数学哲学（四）

4.5 虚构主义

根据先前的建议，当适当地（即，唯名论地）解释时，普通数学的陈述是正确的。现在要讨论的数学唯名论解释认为，所有存在主义数学陈述都是错误的，仅仅是因为不存在数学实体。 （出于同样的原因，所有普遍的数学陈述都是正确的。）

虚构主义认为，数学理论就像童话故事、小说等虚构故事。数学理论描述虚构的实体，就像文学小说描述虚构的人物一样。这一立场最初是在（Field 1989）的介绍性章节中阐述的，并且近年来越来越受欢迎。

这种对虚构主义立场的粗略描述立即提出了一个问题：虚构实体是什么类型的实体。这似乎是一个深刻的形而上学本体论问题。完全避免这个问题的一种方法是否认虚构实体的存在。数学理论应该被视为参与伪装游戏的邀请，在其中我们表现得好像某些数学实体存在一样。假装或虚构的运营商保护其命题对象免受存在性输出（Leng 2010）。

无论如何，如上所述，根据虚构主义者的观点，数学理论实际上并不正确。尽管如此，数学还是用来传达真理的。因此，如果我们想了解真相，当我们断言涉及数学的物理理论时，我们必须从字面意思中减去一些东西。但这需要一种关于内容减少如何运作的理论。这样的理论已经在（Yablo，2014）中得到发展。

如果虚构主义的论点是正确的，那么对数学理论必须提出的一个要求肯定是一致性。然而，菲尔德又提出了第二个要求：数学必须相对于自然科学保守。粗略地说，这意味着只要可以使用数学导出经验理论的陈述，原则上也可以在不使用任何数学理论的情况下导出它。如果情况并非如此，那么就可以针对虚构主义提出一个不可或缺的论点。例如，数学实际上是否比物理学保守，目前是一个有争议的问题。夏皮罗提出了一个不完整性论证，旨在反驳菲尔德的主张（Shapiro 1983）。

如果确实不存在数学（虚构）实体，正如虚构主义的一种形式所具有的那样，那么贝纳塞拉夫的认识论问题就不会出现。与大多数形式的柏拉图主义相比，虚构主义与数学的唯名论重构有着同样的优势。但是，对假装运算符的吸引力意味着数学句子的逻辑形式与其表面形式有所不同。如果存在虚构的对象，那么数学句子的表面形式可以与其逻辑形式相一致。但如果它们作为抽象实体存在，那么贝纳塞拉夫的认识论问题就会再次出现。

贝纳塞拉夫的身份识别问题是否得到解决尚不完全清楚。一般来说，虚构主义是一种非还原论的解释。一种数学理论中的实体是否与另一种理论中出现的实体相同，通常是由数学“故事”不确定的。然而伯吉斯正确地强调了数学与文学小说的不同之处在于，虚构人物通常局限于一部小说作品，而相同的数学实体却出现在不同的数学理论中（Burgess 2004）。毕竟，具有相同名称的实体（例如

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出现在不同的理论中。也许虚构主义者可以坚持认为，当数学家发展出一种新理论，其中出现了“旧”数学实体时，所讨论的实体就会变得更加精确。与以前相比，它被赋予了更多确定的属性，只要保持整体一致性，这就可以了。

对形式主义的典型反对似乎也适用于虚构主义。虚构主义者应该对以下事实找到一些解释：以一种方式扩展数学理论通常被认为比以与第一种方式不相容的另一种方式继续它更可取。通常至少看起来有一种正确的方法可以扩展数学理论。

5.专题

近年来，数学哲学的分支学科开始兴起。它们的演化方式并不完全由关于数学本质的“大辩论”决定。在本节中，我们将讨论其中的一些学科。

5.1 基础和集合论

许多人认为集合论在某种意义上是数学的基础。似乎几乎任何数学问题都可以在集合论中进行，尽管有时这样做的环境很尴尬。近年来，集合论哲学正在作为一门自己的哲学学科出现。这并不是说，在集合论哲学的具体争论中，无论是从形式主义的角度还是从柏拉图主义的角度来处理它，都不会产生巨大的差异。

集合论最适合作为数学基础的论点绝不是没有争议的。在过去的几十年里，范畴论已经成为这一角色的竞争对手。范畴论是二十世纪中叶发展起来的数学理论。与集合论不同，范畴论中的数学对象仅被定义为同构。这意味着贝纳塞拉夫的识别问题不能针对范畴论概念和“对象”提出。同时，（粗略地）在集合论中可以完成的所有事情都可以在范畴论中完成（但并不总是以自然的方式），反之亦然（同样并不总是以自然的方式）。这意味着从结构主义的角度来看，范畴论是提供数学基础的一个有吸引力的候选者（McLarty 2004）。

