数学视觉思维的认识论（四）

5. 视觉思维与心算

虽然没有理由认为心算（整数和有理数的心算）通常涉及大量的视觉思维，但有强有力的证据表明，训练有素的算盘使用者在心算中进行了大量的视觉处理。

在早期，算盘是一块长方形的棋盘或桌面，上面标有线条或凹槽，卵石或算盘可以沿着这些线条或凹槽移动。现存最古老的算盘是萨拉米斯算盘，其历史可追溯至公元前 300 年左右，是一块白色大理石板，上面有专为货币计算而设计的标记（Fernandes 2015，其他互联网资源）。这些被矩形框架所取代，在矩形框架内固定有平行于短边的线或杆，上面有可移动的带孔珠子。现代算盘有好几种，例如中国的算盘、俄罗斯的算盘和日本的算盘，每种算盘都有不同的形式。心算中视觉处理的证据来自对训练有素的索罗班用户的研究，图 15 显示了一个示例。

[一张有 17 列珠子的索罗班图片，每列水平条上方有 1 个珠子，用于代表 5，水平条下方有 4 个珠子，每个珠子代表 1。每列中的珠子一起可以代表从 0 到 9 的任何数字.]

图15

每列珠子代表 10 的幂，向左递增。水平条有时也称为计算条，将每列上的珠子分成上面 1 个值 5 的珠子和下面 4 个值 1 的珠子。列中表示的数字由未与计数条分离的珠子确定。所有珠子与条之间有间隙的柱代表零。例如，数字 6059 表示在图 16 中示意性 Soroban 的一部分上。

[代表6059的示意性索罗班。有8个位置，左起前四个设置为0，然后6，然后0，然后5，然后9]

图16

在某些索罗班上，计算栏上每隔三列就有一个标记；如果用户选择其中之一作为单位列，则标记将帮助用户跟踪哪些列代表十的哪些次方。根据标准四数值运算以及提取平方根和立方根的程序，使用食指和拇指移动珠子来进行计算（Bernazzani 2005，其他互联网资源）。尽管索罗班具有数字的小数位表示形式，但索罗班程序并不是通常教授使用阿拉伯数字的标准运算的程序的“翻译”。例如，索罗班的多位数加法首先将十的最高幂相加，然后向右进行到较低的幂，而不是从单位开始，然后向左进行到十、百等。

接受过使用算盘训练的人通常会通过想象算盘并想象根据算术计算所学的程序在算盘上移动珠子来学习心算（Frank and Barner 2012）。心算（MA），即这种心算方式，在速度和准确性方面优于其他类型的心算（Kojima 1954），并且在心算世界杯的奖牌获得者中经常可以看到 MA 的使用者。

尽管视觉和手动运动想象很可能发生，但认知科学家已经探讨了 MA 计算的实际过程是否包含或涉及想象在物理算盘上执行操作的问题。脑成像研究为这个问题提供了一个证据来源。将训练有素的珠算计算器与匹配的对照进行比较，发现有证据表明 MA 涉及视觉空间工作记忆的神经资源，具有珠算形式，不依赖于数字输入的形式（视觉或听觉）（Chen 等人，2006）另一项影像学研究发现，与没有珠算训练的对照组相比，从小就接受长期珠心算训练的受试者与运动和视觉空间过程相关的大脑白质增强了（Hu et al. 2011）。

行为研究提供了更多证据。对专家级和中级算盘用户的测试强烈表明，MA 计算器在心理上操纵算盘表示，使其经历与实际算盘在解决加法问题时经历的相同状态。无需使用实际的算盘 MA 计算器就能够正确回答有关基于算盘的问题解决方案所特有的中间状态的问题；此外，它们的响应时间是解决问题的算盘过程的状态序列中探测状态位置的单调函数（Stigler 1984）。除了“中间状态”证据之外，还有“错误类型”证据。将算盘使用者与美国受试者进行比较的心理加法测试表明，算盘使用者犯了美国人不会犯的错误，但这些错误可以从物理算盘加法中的错误分布中预测出来（Stigler 1984）。

