数学哲学（二）

对于库里的形式主义立场，存在着一种典型的反对意见。事实上，数学家并不将所有表面上一致的形式系统视为同等。例如，他们中的大多数人不愿意承认，在算术系统中，表达皮亚诺算术一致性的算术句子是可推导的，而不是其否定是可推导的，这种偏好最终可以用纯粹实用的术语来解释。许多数学家希望坚持认为，某些形式系统的感知正确性（不正确性）最终必须通过它们正确（不正确）描述某些主题这一事实来解释。

Detlefsen 强调，不完备性定理并不排除在实践中用于解决数学家感兴趣的算术问题的高等数学部分的一致性可以通过算术建立（Detlefsen 1986）。从这个意义上说，即使希尔伯特对所有高等数学的工具主义立场最终站不住脚，某些东西也许可以从火焰中被拯救出来。

艾萨克森（Isaacson，1987）还尝试挽救希尔伯特计划的一部分。他捍卫了这样的观点，即在某种意义上，皮亚诺算术可能毕竟是完整的（Isaacson 1987）。他认为皮亚诺算术中不可判定的真实句子只能通过高阶概念来证明。例如，皮亚诺算术的一致性可以通过归纳到超限序数来证明（Gentzen 1938）。但序数的概念是一个集合论的概念，因此是非算术的概念。如果证明算术一致性的唯一方法必须使用可以说属于高阶数学的概念，那么算术一致性即使可以用皮亚诺算术语言表达，也是一个非算术问题。由此概括，人们可能会怀疑希尔伯特的猜想，即每个算术问题都可以根据皮亚诺算术的公理来决定，是否仍然是正确的。

2.4 预测主义

正如前面提到的，预测主义通常不被描述为流派之一。但只是由于偶然的原因，在第二次世界大战到来之前，预测主义并没有上升到其他学派的显赫水平。

预测主义的起源在于罗素的著作。根据庞加莱的提示，他对罗素悖论做出了以下诊断。罗素悖论的论证定义了满足以下条件的所有数学实体的集合 C

Ø

x

ε

x

Ø

�

ε

�

。然后论证继续询问 C 本身是否满足这个条件，并得出一个矛盾。

庞加莱-罗素对此论证的诊断指出，该定义根本没有挑选出集合：不可能通过隐式引用 S 本身的条件来定义集合 S。这就是所谓的恶性循环原理。违反恶性循环原理的定义被称为谓语。集合的合理定义仅指独立于定义的集合而存在的实体。这样的定义称为谓语。正如哥德尔后来指出的那样，柏拉图主义者会发现这种推理路线缺乏说服力。如果数学集合独立于定义行为而存在，那么目前还不清楚为什么不能存在只能直接定义的集合（Gödel 1944）。

所有这些导致罗素发展了简单的和分支的类型理论，其中建立了句法限制，使得谓语定义不格式。在简单类型论中，定义公式中的自由变量范围涵盖要定义的集合不属于的实体。在分支类型理论中，还要求定义公式时的绑定变量的范围不包括要定义的集合。 2.1节指出，罗素的类型论不能被视为数学到逻辑的还原。但除此之外，人们很早就观察到，特别是在分支类型理论中，形式化普通的数学论证太麻烦了。

当罗素转向分析哲学的其他领域时，赫尔曼·韦尔开始了预测主义事业（Weyl 1918）。与庞加莱一样，外尔并不认同罗素将数学简化为逻辑的愿望。从一开始，他就发现在实践中不可能采用分支类型理论。韦尔发展了一种介于直觉主义和柏拉图主义之间的哲学立场。他认为自然数的集合是毫无问题的。但是自然数的任意子集的概念并没有被认为是在数学直觉中立即给出的。只有那些由算术（即一阶）谓词确定的子集才被认为是谓词可接受的。

一方面，数学分析中的许多标准定义都是必然的。例如，集合上的运算的最小闭包通常被定义为在该运算的应用下封闭的所有集合的交集。但最小闭包本身是在操作的应用下封闭的集合之一。因此，该定义是必然的。这样，注意力逐渐从对集合论悖论的关注转移到了必然性在主流数学中的作用。另一方面，韦尔表明，绕过命令性概念通常是可能的。甚至出现了大多数十九世纪主流数学分析都可以在预测基础上得到证实的情况（Feferman 1988）。

20 年代，历史介入。韦尔被布劳威尔更激进的直觉主义项目所吸引。与此同时，数学家们开始相信，康托尔和策梅洛提出的高度预测超限集合论受到罗素悖论的威胁并不像之前所怀疑的那么严重。这些因素导致预测主义陷入了数十年的休眠状态。