从集合论一开始就很重要的一个问题涉及集合和真类之间的区别。 （这个问题在范畴论中有一个自然的对应物：小范畴和大范畴之间的区别。）康托尔的对角论证迫使我们认识到集合论宇宙作为一个整体不能被视为一个集合。康托定理表明，任何给定集合的幂集（即所有子集的集合）具有比给定集合本身更大的基数。现在假设集合论宇宙形成一个集合：所有集合的集合。那么所有集合的集合的幂集必须是所有集合的集合的子集。这与以下事实相矛盾：所有集合的集合的幂集将比所有集合的集合具有更大的基数。因此我们必须得出结论：集合论宇宙不能形成集合。

康托尔将太大而不能被视为一组不一致的多重性称为多重性（Cantor 1932）。今天，康托尔的不一致重数被称为真类。一些数学哲学家认为，真类仍然构成单位，因此可以被视为一种集合。按照坎托人的精神，它们只是太大而无法设置的集合。然而，这种观点也存在问题。正如不可能存在所有集合的集合一样，由于对角化的原因，也不可能存在所有真类的真类。因此，正确的阶级观点似乎不得不另外承认超正确阶级的领域，等等。因此，策梅洛声称根本不存在正确的类。这个位置并不像乍一看那么奇怪。经过仔细检查，我们发现在 ZFC 中，我们永远不需要量化太大而无法成为集合的实体（尽管存在确实可以量化适当类的集合论系统）。根据这种观点，集合论宇宙在绝对意义上可能是无限的。它永远不会作为一个完整的整体存在，而是永远在成长，因此永远是未完成的（Zermelo 1930）。这种说话方式表明，在我们试图理解潜在无限的概念时，我们被时间隐喻所吸引。毫不奇怪，这些时间隐喻引起一些数学哲学家的强烈不适。出于这个原因，同情策梅洛对集合论宇宙的势能主义解释的当代数学哲学家倾向于将这种解释中涉及的模态视为非时间模态：这种模态的本质受到激烈争论（Linnebo 2013，Studd） 2019）。

集合论哲学的第二个主题涉及公认的数学基本原理（即 ZFC 公理）的论证。一个重要的历史案例研究是选择公理在二十世纪初期被数学界接受的过程（Moore 1982）。这个案例研究的重要性很大程度上是因为数学界对其可接受性进行了公开而明确的讨论。在这次讨论中，接受或拒绝接受某个原则作为基本公理的一般原因浮出水面。在系统方面，阐述了集合概念的两个概念，旨在一次性证明 ZFC 的所有公理。一方面，存在集合的迭代概念，它描述了如何将集合论宇宙视为通过幂集运算从空集合生成的（Boolos 1971，Linnebo 2013）。另一方面，集合的大小概念存在局限性，即每个不太大而不能成为集合的集合都是一个集合（Hallett 1984）。迭代概念很好地激发了 ZFC 的一些公理（例如幂集公理），但对于其他公理（例如替换公理）则表现不佳（Potter 2004，第四部分）。大小概念的限制更好地激发了其他公理（例如限制理解公理）。公平地说，没有一个统一的概念可以清楚地证明 ZFC 的所有公理。

超越 ZFC 的假定公理的动机构成了集合论哲学的第三个关注点（Maddy 1988；Martin 1998）。其中一类原理是由大的基本公理构成的。如今，大基数假设实际上意味着集合论宇宙和集合论内部模型之间的某种嵌入属性（Kanamori 2009）。大多数时候，大基本原理意味着存在比 ZFC 可以保证存在的任何集合都大的集合。

大基本原则中较弱的一点得到内在证据的支持（见 3.1 节）。它们遵循所谓的反思原则。这些原则表明集合论宇宙作为一个整体是如此丰富，以至于它与它的某些集合大小的初始部分非常相似。迄今为止，大的基本原则中较强的一方只享有外在的支持。例如，许多研究人员对是否可以找到支持它们的反射原理表示怀疑（Koellner 2009）；然而，其他人则不同意（Welch & Horsten 2016）。

哥德尔希望在如此大的基本公理的基础上，集合论中最重要的开放问题最终能够得到解决。这就是连续统问题。连续统假说是康托尔在十九世纪末提出的。它指出，不存在太大以至于 S 与自然数之间无法存在一一对应关系，但又太小以至于 S 与实数之间无法存在一一对应关系的集合 S尽管付出了艰苦的努力，所有解决连续体问题的尝试都失败了。哥德尔开始怀疑连续统假设独立于公认的集合论（ZFC）原理。 1940年左右，他成功地证明了连续统假说与ZFC是一致的。几十年后，保罗·科恩证明连续统假说的否定也与ZFC一致。至此，哥德尔关于连续统假说独立性的猜想最终得到了证实。

