亚里士多德与数学（一）

一、简介

2. 数学科学的结构：第一原理

3. 三个概念的论证：“每个”、“本身”、“普遍”

4. 演示和数学

5. 不同科学之间的关系：自主性与从属性

6. 数学科学研究什么：4 个难题

7. 亚里士多德对数学对象的处理

7.1 抽象或“移除”的对象（ta ex aphaireseôs）

7.2 精度（akribeia）

7.3 分离 (hôs kekhôrismenon)

7.4 X Qua (hêi) Y

7.5 可理解的物质 (noêtikê hylê)

8. 通用数学

9. 幅度的位置和连续性

10. 单位 (monas) 和数量 (arithmos)

10.1 背景

10.2 测量（metron）

10.3 时间

11.数学和假设必然性

12. 无限（apeiron）

13.亚里士多德和数学史的证据

词汇表

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

一、简介

公元前五世纪末和四世纪见证了希腊数学的许多重要发展，包括基本论文或元素的组织以及证明概念、数论、比例论、结构的复杂使用（包括球面螺线和圆锥曲线）以及几何和算术在数学中的应用其他科学的形成，特别是天文学、力学、光学和谐波。此类论文的作者还开始了创建构思和呈现技术工作的有效方法的过程，包括使用字母来识别图表的各个部分，在证明中使用用字母标记的抽象量而不是实际数值，以及使用的证明。我们无法知道亚里士多德是否影响了技术论文的作者，或者仅仅反映了当前的趋势。

在这种背景下，柏拉图学院成为了关于我们如何认识数学（原理的种类、证明的性质等）以及如果科学要真实而不是空洞的话，已知的对象必须是什么的争论的沃土。亚里士多德对数学的处理反映了这种多样性。尽管如此，亚里士多德作为数学家和数学科学哲学家的声誉经常盛衰。

事实上，亚里士多德的论文展示了希腊罗马时代之前所有哲学家中技术上最困难的数学。他的技术失败涉及概念上困难的领域，涉及无限线和非均匀幅度。

2世纪以来的亚里士多德评论家倾向于将亚里士多德的数学对象解释为精神对象，这使得亚里士多德更符合新柏拉图主义。后来，文艺复兴后期的机械论运动将亚里士多德视为将数学与物理科学分开，以便在他们的观点和他的观点之间造成更深的分歧。正因为如此，人们很容易认为亚里士多德赞同数学中的心理主义。这些倾向导致人们普遍认为亚里士多德的数学观点对于他的思想来说是边缘性的。然而，最近，一些有同情心的读者认为亚里士多德表达了物理主义的虚构主义版本，即数学对象是基于物理对象的虚构实体。在某种程度上，这种观点被认为是一种看似合理的数学观点，亚里士多德已经重新获得了他的地位。

亚里士多德从未提出过数学哲学，这有两个重要的意义。亚里士多德认为几何学和算术这两种我们可以说构成古代数学的科学仅仅是两门最重要的数学科学。他对数学的解释总是包括光学、数理天文学、调和学等。其次，据我们所知，亚里士多德从未专门论述过数学哲学。甚至《形而上学》第十三卷和第十四卷，这两本书主要致力于讨论数学对象的本质，也确实关心传播柏拉图主义的立场，即除了感性物质之外还有不变和永恒的物质，以及将数字与感性物质等同的毕达哥拉斯立场。

2. 数学科学的结构：第一原理

亚里士多德在《后分析》中关于演绎科学最佳格式的讨论反映了柏拉图学院教授和实践的当代数学实践、那里关于数学科学本质的讨论以及亚里士多德自己在逻辑方面的发现。亚里士多德有两个不同的担忧。一个观点是从他的论点演变而来的，即任何科学都必须有第一个不可证明的原理，以避免循环和无限倒退。另一种观点源于他的观点，即示威必须具有解释性。 （参见亚里士多德逻辑条目§6“论证和论证科学”的 A、B 和 C 小节。）

