是这样。假设π没有相邻对。选择j使得π（j）-j = a是最小的，也就是说，对于所有k，π（j）-j≤π（k）-k。由于π没有相邻对，因此π（j+1）≠j。因此，要么π（j+1）小于j，而且我们有一个交叉，或者通过π（j）-j，π（j+1）的最小值大于j+a，并且再次有一个交叉。卡特（Carter）报告说，这种脱节最初是通过在图表中思考来相信的，而发表论文中给出的引理的证明是该推理的非二氧化学“版本”。在此案例研究中，视觉思维被证明会以多种方式促进发现。特别是，通过引导数学家注意到关键属性（“定义是基于图表”），并为他们提供整体证明部分的想法。

4.3发现特性和种类

在本节中，我将说明并讨论视觉思维在发现数学实体中的使用，通过浏览导致几何群体理论的一些主要步骤，这一主题在1980年代通过Mikhail的工作真正起步格罗莫夫。在Starikova（2012）中，该材料的介绍得很好。

有时，从空间表示方面，想到非空间实体，例如代数结构。一个示例是通过Cayley图的有限生成的组表示。令（g，走为G，G，Å）是G。G的有限子集。令S -1为S的成员的一组。 s∪s -1成员的产物（相对于）。在这种情况下（g，走育）被认为是有限生成的组。这里有几个例子。

首先考虑组成中3个要素的排列的S3组。让{a，b，c}是元素，所有六个排列都可以由f和r生成

f（“ flip”）固定A并与c交换B，即，它需要⟨a，b，c⟩到⟨a，c，b⟩和

r（用于“旋转”）将⟨a，b，c⟩to to⟨c，a，b⟩。

（s3，走气，{f，r}）的Cayley图是一个图形，其顶点代表S3的成员和有向边的两个“颜色”，代表了f和f和r组成的组合物。图10说明了：红色有向边表示与R的组成，黑色边缘代表f的组成。因此，来自S3中S的顶点V的红色边缘在表示SF的sr和v末端的黑色边缘的顶点处，在表示SF的顶点。 （符号：“ sr”缩写“ s·r”，在这里表示“ s后跟r”；对于“ f”代替“ r”。是，翻转和翻转会带您回到开始的地方。 （有时会使用一对带有相反方向的箭头的边缘。）符号“ e”表示身份。

[两个红色等边三角形，一个内部。 较小的三角形在每一侧都有箭头，指向顺时针方向。较大的箭头在逆时针方向上有箭头。 黑色双箭头线连接每个三角形的各个顶点。 外部三角形的顶端标记为“ e”，内部三角'f';外部三角形的左下角标记为“ r”，内部三角'r';外部三角形的右下角用“ RR”标记为“ RR”，内部三角形的“ fr”。]

图10

有限生成的无限顺序组的一个示例是（z，+，{1}）。我们可以通过连续添加1或其添加逆-1来获取任何整数。由于在2的倒数中添加了3个为1，而在3的倒数中添加了2个为-1，因此我们可以通过添加{2,3}的成员及其倒置来获得任何整数。因此，{1}和{2,3}都在生成（z，+）的集合。图11说明了（z，+，{2,3}）的Cayley图的一部分。水平定向边缘代表+2。定向边缘上升或下降倾斜+3。

[两个水平平行的黑线，方向箭头指向右侧。顶线具有标记为“ -2”，“ 0”，“ 2'，'4'的等距点，底线等距为标记为'-1'（大约在上线的'-2'和0'之间），“ 1'，'3'，'5'。 红色箭头从“ -2”到“ 1”，从某个地方到左至0'，从“ 0”到'3'，从“ -1”到“ 2”，从“ 1”到' 4，从“ 2”到“ 5”，从“ 3”到右边的某个地方。]

图11

生成的一组无限顺序的另一个示例是F2，这是由一对成员生成的免费组。其Cayley图的前几个迭代如图12所示，其中{a，b}是一组发电机，在相邻顶点之间的右水平移动表示与a的组成，向上垂直移动表示B，左右，左右，左和左右。向下移动分别代表与A的逆和B倒数的组成。中央顶点代表身份。