另一项研究发现，当一系列数字以听觉方式呈现时（作为一个口头整体“三千五百四十七”或作为一个数字序列“三、五、四、七”），算盘专家将其编码成图像算盘显示，而非专家则对其进行口头编码（Hishitani 1990）。

进一步的证据来自行为干扰研究。在这些研究中，受试者必须进行心理计算，在计算过程中执行或不执行其他类型的任务，目的是通过反应时间和错误率的差异来衡量哪些类型的任务干扰计算。一项早期研究发现，语言任务对 MA 表现的干扰较弱（除非语言任务是回答数学问题），而运动和视觉任务的干扰相对较强。这些发现向论文作者表明，MA 表征本质上不是语言性的，而是依赖于视觉机制，对于中级从业者来说，还依赖于运动机制（Hatano et al. 1977）。

这些研究提供了令人印象深刻的证据，证明 MA 确实涉及对可视化算盘的心理操纵。然而，已知的感知或表示多个对象的能力的限制似乎造成了问题。我们有一个并行个性化系统，可以同时跟踪最多四个对象，还有一个近似数字系统（ANS），可以让我们粗略地衡量一组事物的基数，误差随着集合的大小而增加。并行个性化系统有三个或四个对象的限制，并且 ANS 表示仅大约大于四的基数。然而，心算用户需要牢记精确的算盘表示，其中涉及的珠子数量远多于四个（以及这些珠子在算盘上的分布方式）。例如，数字439需要十二颗珠子的精确分布。 Frank 和 Barner (2012) 解决了这个问题。在某些情况下，我们可以将多个对象感知为单个实体、集合，并同时将这些对象感知为个体。有证据表明，我们可以并行跟踪最多三个这样的集合，并同时对集合的基数（如果不超过四个）做出可靠的估计。如果集合本身可以很容易地理解为 (a) 分为不相交的子集，例如算盘上的珠子列，以及 (b) 以熟悉的方式构造，例如作为计算杆下方四颗珠子和上方一颗珠子的分布，我们拥有从算盘表示中识别三位数的资源。 Frank 和 Barner 2012 的研究结果表明，这就是 MA 中发生的情况：心算盘通过将视觉空间工作记忆分成一系列列来表示，每个列都存储为具有自己详细子结构的单元。

这些认知调查证实了心算使用者的自我报告，他们通过想象在算盘上进行操作来进行心理计算，就像他们在物理算盘上进行操作一样。 （有关此类自我报告，请参阅斯坦福大学语言与认知实验室的 20 秒电影《心算用户简短访谈》。） 有充分的证据表明，除了主动的视觉想象力之外，MA 还经常涉及与运动认知相关的过程。中级珠算使用者经常进行手部动作，但在 MA 计算时不一定注意这些动作，如刚才提到的三部短片中的第二部所示。测试运动过程在 MA 中可能发挥的作用的实验结果使作者得出结论，参与手部运动规划的运动前过程也参与了 MA (Brooks et al. 2018)。

6. 视觉体验的先验和后验作用

在了解数学真理的过程中，视觉体验只能起到“促进”的作用。例如，视觉经验可能是一个人获得数学命题中涉及的某些概念的一个因素，从而使她能够理解该命题，而无需给予她相信它的理由。或者，阅读教科书上的论点的视觉体验可能使人能够找出该论点到底是什么，但无法帮助她判断该论点是否合理。在前面的章节中，视觉体验被认为在证明和命题发现中发挥着作用，而不仅仅是实现。从表面上看，这提出了一个难题：与数学在自然现象中的应用相反，数学传统上被认为是一门先验科学；但是，如果视觉经验在获取数学知识中发挥作用，而不仅仅是使能，那么结果肯定是后验知识，而不是先验知识。抛开通过证词获得的知识（阅读或听到这样的情况），仍然有很多情况表明感官经验似乎在了解某些数学事实方面发挥着证据作用。