亚里士多德区分了（后验分析 i.2）两种论证的起点：公理和假设。

公理 (axiôma) 是值得接受的陈述，在学习任何东西之前都需要它。亚里士多德的列表包括最一般的原则，例如不矛盾和排中，以及更具体的数学原则，例如，当从 equals 中取出 equals 时，余数相等。目前还不清楚为什么亚里士多德认为一个人需要学习数学公理才能学习任何东西，除非他的意思是一个人需要学习数学公理才能学习数学学科中的任何东西，或者公理是如此基本以至于它们应该构成一个人的数学知识的第一部分。学习。

亚里士多德将命题（命题）分为两种类型：定义和假设：

假设（hupothesis）断言矛盾的一部分，例如某事物存在或不存在。

定义（horismos）并不断言矛盾的任何一部分（或者可能没有断言存在或不存在）。

由于定义并不断言或否认，亚里士多德可能想让我们将定义理解为规定或在某种程度上与所定义的术语等效的定义表达式。单位的定义“数量上不可分割”并不以单位存在或不存在为前提。因此，三段论前提“一个单位在数量上是不可分割的”，如果被视为预设单位的存在，那么就不是这个意义上的定义。当然，后来亚里士多德将允许许多其他类型的定义。

关于亚里士多德的假设有很多观点：（i）存在主张，（ii）科学中的任何真实假设，以及（iii）希腊数学中典型证明开始时对对象的规定。例如，“设 A 是一个单位”（其中规定对象是一个单位），或者更具希腊数学特征，“设一条线 AB”（规定存在一条线，即 AB ）。事实上，所有这些解释都可能有一点亚里士多德的意思。在这种情况下，亚里士多德暗示科学中任何断言或否认某事的假设都是假设。然而，他挑出了存在的主张。存在主张在亚里士多德的科学概念中如何发挥作用？从《物理学四》中，我们有诸如“有地方”和“不存在空”之类的主张。然而，亚里士多德在后验分析中使用的例子是诸如属存在之类的主张，或者具体来说，存在单位，或者说有点和线。亚里士多德还指出，有时属的假设因过于明显而被省略。只有通过将这些一般主张与它们在亚里士多德数学中的应用进行比较，我们才能了解亚里士多德的含义。亚里士多德想让我们明白，在一篇科学论文中进行论证之前，该论文应该陈述起始命题。这些包括比科学更广泛的一般主张、作为规定而不是断言陈述的定义，以及基本实体“存在”的主张。什么算作可接受的存在主张是相对于实际科学而言的。证明的开头“设一条线AB”是科学基本假设的应用。由于亚里士多德将这种通过特定线条的证明视为一般证明，因此开头主张实际上应被理解为代表存在线条的一般主张。这就是假设被用作前提的方式。 “设三角形ABC”这一规定不会成为这种解释的假设，因为他认为三角形的存在性需要被证明，因此这实例化了一个派生命题。

一门科学由一个属（genos）（科学的内容）和属性的集合（科学对属的描述）组成。属或种类既被定义又被假设存在。从他的例子（几何学中的点和线）来看，属应该被宽松地理解为科学中的基本实体。这些属性已被定义，但并未假设为存在。必须证明这些属性属于该属的各个成员。例如，必须证明三角形存在，例如某些[可构造的]图形是三角形。

如果我们非常认真地对待亚里士多德声称论证的每个直接前提都表达了有关现有实体的某些东西的普遍观点，那么人们很可能想知道论证的原理、公理和假设如何能够成为论证的前提。存在主张和规定并不表达有关现有实体的某些内容。由于亚里士多德将公理称为“（论证产生的）公理”，一些人认为，公理本身就构成了科学的前提，任何科学的证明都是通过将属项及其定义放入公理中，然后代入当它们出现在证明中时，使用诸如“三角形”之类的术语来定义它们。然而，除了指出公理对于这项工作的不足之外，可能有人会反对亚里士多德还将证明直接陈述的原则称为protaseis），即公理和假设。另一种可能性是，他甚至将规定和存在主张以及其他假设视为前提，但将公理视为某种更根本的证明来源。在这种情况下，他对什么是前提的概念比许多读者预期的要宽松。无论如何，如果他的证明理论要起作用，他必须允许比在古希腊数学标准文本的介绍中找到的更多直接前提。