在广义递归理论工作的基础上，所罗门·费弗曼 (Solomon Feferman) 在 20 世纪 60 年代扩展了预测主义项目 (Feferman 2005)。他意识到韦尔的策略可以迭代到超限中。此外，那些可以通过对韦尔认为谓词合理的集合进行量化来定义的数字集合，也应该被视为谓词可接受的，依此类推。这个过程可以沿着顺序路径传播。这条序数路径延伸到谓词序数所能达到的超限，其中如果序数测量了自然数的可证明良序的长度，则它是谓词的。这种对预测数学强度的校准是由费弗曼和（独立）许特提出的，如今已被普遍接受。费弗曼随后研究了有多少标准数学分析可以在预测主义框架内进行。费弗曼和其他人（最著名的是哈维·弗里德曼）的研究表明，从预测主义的角度来看，二十世纪的大多数分析都是可以接受的。但同样清楚的是，从预测主义的角度来看，并非所有被数学界普遍接受的当代数学都是可以接受的：超限集合论就是一个很好的例子。

3.柏拉图主义

在第二次世界大战之前的几年里，很明显，数学哲学中的三个反柏拉图主义纲领都遭到了强烈的反对。预测主义也许是一个例外，但它在当时是一个没有捍卫者的计划。因此，人们对关于数学本质的柏拉图主义观点的前景重新产生了兴趣。根据柏拉图主义的概念，数学的主题由抽象实体组成。

3.1 哥德尔的柏拉图主义

哥德尔在数学对象和数学概念方面是柏拉图主义者（Gödel 1944；Gödel 1964）。但他的柏拉图主义观点比街上数学家的观点更为复杂。

哥德尔认为，一方面，数学对象和概念的合理理论与物理对象和属性的合理理论之间存在很强的相似性。与物理对象和属性一样，数学对象和概念也不是由人类构建的。与物理对象和属性一样，数学对象和概念也不能还原为心理实体。数学对象和概念与物理对象和属性一样客观。数学对象和概念，就像物理对象和属性一样，是为了获得我们经验的令人满意的理论而被假设的。事实上，类似于我们与物理对象和属性的感知关系，通过数学直觉，我们与数学对象和概念处于准感知关系。我们对物理对象和概念的感知是错误的，但可以纠正。同样，数学直觉也不是万无一失的——正如弗雷格第五定律的历史所表明的那样——但它是可以训练和改进的。与物理对象和属性不同，数学对象不存在于空间和时间中，数学概念也不在空间或时间中实例化。

我们的数学直觉为数学原理提供了内在证据。事实上，我们所有的数学知识都可以从 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理和选择公理 (ZFC) 中推导出来。在哥德尔看来，我们有令人信服的内在证据来证明这些公理的真实性。但他也担心数学直觉可能不够强大，无法为明显超过 ZFC 强度的公理提供令人信服的证据。

哥德尔认为，除了内在证据之外，还可以获得数学原理的外在证据。如果数学原理是成功的，那么，即使我们无法获得它们的直观证据，它们也可能被认为是正确的。哥德尔说：

…这里的成功意味着结果的丰硕成果，特别是“可验证”的结果，即无需新公理即可验证的结果，然而，在新公理的帮助下，其证明要简单得多，更容易发现，并且使得契约成为可能将一个证明转化为许多不同的证明 […] 可能存在如此丰富的可验证结果的公理，为整个领域提供如此多的启示，产生如此强大的解决问题的方法 […]，无论它们是否本质上是必要的，它们必须至少在与任何成熟的物理理论相同的意义上被接受。 （哥德尔 1947 年，第 477 页）

这启发哥德尔寻找新的公理，这些公理可以由外部驱动，并且可以决定诸如高度独立于 ZFC 的连续统假设等问题（参见第 5.1 节）。

哥德尔和希尔伯特一样坚信所有数学问题都有明确的答案。但是数学哲学中的柏拉图主义不应该被认为是事实上致力于认为所有集合论命题都具有确定的真值。有些版本的柏拉图主义认为，例如，通过确定设定的理论事实，ZFC的所有定理都是正确的，但是没有一些设定的理论事实可以使某些具有高度独立于ZFC真实性确定性的陈述。似乎著名的理论家保罗·科恩（Paul Cohen）持有这种观点（Cohen 1971）。