6.1 视觉体验的证据用途

感官经验的证据性使用的一个合理的例子是一个孩子通过数手指知道 5+3=8 的情况。虽然孩子的欣赏能力中可能存在一个重要的先验因素，她可以从计数实验的结果中可靠地概括出这一因素，但通过计数获得该结果是一种后验途径。再举个例子，考虑这个问题：一个立方体有多少个顶点？凭借立方体形状不变以及材质立方体与几何立方体在顶点数量上没有差异（材质立方体的“顶点”是角）的背景知识，人们可以通过目视检查材质来找到答案或者，如果手头没有材料立方体，则可以直观地想象一个立方体，并通过注意其顶面和底面提取出立方体的顶点恰好是这两个四边形面的顶点的信息。当一个人通过检查一个物质立方体得到答案时，视觉体验会有助于人们相信答案的基础，而这种贡献是使信念状态知识的一部分。因此，视觉体验的作用是显而易见的。因此由此产生的知识不是先验的。当人们通过视觉想象一个立方体来得到答案时，人们就会利用过去看到物质立方体的经验所积累的认知效果来回忆立方体的样子；所以视觉想象的经验在这种情况下具有间接的证据作用。

这些例子是否表明数学不是一门先验科学？是的，如果先验科学被理解为这样一种科学，其可知的真理只能以先验的方式可知，而不使用感官经验作为证据。不，如果先验科学是这样一种科学，其可知的真理都是以先验的方式可知的，并允许某些真理也可以以后验的方式可知。

6.2 视觉经验在证明中的证据运用

许多证明某事（或遵循其证明）的情况都涉及对符号数组进行更改或想象进行更改。群论中左消去证明的标准表述提供了一个例子。 “左取消”是这样的主张：对于具有运算·和单位元e的群中的任何成员a、b、c，如果a·b=a·c，则b=c。这是它的证明（核心）：

a·b = a·c

a−1⋅(a⋅b) =a−1⋅(a⋅c)

(a−1⋅a)⋅b =(a−1⋅a)⋅c

e·b = e·c

b=c。

假设人们通过遵循这一系列步骤来了解左取消。这是获取这些知识的先验方式吗？尽管遵循数学证明被认为是获取知识的一种先验范例方式，但对视觉体验在这里的作用的关注使这一点受到质疑。声称视觉体验具有证据作用的理由如下。

视觉体验不仅揭示了论证的步骤是什么，而且还揭示了它们是有效的，从而有助于我们接受论证并相信其结论的基础。例如，考虑从第二个方程到第三个方程的步骤。相关的背景知识，除了恒等逻辑之外，群运算是结合律的。这个事实通常以方程的形式表示，该方程以明显的方式简单地重新定位括号：

x⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅z

我们看到，按照这种格式重新定位括号，第二个方程的左侧项被转换为第三个方程的左侧项，右侧项也是如此。因此，视觉体验在我们识别从第二个方程到第三个方程的步骤是否有效方面起着证据作用。因此，这种获得左消除知识的相当标准的途径被证明是后验的，尽管这是遵循证明的明显情况。

与此相反，有人可能会争辩说，刚刚给出的证明之后所发生的情况的描述并不严格正确，如下所示。完全相同的证明可以用自然语言表达，使用“x 与 y 的组合”表示“x⋅y”，但结果很难接受。或者可以使用不同的符号约定来表示证明，即这迫使关联性有一个完全不同的表达。例如，我们可以使用波兰惯例，将运算符号放在操作数之前：我们用“⋅xy”代替“x⋅y”。在这种情况下，结合性将通过以下方式表达，不带括号：

