亚里士多德与数学（二）

6. 数学科学研究什么：谜题

亚里士多德在讨论数学本体论问题时主要关心的是避免各种版本的柏拉图主义。亚里士多德与柏拉图一样认为存在着理解的对象，这些对象必须是普遍的而不是特定的，并且它们必须满足某些“巴门尼德”条件，例如不变和永恒。然而，亚里士多德拒绝柏拉图的观点，即理解的对象与细节是分开的。这是亚里士多德形而上学中的一个普遍问题。然而，就数学对象而言，存在三个重要的困难。首先，如果物理对象是数学理解的对象，并且满足直线、圆等的标准定义，那么可以说它们明显在两个方面失败了（参见 Met. iii 2 997b25-8a19）：

我们画的物理直线不是直的；物理切线并不真正与圆的一点相切。换句话说，物理对象不具备我们研究的数学属性。这就是精度问题。

物理数学对象缺乏我们所要求的理解对象的属性。它们不是分离的或独立于物质的。因此，它们不是永恒的或一成不变的。这就是可分离性问题。

尽管这两个问题是截然不同的，但亚里士多德可能认为，这种失败至少是数学对象未能具有我们研究的数学属性的部分原因。柏拉图形式以第三种方式失败。

假设每种三角形都有一个形式。每种类型仍然只有一个表格。关于矩形对角线的数学定理可能会提到两个相等且相似的三角形，但它们是不同的。数学科学需要许多同一类型的对象。这是复数问题（参见 Met. iii 2 和 Met. iii.1-2）。

第四个问题亚里士多德没有明确指出，但显然是他讨论的前提。

对数学的描述不应影响数学实践，从而使其变得不连贯或不可能。如果数学家谈论三角形、数字等，数学对象的描述至少应该解释该话语。这就是非修正主义（有时也称为自然主义）的问题。因此，亚里士多德在谈到他自己对数学的解释时说（Met. xiii.3 1077b31-33），“可以毫无条件地正确地说数学存在并且正如它们＜数学家所说＞”（参见物理学。 iii） .7 207b27-34 原则的应用）。

为了解决分离和精确的问题，当代哲学家如斯佩西普斯（Speusippus），可能还有柏拉图（Plato）提出了一个数学实体的宇宙，这些实体是数学属性的完美实例，对于我们希望证明的任何定理来说都是充分多重的，并且与物理或可感知的世界分离。亚里士多德称它们为数学或中间体，因为它们介于形式和物理对象之间，因为它们像形式一样是完美的、永恒的和不变的，但又像物理对象一样具有多重性（例如，参见《Met.i》）。 6 987b14-18，iii 2，xiii.1-2)。这个解决方案是数学中柏拉图主义许多版本的祖先。

亚里士多德对中间派的拒绝涉及到表明他们的拥护者致力于笨拙的多重数学宇宙，至少有一个对应于每一种数学科学，无论是运动学、天文学还是几何学。然而，他还着手表明，这样的本体论不仅仅是重复的，而且还可以给出一种替代的解释，而无需考虑所有提到的困难。换句话说，亚里士多德的策略最好被视为传播柏拉图主义的某些版本。

亚里士多德也拒绝妥协，因为它仅仅加剧了这一困难，认为形式或中间体是事物内在的（独立但共同延伸的），因为这些不同的世界现在必须捆绑在一起存在。

7. 亚里士多德对数学对象的处理

亚里士多德在这里对数学对象的地位的描述将集中在亚里士多德在他的讨论中使用的五个概念上：“抽象”或“拿走”或“去除”或“减法”（aphairesis），“精度”（akribeia） 、“分离的”(hôs kekhôrismenon)、“qua”或“在这方面”(hêi) 和“可理解的物质”(noêtikê hylê)。主要来源是后分析、De Anima iii.6-8、形而上学 iii.2、vi.1、vii.10-11、ix.9、x.1-2、xi.2-3、7、xiii。 1-3，物理 ii.2。