有关更多信息，请参阅以下补充文档：

亚里士多德和希腊数学第一原理

3. 三个概念的论证：“每个”、“本身”、“普遍”

在后分析 i.4 中，亚里士多德还发展了对其科学主张理论至关重要的三个概念：“每个”、“本身”（kath' hauto）或“凭借自身”（以四种方式）和“普遍” ”（卡索卢）。尽管他对这些概念的阐述是根据他的证明理论量身定制的，但这些概念也旨在描述任何科学主张的基本特征，其中主要例子主要来自数学。 （参见亚里士多德逻辑条目的§6 论证和论证科学。）

A 对“每个”B 都成立，当且仅当 A 在每种情况下都始终对 B 成立。请注意，这个条件比先前分析中“A 属于所有 B”的含义更强。数学示例：点位于每条线上（即每条线上都有点）。

A 本身是相对于 B 的，当且仅当“A”在给出 B 本质的叙述中。请注意，亚里士多德并没有说 A 属于所有 B（例如，“头发”出现在秃头的定义中，但“有头发并不属于秃头的人），但亚里士多德对头发的使用却预设了这一点。亚里士多德允许存在以下形式的直接陈述：A不属于任何B。数学示例：三角形的定义中存在“线”，线的定义中存在“点”。

A 本身是相对于 B 的，当且仅当“B”在给出 A 的本质的说明中，并且 A 属于 B。 数学示例：直线和圆弧属于线，奇数和偶数属于数。一些评论家认为，它是属于本身的析取（例如，直线或圆弧本身属于所有直线）；其他例子是每个谓词本身属于主语（例如，straight 本身属于（某些）线）。然而，亚里士多德应该知道，并非所有的直线都是直线或圆形。

A 本身就是 iff，当且仅当“A”表示“a this”（tode ti），即“A”指的是 A 是什么。在邮政。一个。 i.22，亚里士多德将本质等同于本质，即三段论链的最底层。然而，人们很可能会问，一门科学中是否一定存在类似的概念。如果是这样，如果 A 是给定科学中的基本实体，即该科学所研究的实例，那么 A 本身就是 3。如果是这样，算术中的本身就是单位。

A 本身是相对于 B 的，当且仅当 A 由于 A 属于 B。要么没有给出数学例子，要么例子是（取决于我们如何阅读文本）：直线或曲线属于直线，奇数或偶数属于数量，但这些可能是本身的情况2。非数学的例子是：在被割喉时，它因割喉而死。

A 普遍属于 B，当且仅当 A 属于所有 B，并且 A 属于 B 本身（凭借 B）和作为本身（作为 B）。这里“本身”的概念似乎与前面提到的略有不同（有人认为其含义是“本身”4），但无论如何，据说等同于“作为本身”。也许我们需要第五种“本身”的概念。

B 本身具有 A（即，凭借 B）当且仅当 A 属于 B qua B，即不存在 B 的更高属或类 C，使得 A 属于 C，因此由于属于 B 而属于 B C. 同样，亚里士多德并没有将“本身”5 标记为一个单独的概念，因此该概念可以包含在“本身”4 之下。请注意，与 per se1 和 per se2 不同，per se5 依赖谓语的主语。

这里的想法似乎是：

A 普遍属于 B，当且仅当 A 属于所有 B 并且 A 本身属于 B。

另一种（更强？）解释是：

A 普遍属于 B，当且仅当 A 本身属于所有 B 并且 B 属于所有 A。在这种情况下，A 和 B 在现代讨论中被称为相称共相。 （参见 An. Post，B 16-17）

亚里士多德将三角形的角等于两个直角的性质描述为本身 5 (= per se4) 和通用，但也将“内角等于两个直角”的性质描述为本身 accidens (kath' hauto sembebêkôs) ）的三角形。人们普遍认为这些是某种本质上的事故。由于这些必然是从本质属性中得出的，所以称它们为意外似乎很奇怪。然而，有时将事故视为伴随事件、不同示范链的结果更为合适。或者，亚里士多德经常使用同一个词来表示后果。在这种情况下，它们应该被称为本身的后果。