⋅x⋅yz=⋅⋅xyz。

然后证明的方程需要重新符号化；但是重新符号化后每个方程所表达的内容以及从一个到下一个的步骤将与以前完全相同。所以我们将一步一步地遵循同样的证明。但这次我们不会使用涉及的视觉体验来注意到括号的重新定位。这表明，以不同的形式追随论证所涉及的不同视觉体验的作用仅仅是让我们获得共同的推理：体验的作用仅仅是促进。因此，视觉体验并不能严格地、字面地使我们看到任何步骤都是有效的；相反，对步骤有效性的认识（或敏感性）来自于更抽象层面的认知处理。

这些对立观点中哪一个是正确的？在考虑到相关背景知识的情况下，我们在遵循括号（1）提出的论点时的视觉经验是否向我们揭示了某些步骤的有效性？或者（2）仅仅让我们了解论证？反对观点（1）的核心论点是：

看到括号的重新定位对于理解论证并不重要。

因此，观看仅仅提供了了解论证的途径；它没有透露任何步骤是有效的。

得出这个结论的步骤是错误的。一个人如何遵循证明可能（在这种情况下确实如此）取决于它的呈现方式，并且遵循证明的不同方式可能是了解其结论的不同方式。虽然看到括号的重新定位对于遵循该论证的所有方式并不是必需的，但是当以上面给出的方式用括号象征性地呈现该论证时，对于遵循该论证的正常方式来说，它是必需的。

结合性，不用符号表示，是这样的：当二元群运算连续两次应用于操作数的有序三元组 ⟨a,b,c⟩ 时，无论第一次应用到最初的两个操作数还是最后一个操作数，都没有区别两个操作数。虽然这是关联性的内容，但为了便于处理，关联性几乎总是表示为符号操作规则。视觉感知用于在特定情况下在规则正确的先验知识的背景下判断所表达的规则是否被正确实施。这里发生的是数学思维中常见的分工。我们首先建立符号操作规则的健全性（就主导语义约定而言——在这种情况下，问题是微不足道的）；然后我们目视检查规则是否正确实施。在更抽象的语义级别上进行处理通常比在纯粹的句法级别上进行处理更困难；正是由于这个原因，我们经常诉诸符号操作技术作为直接用意义推理来解决问题的代理。 （在不使用任何符号技术的情况下，八分之六除以五分之三等于多少？）当我们在证明或遵循证明时使用符号操作时，需要视觉经验来辨别移动是否符合允许的模式，从而有助于我们的基础为了接受这个论点。那么得出结论的方式就有一个后验因素。

6.3 视觉体验的非证据性使用

如果视觉体验不仅仅能够实现，那么在知识获取中视觉体验的使用必须是证据性的吗？这是一个支持否定答案的例子。想象一个正方形或看一张正方形的图画。它的四个边各有一个中点。现在想象“内部”正方形，其边位于原始正方形相邻边的中点之间（图 17，左）。通过可视化该图，应该清楚原始正方形恰好由内部正方形加上四个角三角形组成，内部正方形的每条边都是角三角形的底边。现在，人们可以想象角三角形折叠起来，并且沿着内部正方形的边有折痕。图像变换的开始和结束状态可以用图 17 的左图和右图表示。

[第一个大小相同的正方形。 第一个具有连接每对相邻边的中点的线以形成另一个正方形。 第二个还有连接相对两侧的中点的线。 此外，第二个外部正方形有虚线而不是实线。] [大小相同的正方形中的第二个。 第一个具有连接每对相邻边的中点的线以形成另一个正方形。 第二个还有连接相对两侧的中点的线。 此外，第二个外部正方形有虚线而不是实线。]

(一) (二)

图17

可视化记忆中的原始正方形框架内的折叠，会产生原始正方形的图像，该图像被划分为正方形、其象限，并且内部正方形的边似乎是象限的对角线。许多人得出的结论是，角三角形可以精确地覆盖内部正方形，没有任何间隙或重叠。由此他们推断原始正方形的面积是内部正方形大小的两倍。让我们假设所涉及的命题是关于欧几里得图形的。我们关心的是以下内容的视觉路线：