[指向标记为“ B”的蓝色垂直线，被指向右标记为“ b”的红色水平线交叉。每条线在主交叉点两侧的另一条线的两个较小的副本上交叉。而且，又，该线的每个较小副本都被另一条线的两个较小的副本交叉，再次在其主交点的两侧。]

图12

从他们的cayley图中考虑产生的群体使其自然而然地将它们视为公制空间。路径是连续邻近边缘的序列，无论方向如何。例如，在（z，+，{2,3}）的Cayley图中，从-2到1的边缘从1到-1，从-1到2（以该顺序）构成一条路径，代表动作，从-2开始添加3，然后添加-2，然后添加3。取每个边缘具有单位长度，定义了由有限的g生成的G组G的度量DS：对于任何G，对于任何G，h∈。 g，ds（g，h）=在（g，Å，s）的Caley图中从G到H的最短路径的长度。这是该生成组的一词。

将有限生成的组视为度量空间，使我们能够考虑其增长函数γ（n），这是半径≤n的“球”的基础性，以身份为中心不大于n）。给定组的生长函数取决于所选的一组发电机，但是当组无限时，渐近行为作为生长函数的n→∞的渐近行为独立于一组发电机。

注意到在生成组上定义度量的可能性不需要首先查看其Cayley图。这是因为发电机中的一个单词只是发电机或其倒置的有限符号序列（我们省略了组操作的符号），因此，单词的书面形式在视觉上显示了一个明显的长度，即序列中的符号数量；然后自然地将组成员g和h之间的距离定义为最短单词的长度，该单词通过右乘法从g到h，即min {length（w）：w = g -1h} 。

但是，通过其Cayley图观看生成的组是几何组理论的必要起点，这使我们能够将有限生成的无限顺序的群体视为图形或度量空间，而且是几何实体。这条路线的主要步骤将在这里简要介绍；有关更多详细信息，请参见Starikova（2012）及其中的参考文献。视觉钥匙是通过在视觉想象中缩放，以使图的离散性变为传统的几何对象，从而开始从生成组的Cayley图的“粗几何”来思考。例如，图11中所示的一组有限顺序的Cayley图，例如（S3，袭为，{F，R}），变成了一个点；图12所示的（z，+，{2,3}）的Cayley图成为两个方向上不间断的无限线。

生成群体的标准单词是离散的：这些值始终在n中。这种离散度度空间与连续的几何对象的数学实现的视觉空间关联如何？通过准iSmememetry。从一个度量空间到另一个度量的等轴测图是保留映射的距离，而准iSmotememememetry是保留固定线性边界内距离的地图。确切地说，从（s，d）到（s'，d'）的映射f是用于某些真实常数l＞0和k≥0的准等级iff，s in s in s in s

d（x，y）/l -k≤d'（f（x），f（y））≤l·d（x，y）+k。

空间（s，d）和（s'，d'）是准等级空间，如果quasi ismemometry f也是准释放的，从某种意义上说，有一个真实常数m≥0，以至于s的每个点使得s的每个点''在f图像中的某个点不远。

例如，（z，d）为（r，d）是准时的，其中d（x，y）= | y-x |，因为包含映射i从z到r，i（n）= n，是因此，等距为L = 1且K = 0的准等级指标，并且R中的每个点距整数不超过1/2（in R）。同样，很容易看到，对于任何实际号码x z，l = 1，k =12；.

准时度量计的度量空间之间的关系是等效关系。同样，如果S和T正在生成一组（G，Å）的集合，则具有单词度量的（G，β，S）和（G，S）和（G，S）和（G，S）的Cayley图是准等级空间。这意味着，是准时不变的生成组的属性将独立于生成集的选择，因此对组本身的信息有益。

此外，很容易证明带有单词度量的生成群的Cayley图是地球空间的准时。[1]在此空间中具有顶点X，Y，Z的三角形是X和Y之间的三个大地段的结合，Y和Z之间以及Z和X之间的结合。这是应用Gromov见解的门户，其中一些可以借助视觉几何思维来抓住。

这是一些迹象。回想一下双曲线几何形状的庞加莱开放盘模型：测量学是与边界正交的圆的直径或弧形，而单位距离以较短的欧几里得距离表示，因为一个人从中心向边界移动。 （边界不是模型的一部分）。所有三角形的角度总和＜π（图13，左），并且有一个全局常数δ，因此所有三角形在以下意义上都是δ-thin：

