数学哲学（三）

4.1什么数字不可能

好像有一个困难问题的柏拉图主义不够（第3.4节），贝纳克拉夫（Benacerraf）对固定理论柏拉图主义提出了挑战（Benacerraf 1965）。挑战采用以下形式。

有许多无限的方法可以用纯集识别自然数。让我们限制我们的讨论在没有必要的普遍性的情况下，以两种方式进行讨论：

我

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0

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1

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⋮

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⋮

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⋮

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}

}

⋮

Benacerraf问的简单问题是：

其中哪一个仅由真实的身份陈述组成：I或II？

回答这个问题似乎很困难。不难看出如何在I和II的数字candidaties上定义一个后继功能，添加和乘法操作，从而使我们所采取的所有算术语句都是真实的。的确，如果以自然的方式完成此操作，那么我们到达同构结构（从单词的设定理论意义上），以及同构结构使相同的句子正确（它们基本上是等效的）。只有当我们提出算术问题时，例如'

1

ε

3

1

ε

3

？’自然数的两个说法产生了不同的答案。因此，两个帐户都是正确的。根据故事我，

3

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，而根据Story II，

3

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}

3

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,

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,

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}

}

。如果两个帐户都是正确的，那么身份的传递性将产生纯粹的设定理论虚假性。

总结，我们到达以下情况。一方面，似乎没有理由一个帐户优于另一个帐户。另一方面，帐户不能既正确。这种困境有时被称为标记为贝纳切拉夫的识别问题。

从这个难题中得出的适当结论似乎是，帐户I和帐户II都不正确。由于比较其他合理的外观尝试将自然数减少到集合的尝试将出现类似的考虑，因此看来自然数毕竟不是设置的。此外，很明显，可以为理性数字，实数……贝纳切拉夫（Benacerraf）得出结论，他们也根本不是设定了类似的论点。

例如，戈德尔是否承诺将自然数减少到纯组合，这一点尚不清楚。柏拉图主义者可以维护自然数可以嵌入固定理论宇宙的主张，同时保持嵌入不应被视为本体论的减少。的确，在林斯基和扎尔塔的全体柏拉图式陈述中，自然数没有除了我们的自然数字理论（Peano Arithmetic）所归因的属性。但是，似乎柏拉图主义者必须在理性数字，复数数字上采取类似的界限。尽管坚持自然数字是素食的，但诚然的吸引力是一定的吸引力，但要坚持认为复数也是Sui Generis也许不太自然。而且，无论如何，即使自然数，复数，……在某种意义上都无法降低其他任何内容，也可能会怀疑是否可能没有其他方法可以阐明其性质。

4.2 TANTE REM结构主义

Shapiro在代数和非代数数学理论之间提出了一个有用的区别（Shapiro 1997）。粗略地，非代数理论是乍看之下的理论，它是一个独特的模型：理论的预期模型。我们已经看到了此类理论的例子：算术，数学分析……代数理论，相比之下，并没有带有表面上的表面声称是独特的模型。例子是群体理论，拓扑，图理论…

可以为非代数理论所描述的对象安装贝纳那拉夫的挑战。但是他的挑战不适用于代数理论。代数理论本身对数学对象不感兴趣；他们对数学对象的结构方面感兴趣。这导致贝纳克拉夫（Benacerraf）推测非代数理论是否同样不正确。也许要从贝纳切拉夫（Benacerraf）的识别问题中得出的教训是，即使算术也不描述特定的数学对象，而是描述了结构关系？

Shapiro和Resnik认为，所有数学理论，甚至是非代数理论都描述了结构。该立场被称为结构主义（Shapiro 1997； Resnik 1997）。结构由彼此之间存在结构关系的地方组成。因此，数学理论在衍生上描述了结构中的位置或位置。但是他们没有描述对象。例如，在此视图上，数字将不是对象，而是自然数结构中的位置。

系统是结构的实例化。实例化由非代数理论描述的结构的系统彼此同构，因此出于理论的目的，同样好。第4.1节中描述的系统I和II可以看作是自然数结构的实例。

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同样适合扮演第三名的角色。但是数字也不是。对于第三，在自然数结构中是一个空旷的地方，并且这个开放位置没有任何内部结构。系统通常包含与与其实例化的结构相关的结构属性。

明智的身份问题是可以从结构中提出的问题。它们是可以根据结构的结构方面回答的问题。超出结构的身份问题是没有意义的。一个人可以提出一个问题是否

3

ε

4

3

ε

4

，但不强调：这个问题涉及类别错误。这个问题混合了两个不同的结构：

ε

ε

是一个固定的理论概念，而3和4是自然数的结构中的位置。这似乎构成了贝纳切拉夫挑战的令人满意的答案。

在夏皮罗（Shapiro）看来，结构在本体论上并不取决于实例化其实例化的系统的存在。即使在自然界中没有无限系统，自然数的结构也将存在。因此，夏皮罗（Shapiro）理解它们的结构是抽象的柏拉图实体。 Shapiro的结构主义品牌通常被标记为ANTE REM结构主义。