3.2自然主义和不可或缺的

Quine对传统哲学进行了方法论批评。他提出了一种不同的哲学方法，它已被称为自然主义（Quine 1969）。根据自然主义的说法，我们最好的理论是我们最好的科学理论。如果我们想获得有关哲学问题的最佳答案，例如我们知道什么？存在哪些实体？我们不应该诉诸传统的认识论和形而上学理论。我们还应该避免从第一原则开始进行基本的认识论或形而上学的探究。相反，我们应该咨询和分析我们的最佳科学理论。它们包含的，尽管通常隐含着我们目前对存在的内容，我们所知道的以及我们如何知道的最佳说明。

普特南将奎因的自然主义立场应用于数学本体论（Putnam 1972）。至少自加利利（Galilei）以来，我们来自自然科学的最好理论就可以表达出来。例如，牛顿的引力理论在很大程度上依赖于实数的经典理论。因此，对数学实体的本体论承诺似乎是我们最好的科学理论所固有的。可以通过吸引奎尼亚人的确认圣地论文来加强这种推理。经验证据并不能赋予其验证能力对任何一个单独的假设。相反，经验在全球范围内证实了个人假设嵌入的理论。由于数学理论是科学理论的一部分，因此它们也得到了经验证实。因此，我们对数学理论有经验证实。甚至更多。似乎数学对于我们最好的科学理论是必不可少的：在不使用数学词汇的情况下，我们如何表达它们，这一点一点都不明显。因此，自然主义者的立场命令我们接受数学实体作为我们哲学本体论的一部分。这种论点称为不可或缺的论点（Colyvan 2001）。

如果我们采用以表面价值涉及的最佳科学理论所涉及的数学，那么我们似乎致力于柏拉图主义的形式。但这是柏拉图主义比戈德尔的柏拉图主义更谦虚的形式。因为看来自然科学可以与实数（大致）功能空间相处。跨足集理论的较高区域似乎与我们在自然科学中最先进的理论无关。然而，Quine（在某个时候）认为ZFC假设的集合可以从自然主义的角度接受。它们可以被视为我们科学理论所涉及的数学的慷慨大方。 Quine对此事的判断并未被普遍接受。例如，Feferman认为，目前最好的科学理论本质上使用的所有数学理论都可以降低（Feferman 2005）。玛蒂甚至认为，数学哲学中的自然主义与对集合的非现实主义观点完全兼容（Maddy 2007，第四部分）。

在奎因的哲学中，自然科学是关于数学存在和数学真理的最终仲裁者。这使查尔斯·帕森斯（Charles Parsons）反对这张照片使基本数学的明显性有些神秘（Parsons 1980）。例如，在奎因（Quine）看来，每个自然数字是否具有继任者的问题最终取决于我们最好的经验理论。但是，这种事实似乎比这更直接。 Maddy以一种善良的精神指出，数学家并没有以自然科学的方式限制自己的活动。的确，人们可能会怀疑数学本身是否不应被视为一门科学，以及是否不应根据数学实践中隐含的理性方法来判断数学的本体论承诺。

在这些考虑因素的激励下，Maddy着手询问数学实践中隐含的存在标准，以及从这些标准遵循的数学的隐式本体论承诺中（Maddy 1990）。她专注于设定理论，并关注数学社区所带来的方法论上的考虑因素，这是一个问题，可以将大型基本公理视为真实。因此，她的观点更接近戈德尔的观点，而不是奎因的观点。在最近的工作中，她隔离了两个格言，这些格言似乎是指引导理论家在考虑新的理论原则的可接受性时：统一和最大化（Maddy 1997）。格言“统一”是集合理论提供单个系统的煽动，其中所有数学对象和数学结构都可以进行实例化或建模。格言“最大化”意味着集合理论应采用设定的理论原则，在数学上尽可能强大和富有成果。

3.3放气柏拉图

伯尼观察到，当数学家在工作时，她“天真地”以柏拉图式处理的方式对待她所处理的物体。他说，每位工作数学家都是柏拉图主义者（Bernays 1935）。但是，当数学家被一个哲学家询问她的本体论承诺时，她倾向于将脚洗净并撤回一个模糊的非广播立场。有人认为，关于数学对象和数学知识的性质的哲学问题有问题。

Carnap引入了框架内部问题与框架外部问题之间的区别（Carnap 1950）。有人认为，卡尔纳普（Carnap）在某种幌子中的区别在于它首次阐明的逻辑经验主义框架的灭亡（Burgess 2004b）。泰特（Tait）试图详细研究如何将结果区别应用于数学（Tait 2005）。这导致了可能被视为柏拉图主义的通缩版。