但哥德尔希望大基数公理能够解决连续统问题的希望被证明是没有根据的。即使在大基数公理的背景下，连续统假设也独立于 ZFC。然而，大的基本原理已经设法解决了连续统假设的有限版本（肯定的）。所谓的伍丁基数的存在确保了分析中可定义的集合要么是可数的，要么是连续统的大小。这样，可定义的连续统问题就解决了。

近年来，人们一直致力于寻找一种不同类型的原理，这些原理可能是合理的，并且可能决定连续统假设（Woodin 2001a，Woodin 2001b）。这项研究中出现的一个更普遍的哲学问题如下：必须满足哪些条件才能使某个原理成为数学的假定基本公理？

一些试图确定连续统假说的研究人员认为它是正确的。其他人则认为这是错误的。但也有许多集合论学家和数学哲学家认为，连续统假设不仅在 ZFC 中是不可判定的，而且是绝对不可判定的，即它既不可证明（在该词的非正式意义上）也不能被证伪（在该词的非正式意义上）。词），因为它既不真实也不虚假。例如，如果数学宇宙是一个集合论多元宇宙，那么就有同样的模型可以使连续统假设为真，也有同样好的模型可以使其为假，就没有更多可说的了（Hamkins，2015）。

5.2 范畴性和多元性

十九世纪下半叶，戴德金证明了算术的基本公理，直到同构，都只有一个模型，这同样适用于实分析的基本公理。如果一个理论在同构之前只有一个模型，那么它就是绝对的。因此，模同构、算术和分析都有一个确切的预期模型。半个世纪后，策梅洛证明了集合论的原理“几乎”是类范畴的或准范畴的：对于任何两个模型

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（策梅洛 1930）。近年来，人们试图提出论证，表明泽梅洛的结论可以强化为完全的绝对断言（McGee 1997；Martin 2001），但我们在这里不讨论这些论证。

同时，Löwenheim-Skolem 定理指出，每一个至少具有一个具有无限域的模型的一阶形式理论，都必须具有具有所有无限基数域的模型。由于算术、分析和集合论的原理最好至少拥有一个无限模型，因此洛文海姆-斯科伦定理似乎适用于它们。这不是与戴德金的范畴定理有冲突吗？

这个难题的解决方案在于，戴德金甚至没有隐含地研究算术和分析基本原理的一阶形式化。相反，他非正式地使用二阶形式化。

让我们专注于算术，看看这意味着什么。算术的基本公设包含归纳公理。在算术的一阶形式化中，这被表述为一种方案：对于具有一个自由变量的算术语言的每个一阶算术公式，归纳原理的一个实例被包含在算术的形式化中。基本基数考虑表明，自然数有无数个不能用一阶公式表达的属性。但直觉上，归纳原理似乎适用于自然数的所有属性。因此，在一阶语言中，无法表达数学归纳原理的全部力量。出于这个原因，许多数学哲学家坚持认为算术假设应该用二阶语言来表述（Shapiro 1991）。二阶语言​​不仅包含范围在域元素范围内的一阶量词，还包含范围在域属性（或子集）范围内的二阶量词。在完整的二阶逻辑中，坚持认为这些二阶量词涵盖域的所有子集。如果算术原理是用二阶语言表述的，那么戴德金的论证就成立了，我们就有了一个范畴论。出于类似的原因，如果我们用二阶语言表述实分析的基本原理，我们也会得到范畴论，并且集合论的二阶表述结果是准范畴的。

先物结构主义以及数学的模态唯名结构主义解释可以从二阶公式中受益。如果前物结构主义者想要坚持自然数结构被皮亚诺公理固定为同构，那么她将想要在二阶逻辑中表述皮亚诺公理。模态唯名结构主义者会坚持认为相关的具体算术系统是那些使二阶皮亚诺公理成立的系统（Hellman 1989）。对于实分析和集合论也是如此。因此，诉诸二阶逻辑似乎是分离预期数学模型的结构主义计划的最后一步。

然而，在数学哲学中诉诸二阶逻辑绝不是没有争议的。第一个反对意见是二阶逻辑的本体论承诺高于一阶逻辑的本体论承诺。毕竟，二阶逻辑的使用似乎让我们相信抽象对象：类的存在。针对这个问题，Boolos 阐明了二阶逻辑的解释，避免了对抽象实体的承诺（Boolos 1985）。他的解释以复数表达式的形式阐明了二阶量词的真值子句，而无需调用类。例如，形式的二阶表达式