在集合理论的教科书中，我们还找到了结构的概念。大概，集合理论定义说结构是有序的

n

+

1

�

+

1

- 组合由集合组成，该集合的许多关系以及该集合的许多显着元素。但这不可能是数学哲学中的结构主义的概念。对于集合的结构概念，结构的概念以结构主义为前提，应用结构主义用结构术语来解释。或者，以不同的方式说，设定的理论结构仅仅是一个实例化的系统，该系统是在本体论之前实例化的结构。

尽管如此，即使是最涵盖的数学学科（SET理论），扩展坦克的结构性的动机也不是完全明显的（Burgess 2015）。回想一下，对数学纪律的结构主义理解的主要动机在于贝纳切拉夫的识别问题。对于集合理论，似乎很难受到识别挑战：通常不是根据更原始的概念来定义集合。

看来，坦克·雷姆（Ante Rem）结构主义以某种圆形方式描述了结构的概念。结构被描述为彼此相关的地方，但不能独立于其所属的结构来描述一个地方。但这不一定是一个问题。对于Ante REM结构主义者，结构的概念是一个原始概念，无法用其他更基本的术语来定义。充其量，我们可以构建数学结构的公理理论。

但是贝纳克拉夫的认识论问题似乎仍然是紧迫的。结构和结构中的位置可能不是对象，但它们是抽象的。因此，很自然地想知道我们如何成功地获得知识。某些哲学家将这个问题作为发展名义主义数学理论，然后将这一理论与结构主义基本原则调和的原因。

4.3没有抽象实体的数学

古德曼（Goodman）和奎因（Quine）尽早尝试咬住子弹：他们开始了一个从自然科学重新制定理论的项目，而无需使用抽象实体（Goodman＆Quine 1947）。被证明是一项艰巨的任务。奎因（Quine）在此初步尝试后就放弃了它。在过去的几十年中，许多理论都提出了对数学的名义主义重建。 （Burgess＆Rosen 1997）对这种观点有很好的批判性讨论。

在数学的名义主义重建中，具体实体将不得不扮演抽象实体在数学的柏拉图式叙述中扮演的角色，而具体关系（例如零件 - 整个关系）必须用于模拟数学对象之间的数学关系。但是这里出现了问题。首先，希尔伯特已经观察到，鉴于自然在量子力学中的离散化，自然科学可能最终声称只有有限的混凝土实体（Hilbert 1925）。然而，似乎我们需要无限的许多人来扮演自然数字的角色 - 不要介意实际数字。名义主义者在哪里找到所需的混凝土实体集合？其次，即使假定存在无限的许多具体对象，也不清楚即使是基本的数学理论，例如原始递归算术算术，也可以通过名义关系来“模拟”（Niebergall 2000）。

菲尔德（Field）认真地尝试了对牛顿力学的名义主义重建（Field 1980）。基本思想是这个。字段想在其上使用实数和功能的具体替代物。他对空间连续体采取了现实主义的立场，并将空间区域与椅子和桌子一样真实。他占据了混凝土的空间区域（毕竟，它们位于空间位置）。如果我们还计算出非常断开的连接，那么牛顿空间的区域与实数的子集一样多。然后有足够的具体实体在实际数字上发挥自然数，实数和功能的作用。以及制定牛顿力学的全部所需的实际数字和功能理论。当然，对真正的当代科学理论（例如量子力学）进行名义上的重建将更加有趣。但是，鉴于该项目可以针对牛顿力学进行，因此似乎有理由是合理的。

该项目显然有其局限性。说，在实际数字上解释功能空间的理论可能是可能的。但是，认为可以找到对集合理论的名义主义解释，这似乎很遥远。但是，如果它在其范围内取得成功，那么Field的计划确实取得了成就。因为这意味着，至少在某种程度上，数学实体毕竟似乎是可以使用的。因此，他会迈出重要的一步，破坏数学中奎尼亚谦虚的柏拉图主义的不可或缺的论点，因为在某种程度上，数学实体毕竟似乎是可以使用的。

如果希尔伯特（Hilbert）担心，从根本意义上讲，我们最好的科学理论可能只有有限的许多混凝土实体是没有根据的，那么菲尔德的策略才有机会工作。如果一个人同情希尔伯特的关注，但不相信抽象实体的存在，那么人们可能会咬住子弹，并声称只有有限的数学实体有限，因此与基本算术的基本原理相矛盾。这导致了一种被称为超专业主义的立场（Essenin-Volpin 1961）。

在大多数情况下，超专业主义像直觉主义一样，在数学中进行修正主义。因为似乎有人不得不说有最大的自然数字。从外部，只有有限的数学宇宙的理论在理论上证明了弱，因此很可能是一致的。但是伍丁提出了一个论点，即从超级人士的角度来看，据称没有理由认为超级知识主义理论可能是一致的（Woodin 2011）。