根据泰特（Tait）的说法，数学实体的存在问题只能被明智地询问并从内部（公理）数学框架中合理地回答。例如，如果一个人在数字理论中工作，那么可以询问是否有具有给定属性的质子数。这样，这些问题就会纯粹是数学上的决定。哲学家倾向于走出数学框架，并“从外部”询问数学对象是否真正存在，以及数学命题是否真的真实。在这个问题中，他们要求为数学真理和存在主张提供上数学或形而上的理由。泰特（Tait）认为，很难看到如何对这种外部问题做出任何意义。他试图使它们放气，并将它们带回它们所属的地方：数学实践本身。当然，并不是每个人在这一点上都同意Tait。 Linsky和Zalta已经开发了一种系统的方式，可以准确回答Tait以不屑一顾的方式解决的外部问题（Linsky＆Zalta 1995）。

泰特（Tait）在数学哲学或数学上存在数学对象“外部时空和时间”的哲学论文中，泰特（Tait）对戈德利（Gödelian）呼吁数学直觉几乎没有用处毫不奇怪。泰特（Tait）认为，数学不需要哲学基础。他想让数学说明自己。从这个意义上讲，他的立场让人想起（从某种意义上说，维特根斯坦）自然的本体论态度，这在科学哲学的现实主义辩论中提倡。

3.4 Benacerraf的认识论问题

苯那纳氏菌为科学哲学中的各种柏拉图立场提出了认识论问题（Benacerraf 1973）。该论点专门针对数学直觉（例如戈德尔的直觉）。 Benacerraf的论点始于以下前提：我们的最佳知识理论是因果关系理论。然后注意到，根据柏拉图式，抽象对象在空间或时间上不是局限的，而肉体和血液数学家在空间和时间上进行了定位。然后，我们最好的认识论理论告诉我们，数学实体的知识应是由于与这些实体的因果相互作用而产生的。但是很难想象情况如何。

今天，很少有认识论学家认为，知识的因果理论是我们的最佳知识理论。但是事实证明，在认识论理论的变化下，贝纳那拉夫的问题非常强大。例如，让我们假设为了论证，可靠性是我们最好的知识理论。然后，问题成为解释我们如何成功获得有关数学实体的可靠信念。

霍德斯（Hodes）制定了贝纳切拉夫（Benacerraf）认识论问题的语义变体（Hodes 1984）。根据我们目前最好的语义理论，人类与具体世界之间的因果历史联系使我们的话可以指物理实体和属性。根据柏拉图主义，数学是指抽象实体。因此，柏拉图主义者欠我们一个合理的描述，即我们（身体体现的人）能够指称它们。从表面上看，看来参考的因果理论将无法为我们提供数学话语“参考的微观结构”所需的描述。

3.5全体柏拉图式

已经开发了一种柏拉图式的版本，旨在为贝纳切拉夫的认识论问题提供解决方案（Linsky＆Zalta 1995； Balaguer 1998）。该立场被称为全体柏拉图主义。该理论的中心论点是，每个逻辑上一致的数学理论都必须指抽象实体。制定该理论的数学家是否知道它是指的是无关紧要的。通过娱乐一致的数学理论，数学家会自动获取有关该理论主题的知识。因此，从这种角度来看，没有认识论问题可以解决。

在Balaguer的版本中，全体柏拉图式假定数学宇宙的多样性，每个宇宙都与一致的数学理论相对应。因此，尤其是一个诸如连续性问题（参见第5.1节）之类的问题没有收到独特的答案：在某些设定的理论宇宙中，连续性假设存在，而在其他情况下则无法解决。但是，并非所有人都同意可以维护这张照片。马丁已经提出了一个论点，以表明多个宇宙总是可以在很大程度上被“积累”到一个宇宙中（Martin 2001）。

在Linsky和Zalta的全体柏拉图式版本中，由一致的数学理论猜测的数学实体完全具有该理论归因于它的数学属性。例如，与ZFC相对应的抽象实体在某种意义上既没有使连续性假设为true也不是错误的。原因是ZFC既不需要连续假设，也不需要其否定。这并不需要所有始终扩展ZFC的方式在标准杆上。某些方法可能是富有成果和强大的，而另一些方式则不太如此。但是这种观点确实否认某些一致的扩展ZFC的方法是可取的，因为它们由真实原则组成，而其他人则包含错误的原则。

4。结构主义和名义主义

Benacerraf的工作激发了哲学家在数学哲学中发展结构主义和名义主义理论（Reck＆Price 2000）。自1980年代后期以来，结构主义和名义主义的组合也得到了发展。

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