数学视觉思维的认识论（五）

视觉表示在真实和复杂的分析中的效用并不局限于此类简单的情况。视觉表征可以帮助我们掌握某些定义和论证的动机，从而加深我们的理解。通过阅读《视觉复杂分析》（Needham 1997）一文，可以得到对这一说法的大量证实。一些数学学科具有自然的视觉表示，然后它们本身就产生了数学实体的领域。对于几何来说是这样，对于本质上很快变成代数的学科也是如此，例如图论、纽结理论和辫子理论。计算机图形技术现在使我们能够使用移动图像。有关运动视觉表示在提供和增进对主题的理解方面的力量的示例，请参阅 Ester Dalvit 所著的辫子理论在线介绍的前两“章”（2012 年，其他互联网资源）。

对于证明，最低限度的理解在于理解每一行（命题或公式）并掌握从早期行到新行的每一步的有效性。但我们可以逐步掌握证明，而不知道为什么要按这些步骤进行。当一个人对证明的动机思想和策略有最低限度的理解和掌握时，就会有更高级（或更深入）的理解。该点由Weyl（1995 [1932]：453）迅速表达，引用（Tappenden 2005：150）

当我们被一个复杂的形式结论和计算链被迫接受数学真理时，我们并不感到非常高兴，我们盲目地通过链接进行链接，通过触摸感觉自己的方式。我们首先希望对目标和道路进行概述。我们想了解证据的想法，更深的背景。

有时，证明的作者通过添加评论会给读者提供所需的理解。但这并不总是需要，因为证明本身的介绍有时会揭示出证明的想法。通常，这是通过使用视觉表示来完成的。一个例子是菲斯克（Fisk）证明了奇瓦塔尔（Chvátal）的“美术馆”定理。该定理是几何组合问题的答案。具体地，问题是这个问题。让单板画廊的n壁做一个多边形。确保警卫可以看到画廊墙的每个点所需的最小固定守卫是多少？如果多边形是凸（所有内部角度＜180°），则一名后卫就足够了，因为警卫可能会旋转。但是，如果多边形不是凸，如图18所示，一个后卫可能还不够。

[一个不规则的9侧多边形。]

图18

Chvátal的定理给出了答案：对于带有n个墙壁的画廊，⌞N/3⌟后卫足够，其中⌞n/3⌟是最大的整数≤n/3。 （如果对您的声音不像数学定理那样充分听起来，则可以按以下方式重述：让S为欧几里得平面的子集。对于S的子集B，让我们说B对每个x∈S监督s Iff s iff有一个y∈B，使得xy位于S内。然后，最小的数字f（n），使每个由简单的n gon界定的集合都由一组f（n）点监督的f（n）点。 3.⌟

这是史蒂夫·菲斯克（Steve Fisk）的证明。简短的诱导表明，每个多边形都可以三角剖分，即，可以添加非粘性顶点（“对角线”）之间的非交叉边缘，以便多边形完全由非重叠的三角形组成。因此，取任何具有固定三角剖分的N侧多边形。将其视为图，一组顶点和连接的边缘，如图19所示。

[10个不规则放置的黑点，用黑色的黑线连接起来，形成不规则的10侧多边形。 一个黑点已经虚线去了其他四个与之相邻的点，其相邻的点之一是虚线的其他三个无贴剂（包括一个点，一个点是第一个点虚线之一的端点之一），虚线不会相交。]

图19

证明的第一部分表明该图是3色，即，每个顶点都可以用三种颜色之一（红色，白色和蓝色，说）颜色，以便没有边缘连接相同颜色的顶点。

该论点是通过诱导n≥3（顶点数量）进行的。

对于n = 3，这是微不足道的。假设它适用于所有k，其中3≤k

让三角构型多边形G具有n个顶点。令U和V为通过对角线紫外线连接的任何两个顶点。对角紫外线将G分成两个较小的图，均包含紫外线。给您和V不同的颜色，例如红色和白色，如图20所示。

[与以前一样，一个黑点并排分成两个红点，另一个黑点并排分成两个白点。这将先前连接的图形分为两个较小的图。]

图20

通过归纳假设，我们可以用三种颜色为每个较小的图形上色，以使得没有边缘连接相同颜色的顶点，请固定u和v。v。将两个较小的图粘合在一起的颜色，因为颜色为3--整个图的着色。

剩下的就是表明，可以将⌞n/3⌟或更少的后卫放在顶点上，以便每个三角形都在后卫的视野中。令B，R和W分别为蓝色，红色和白色的顶点的数量。令b在{b，r，w}中最小。然后b≤R和B≤W。然后2B≤R+w。因此3b≤b+r+w = n。因此b≤n/3，因此b≤⌞n/3⌟。在每个蓝色顶点上放置一个警卫。

该证明或证明策略的核心思想很明确。尽管这里产生的实际图对证明是多余的，但有些人可视化使我们能够掌握中心思想。

八、结论

在数学实践中，涉及使用可能是静态或移动的可见图像或可视化图像的思维是广泛的。这种视觉思维可能构成通过特定证据进行思考的不变和不可替代的部分。但是，当使用图像时，我们需要防止这些图像时存在过度征服的危险，并且在某些情况下，例如真实和复杂的分析，图形推理的明显声音可能是虚幻的。

即使视觉思维没有促进数学真理的贡献，它也可能使人们发现一个真理，在哪里发现真理就是以一种独立，可靠和理性的方式来相信它。视觉思维也可以在发现证明或证明策略的中心思想中发挥重要作用。并发现一种数学实体或数学属性。

在某些情况下，（不变的）使用视觉思维的使用确实在某些情况下会引入A后验元素，从而导致了人们知道的方式，从而获得了后验数学知识。这听起来不像真理那样革命性，而后验也可能是先验的。更有趣的是，人们可以以视觉思维是必不可少但没有贡献证据的方式获得一些数学知识。在这种情况下，视觉思维的作用可能是激活以前的认知资源。这打开了不变的视觉思维可能导致对数学真理的先验知识的可能性。

视觉思维可能会以多种方式有助于理解。视觉插图在提供分析概念的示例和非例子中可能非常有用，从而有助于提高我们对这些概念的掌握。此外，伴随证据的视觉思维可能会加深我们对证据的理解，使我们对证据的方向有所了解，以便正如赫尔曼·韦尔（Hermann Weyl）所说的那样，我们不会被迫盲目地穿越步骤，通过链接，感受我们触摸的方式。

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