当t的一个侧面的任何点位于另一个两侧的一侧的δ内，且仅当t上的任何点都在δ时，三角形t为δ-thin。

该条件等价于 T 的每一边都位于其他两侧 δ 邻域的并集内的条件，如图 13 右侧所示。不存在常数 δ 使得欧几里得平面中的所有三角形都是 δ 薄的，因为对于任何 δ ，都存在足够大的三角形，使得最长边的中点距离其他两条边上的所有点都比 δ 更远。

[一个圆圈。 内部有绿、蓝、红三色的弧线。对于所有三个平滑曲线，其中每条曲线与圆的圆周相交的位置都标记为 90 度角。 绿色曲线实际上可能是一条直线，从大约 160 度到大约 -20 度。 蓝色曲线从约 170 度变为约 80 度。 红色曲线从约 90 度变为约 -25 度。 绿色和蓝色曲线相交的地方被标记为角度并用希腊字母 alpha 标记；蓝色和红色曲线相交的地方也标记为角度并用伽马标记；以及红色和绿色曲线相交的位置，并标有 beta。] [不知道如何描述]

(一) (二)

图13[2]

薄三角形的定义足够通用，适用于任何测地空间，并且允许双曲性概念的推广超出其原始上下文：

测地线空间是双曲空间，当且仅当对于某些 δ，其所有三角形都是 δ 薄的。

群是双曲群当且仅当它具有与双曲测地空间拟等距的凯莱图。

双曲群的类别很大，包括重要的子类，例如有限群、自由群和亏格≥2的曲面的基本群。一些引人注目的定理已被证明。例如，对于每个双曲群，文字问题都是可解的，并且每个双曲群都有有限的表示。因此我们可以合理地得出这样的结论：双曲群这种数学类型的发现是卓有成效的。

视觉思维对于几何群论的发现有多重要？需要视觉思维来发现凯莱图作为表示有限生成群的一种手段。这并不像看上去那么简单：凯莱图必须与我们用来直观地呈现它们的图表区分开来。凯莱图是生成组的数学表示，而不是视觉表示。它由以下部分组成：集合 V（“顶点”）、V 的成员有序对集合 E（“有向边”）以及将 E 划分为不同的子集（“颜色”，每个子集代表与特定生成器的右乘）。给定图的图的表示的通常约定，生成的无限阶群的凯莱图不能完全用图来表示，并且不同的图可以直观地表示相同的凯莱图：图14中的两个图都可以被标记，以便在按照通常的约定，它们表示 (S3,⋅,{f,r}) 的凯莱图，如图 10 所示。因此凯莱图不能是图。

[两个相同的红色三角形，一个在另一个之上并且倒置。 两者都有顺时针旋转的箭头。带有双向箭头的黑线连接各自的顶点。] [两个相同的红色三角形，一个在另一个之上。 底部有顺时针方向的箭头，顶部有逆时针方向的箭头。带有双向箭头的黑线连接各自的顶点。]

(一) (二)

图14

凯莱图对于促使数学家从图的粗粒度几何角度进行思考非常重要，因为当人们从视觉上“缩小”角度思考时，这个想法就会出现。 Gromov (1993) 在 Starikova (2012:138) 引用的一段话中指出了这一点

这个空间[带有度量一词的凯莱图]在几何学家看来可能显得无聊和平淡，因为它是离散的，并且传统的（例如拓扑和无穷小）机械不能在[群] Γ 中运行。为了重新获得几何视角，我们必须改变位置，将观察点移到远离 Γ 的位置。然后，从距离 d 看到的 Γ 中的度量就变成了原始距离除以 d，并且对于 d → ∞ ， Γ 中的点合并成一个连接的连续固体统一体，它占据了视觉地平线，没有任何间隙和孔洞，让我们几何学家的心充满喜悦。

他说必须将观察点移离 Γ 很远，以便这些点合并成一个占据视觉地平线的统一体，他清楚地表明视觉想象力是通向几何群论道路上的关键一步。视觉思维再次涉及通过思考双曲几何的庞加莱圆盘模型来发现双曲性作为一般测地空间的属性。如果不使用视觉资源，很难想象如何发现这个属性。

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