不管这一论点如何（此处未讨论其细节），许多人已经发现，很难吞咽数量最多的断言。但是Lavine阐明了一种精致的理论超级文学，这是数学上非修改主义者的（Lavine 1994）。他已经详细说明了如何将ZFC的原则视为描述确定有限集的原则，如果将其视为无限大的原则。

4.4在Rebus结构主义中

现场的物理学家对算术和分析的解释不仅破坏了Quine-Putnam不可或缺的论点。它还部分地解决了贝纳切拉夫的认识论挑战。诚然，说明人类如何获得时空区域的知识并不是一件简单的任务。但是至少根据许多（但不是全部）哲学家的时空区域，物理上是真实的。因此，我们不再需要阐明肉和血液数学家如何与非物理实体接触。但是贝纳切拉夫的识别问题仍然存在。一个人可能想知道为什么一个时空点或区域而不是另一个区域扮演数字的角色

π

�

， 例如。

为了应对识别问题，将结构主义方法与字段的名义主义结合起来似乎很有吸引力。这导致了名义主义结构主义的版本，可以概述如下。让我们专注于数学分析。名义主义的结构主义者否认任何具体物理系统都是对分析的独特预期解释。满足真实分析基本原理（RA）的所有具体物理系统都将同样出色。所以句子的内容

φ

�

分析语言的（大致）给出：

每个使RA成真的混凝土系统也使

φ

�

真的。

这需要与ante rem结构主义一样，仅结构方面与数学陈述的真理或虚假有关。但是，与Ante Rem结构主义不同，没有假设在混凝土系统之外提出任何抽象结构。

根据Rebus结构主义的说法，在实例化它们的系统之上均未存在抽象结构。结构仅存在于实例化它们的系统中。因此，在Rebus结构主义中名义主义者有时被描述为“没有结构的结构主义”。名义主义结构主义是一种在Rebus结构主义中的形式。但是，在rebus结构主义中并没有被名义上的结构主义所耗尽。即使是将数学视为结构的柏拉图主义版本也可以看作是在rebus结构主义中的一种形式。

在数学话语中，非代数结构（例如“自然数”）和数学对象（例如“''数字1）是通过确定的描述所述的。这强烈表明，数学符号（n，1）具有独特的参考，而不是“分布式”一个符号，就像rebus结构主义中一样。但是在Rebus结构主义者中认为，这种数学符号以与“汤米需要他的来信”（第二次世界大战的口号）相同的方式充当专用变量，而“汤米”的名字被选为代表一些任意的混凝土士兵，并在许多情况下重复使用而没有改变其参考（Pettigrew 2008）。

如果希尔伯特的担忧良好，因为没有任何具体的物理系统使数学分析的假设是正确的，那么上述名义主义的结构主义的句子内容是句子的内容

φ

�

分析的语言会弄错了这种句子的真相条件。因为每个普遍量化的句子

φ

�

，它的释义将真实地出现。因此，需要存在一个可以用作RA模型的具体物理系统的生存假设，以备份上述数学陈述内容的分析。也许像Field's Construction一样适合该法案。

普特南（Putnam）早就注意到，如果对数学句子内容的上述说明进行了某种修改，那么基本上弱的背景假设足以获得正确的真理条件（Putnam 1967）。普特南提出了以下句子内容的模态渲染

φ

�

分析语言：

一定是每个使RA成真的混凝土系统，也使

φ

�

真的。

这是一个比之前提出的非模式渲染更强的陈述。但这似乎同样合理。这种渲染的优点是，以下模式存在背景假设足以使数学陈述的真实条件正确：

可能存在一个具体的物理系统，可以用作RA的模型。

（“有可能”这意味着“是或可能是这样的情况”。）现在，希尔伯特的关注似乎已经充分解决了。因为在Putnam的描述中，数学句子的真实不再取决于对现实世界的物理假设。

诚然，不容易就我们知道这种模式存在假设的满足说明。但是，可能希望这项任务比解释我们如何成功了解抽象实体的事实的任务要艰巨。不应忘记的是，这种（模式）名义主义立场的结构主义方面使贝纳切拉夫的识别挑战处于BAY。

普特南的策略也有其局限性。吉哈拉（Chihara）试图将普特南（Putnam）的策略应用于算术和分析，还将其设定为理论（Chihara 1973）。然后，相关模态存在假设的粗略版本变为：

可能存在可以作为 ZFC 模型的具体物理系统。

帕森斯指出，当需要包含具有大超限基数或什至太大而没有基数的物理实体集合的可能世界时，很难将它们视为可能的具体或物理系统（Parsons 1990a）。我们似乎没有理由相信可能存在包含高度超限的许多实体的物理世界。

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