正方形超出其内部正方形（通过连接原始正方形的相邻边的中点形成）的部分可以被布置为精确地适合内部正方形，没有重叠或间隙，不改变尺寸或形状。

想象角三角形折叠起来的经历可以使人产生这种信念。但它无法为其提供良好的证据。这是因为视觉经验（视觉或想象力）的敏锐度有限，因此无法区分外部三角形与内部正方形完全匹配的情况和它们不完全匹配但足够好以达到不匹配的情况。逃避视觉检测。 （这与通过观察或想象一个立方体的顶点数的情况形成对比。）即使想象正方形，内部正方形，然后想象折叠的角三角形，也受到早期场景感知体验的结果的限制。具有相关的相似性，我们无法从中得出有关面积精确相等的可靠信息，因为感知本身对于连续大小的精确相等（或精确比例）并不可靠。

尽管视觉经验不能为信念提供良好的证据，但我们有可能错误地使用经验作为证据来达成信念。但也有可能，当我们以所描述的方式达成信念时，我们并没有以经验来提供证据。如果当一个人以这种方式得出某种信念时，他感到相当确定，同时意识到视觉感知和想象力的敏锐度有限，因此无法为完全符合的主张提供证据，那么非证据性使用的可能性就更大。

但是，如果可视化体验既不只是启用，也不作为证据，那么它可能发挥什么作用呢？一种建议是，我们已经有了相关的信念和信念形成倾向，而视觉化体验可以有助于唤起信念并激活信念形成倾向（Giaquinto 2007）。这些信念和倾向将源于先前拥有的认知资源，一些是特定于学科的，例如几何图形的概念，一些是普遍的，例如关于感知上显着的垂直和水平轴的对称感知。在这种情况下，一个相关的先验信念可能是正方形关于对角线对称。相关的倾向可能是在看到或想象具有水平底加上连接其相对边的中点的垂直和水平线段的正方形时相信正方形的象限是全等的正方形的倾向。 （这些倾向与相信我们所看到的事物的普通感知倾向不同，因为当我们不信任视觉体验的准确性时，它们不会被取消。）

由此产生的信念是否是知识的问题取决于形成信念的倾向是否可靠（有利于真理）以及预先存在的信念状态是否是知识状态。由于可以在不违反认知理性的情况下满足这些条件，因此这里不完整描述的可视化路线可以是通往知识的路线。在这种情况下，我们将有一个使用视觉体验的例子，它是了解真理的方式不可或缺的一部分，它不仅是启用的，而且不是证据性的。 Giaquinto (2007) 的第 3 章和第 4 章给出了更全面的说明和讨论。

7. 视觉表现的进一步运用

视觉表示在数学中还有其他重要用途。最后一节简要介绍了其中的几个。

尽管在分析论证中使用图表面临着特殊的危险（如 3.3 中所述），但使用图表来说明以符号方式呈现的操作可能非常有帮助。例如，考虑这对运算 {f(x)+k,f(x+k)}。通过视觉插图可以帮助理解它们以及它们之间的区别；类似地，对于集合 {f(x+k),f(x−k)}, {|f(x)|,f(|x|)}, {f(x)−1,f−1(x) ,f(x−1)}。虽然基于视觉插图的概括是不可靠的，但我们可以使用它们来检查计算错误和过度概括。属性也是如此。例如，考虑 f(−x)=f(x) 的函数（称为偶函数）和 f(−x)=−f(x) 的函数（称为奇函数）：请记住 y=x2 和 y=x3 的图形图像作为偶数和奇数的实例，以提醒人们偶函数关于 y 轴对称，而奇函数关于原点具有 π 旋转对称性。它们可以作为提醒并防止过度概括：例如，任何适用于所有奇函数的一般主张都必须适用于 y=x3。

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