值得注意的是，亚里士多德的证明理论要求证明中的所有谓词要么是本身1，要么是本身2。既不是本身1也不是本身2的东西是偶然的。因此，本身4（或本身5，如果它是一个单独的概念）和本身意外在任何情况下都应该可以简化为这些概念。

4. 演示和数学

由于他的逻辑理论在形式上取得了成功，亚里士多德还认为大多数数学证明都具有普遍肯定三段论的形式，即芭芭拉。 （请参阅亚里士多德逻辑条目中的三段论部分。）这意味着大多数数学定理都是 A 对另一个 C 的说法，并且每个数学论证都有一个中间项 B，它解释了 A 和 C 之间的联系。亚里士多德提供数学中此类三元组术语的几个例子，例如，两个直角-围绕一个点三角形的角，或直角-半两个直角-半圆中的角。评论家们早就注意到，数学证明通过普遍实例化（ekthesis）来处理特定情况，然后普遍化为一般主张，并且并非所有命题都具有以下形式：A 被称为 B，例如，元素 1 1， “在给定的直线上构造一个等边三角形。”一个更现代的反对意见是，《先前分析》1 1, 3-7 中提出的三段论的形式理论严重不足以表达涉及条件和多对多关系的理论，就像所有古代数学的情况一样。尽管如此，亚里士多德确实认为大多数数学证明实际上都具有这种形式。那些不会的肯定是否定命题，并且可能是存在主义命题。 （我们对亚里士多德如何构想存在命题的逻辑形式还不够了解。）通过仔细阅读先验分析的其余部分，很明显亚里士多德对“一件事说另一件事”有一个灵活的概念，并且他认为标准数学证明确实具有普遍的形式，而我们出于理解的目的将其表达为特殊的。

5. 不同科学之间的关系：自主性与从属性

一门科学是由它所研究的属或种类以及属于该种类的一组可指定的属性来定义的。其次，科学中研究的属性是根据科学的属（本身2）来定义的。因此，通常不可能使用不同的科学来证明一件事。因为人们必须证明一个属内的属性适用于完全不同的属。因此，每门科学都是自主的。然而，亚里士多德在拒绝柏拉图认为科学从属于善知识的观点的背景下提出了这一主张。他实际上声称的要谦虚得多。如果一个属属于另一个属，在某些情况下，有可能通过使用另一门科学的定理来证明一个属性属于另一个属。在这种情况下，一种科学被认为是在另一种科学之下（从属）。

以下是亚里士多德在《分析》中提到的科学及其关系：

几何学

立体测量（立体几何）

算术

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光学

（数学）

天文学

（数学）

力学

谐波

（数学）

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关于彩虹

航海天文学，

现象，

经验

声学科学

亚里士多德将最低层次的科学，即对彩虹、天文现象和声学谐波的描述视为描述性的，提供了事情确实如此的事实，但没有提供解释，而解释是由更高层次的科学提供的。很容易推测亚里士多德将如何填写表中的关系；例如，他会像柏拉图在《报告七》中所做的那样，将立体测量置于几何之下吗？同样，数学光学与几何之间的解释关系与光学与经验光学之间的关系也不同。这个彩虹的例子似乎是指《气象学》iii.5 中的论点，其中观察到的事实是，彩虹永远不会超过半圆（在平坦的土地上是这样），这是通过完全几何特征的光学证明来解释的。一旦提供了反射的基本设置和原理，剩下的就是几何的了。

当一门科学不属于另一门科学，但某些属性来自另一门科学时，就会出现不同的情况。亚里士多德的例子是，圆形伤口[比割伤]愈合得更慢。医疗特性取决于伤口的面积及其周长。

亚里士多德关于自治的观点是，算术定理（更不用说调和定理）不能用来证明几何中的某些东西。在这里，算术可能被理解为欧几里得、《几何原本》中的数论，而不仅仅是数字的计算，当然，数字的计算也用于几何中。这允许反柏拉图的观点认为，关于美的定理和数学定理彼此无关，即使有些定理是美的。

在其他地方（特别是物理学 ii.2 和形而上学 xiii.3），亚里士多德对数学科学之间的关系提供了不同的解释。

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