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被解释为：“有一些（一阶对象）x使得它们具有属性F”。这种解释称为二阶逻辑的复数解释。复数和集合的数学使用之间是否存在真正的区别是有争议的（Linnebo 2003）。然而，很明显，诉诸二阶逻辑的多元解释对于结构主义的唯名论版本来说是很有吸引力的。

针对二阶逻辑的第二个反对意见可以追溯到奎因（Quine 1970）。这个反对意见指出，完整的二阶逻辑的解释与集合论问题有关。大多数二阶逻辑的组织都采用选择公理的一个版本作为其公理之一，这一事实已经表明了这一点。但更令人担忧的是，二阶逻辑与集合论中的深层问题（例如连续统假设）密不可分。对于诸如算术之类旨在描述无限对象集合的理论，即使是像二阶量词范围的基数问题这样基本的问题，也相当于连续统问题。此外，事实证明，当且仅当连续统假设成立时，存在一个二阶逻辑真理的句子（Boolos 1975）。我们已经看到，连续统问题独立于当前公认的集合论原理。许多研究人员认为它完全没有真实价值。如果是这样，那么二阶无限模型的概念本身就存在固有的不确定性。而许多当代数学哲学家认为后者不具有确定的真值。因此，有人认为，完整二阶逻辑的（无限）模型的概念本质上是不确定的。

如果不想诉诸完整的二阶逻辑，那么还有其他方法可以确保数学理论的范畴性。一个想法是使用介于一阶量词和二阶量词之间的量词。例如，人们可能将“有有限多个 x”视为原始量词。例如，这将允许人们构建算术的绝对公理化。

但确保数学理论的范畴性并不需要引入更强的量词。另一种选择是将算法可计算性的非正式概念作为原始概念（Halbach & Horsten 2005；Horsten 2012）。 Tennenbaum 定理指出，皮亚诺算术的所有一阶模型（其中加法和乘法是可计算函数）彼此同构。现在我们的加法和乘法运算是可计算的：否则我们永远无法学习这些运算。那么，这是我们能够分离算术原理的预期模型的另一种方式。然而，针对这种说法，可以指出的是，例如，似乎无法以这种方式确保用于实际分析的预期模型的类别性。对于实分析原理模型的计算，我们没有一个可以起到 Tennenbaum 定理作用的定理。

如果人们接受算术谓词集合的某种开放性，那么就可以获得算术范畴定理，而不会超越一阶逻辑的界限，也不会诉诸可计算性的非正式概念。假设有两位数学家 A 和 B，他们都用自己的语言断言一阶皮亚诺公理。进一步假设 A 和 B 将允许进行数学归纳的谓词集合视为开放式的，并且都愿意接受对方的归纳方案为真。那么 A 和 B 有足够的资金来说服自己这两种语言都描述了同构结构（Parsons 1990b）。此类论证称为内部范畴论证。它们在当代数学哲学中受到广泛争论：例如（Button & Walsh 2019）。

许多对数学哲学中范畴性论证的哲学应用持怀疑态度的人认为我们所有一致的数学理论都有许多结构上不同的模型，并且认为所有或许多这些模型彼此相同。正如我们在上一小节中看到的，集合论多元宇宙观就是一个很好的例子，集合论势能论也是如此。但我们可以更进一步，捍卫这样一个论点：任何一致的数学理论都描述了一个独立的数学宇宙，并且没有任何这样的理论比任何其他理论更真实（Linsky & Zalta 1995，Bueno 2011）。

这些理论属于数学多元主义的一系列观点，这是数学哲学中日益突出的主题。从历史上看，这一系列观点根源于希尔伯特和卡尔纳普的著作。在与弗雷格的辩论中，希尔伯特坚持认为一致性足以让数学理论有一个主题（Resnik 1974）；卡纳普认为，在替代的大规模理论（框架）之间进行选择最终只是一个务实的问题（Carnap 1950）。

正如哲学中无处不在的情况一样，这里存在分歧：对于数学真理是不可撤销的使用相关概念这一学说的批评，请参见（Koellner 2009b），而对于反驳，请参见（Warren 2015）。有些人对数学多元主义的反应是更进一步，并认为所有不一致的数学理论都应该被视为正确的（在相对化的意义上）。此外，一些在不一致的意义上微不足道的数学理论通常被认为与许多令人尊敬的一致理论一样有价值：“历史上，[据作者所知]有三种数学理论对数学产生了深远的影响。和逻辑，并且被发现是微不足道的。有康托尔的朴素集合论、弗雷格的形式逻辑理论和丘奇的第一版数理逻辑形式理论。这三者都对后来的数学产生了深远的影响”（Friend 2013，第 294 页）。

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