7.1 抽象或“移除”的对象（ta ex aphaireseôs）

亚里士多德有时将数学对象称为通过、在、从或通过移除的事物（在不同的著作中，亚里士多德使用不同的表达方式：ta aphairesei、ta en aphairesei、ta ex aphaireseôs、ta di’ aphaireseôs）。同样清楚的是，这种用法与定义主题中的逻辑讨论有关，其中人们可以谈论添加术语或从表达式中删除术语并查看结果。我们的主要任务是解释这种逻辑/心理消除是什么以及它如何解决四个难题。亚里士多德从可感知的或物理的量级开始。对这些的检验是物理学的一部分（参见物理学 iii.4）。他并不关心这些的本体论地位，但我们可以假设它们构成了数量的范畴：物理实体的物体、表面、边缘、角落、地点、时间、声音等（第六类）。

在《分析学》中，物质的概念不存在，亚里士多德从一个特定的几何可感知图形开始。被去除的是它的特殊性以及随之而来的一切，包括它的可感知性。那么剩下的就是某种普遍性。亚里士多德在这部著作中似乎也不认为多元问题与将数学演绎中的所有项视为共相之间存在任何冲突。然而，由于他允许一个术语可以是一个非常复杂的表达，因此它可以指定一个丰富的复合体，而在柏拉图理论中可能没有相应的形式。

在其他地方，亚里士多德通常似乎意味着不属于科学一部分的属性被删除。剩下的可能是特定的、准虚构的实体。正是这个实体的地位引起了很多争议。它是灵魂中的表征还是以特殊方式处理的可感知对象？古代和中世纪的读者在解释亚里士多德时倾向于采用前一种方法，即留下的对象是仅具有所需属性的精简表示。 （参见 Mueller (1990) 和这些数学解释的新柏拉图基础，例如普罗克洛斯对欧几里得的评论。）

大多数现代读者可能受到伯克利和休谟对第一种立场的批评的影响，并且当然不太热衷于新柏拉图主义，所以采取第二种方法。数学科学研究的对象是以特殊方式处理的可感知对象，作为感知的表示，无论是沙子中的图表还是想象中的图像。此外，也许作为对弗雷格对心理主义的毁灭性批评和胡塞尔首次尝试对算术进行心理学解释的回应，一些人认为亚里士多德不需要特殊的抽象能力。相反，心灵能够在没有某些属性的情况下考虑被感知的对象，例如被感知、由沙子、大理石、青铜等制成。然而，这类似于定义的逻辑操作，通过考虑有或没有的术语某些补充。因此，亚里士多德有时会将物质对象通过相加称为数学对象。为了方便起见，心将其视为对象就是那个。按照这种观点，抽象与推理一样都是心理性的。

从概念上讲，我们可以将这个过程视为思维重新排列对象的本体结构。沙盒作为一件实质性的文物，本质上具有一定的属性。所绘制的图形可能是偶然的，即事故。将物体视为所画的图形时，由沙子制成是偶然的。因此，“移除的事物”可能是解释长度的可感知大小的一种方式。这是亚里士多德的大部分工作的概念。

7.2 精度（akribeia）

在他对精确性的讨论中，亚里士多德指出，那些去除了更多属性的科学更加精确。关于单位的算术比几何更精确，因为点是具有位置的单位。所有运动都是匀速运动的运动学（运动幅度的几何）比一门还包括非匀速运动的科学更精确，而非运动幅度（几何）的科学比运动幅度的科学更精确。然而，人们可能会推断，这里的“精确”只不过是指“清晰”（或者可能是“精致”，尽管其含糊之处）。 “精度”这个概念是否为解决精度问题提供了一个框架？

7.3 分离 (hôs kekhôrismenon)

亚里士多德用一种虚构主义解决了可分离性问题。数学家的语言和实践是合法的，因为我们能够以它们所不具备的方式来设想可感知的量值。对于亚里士多德来说，唯一的基本现实仍然是物质，无论我们如何看待它们。物质的主要特征是它们是分开的。然而，我们能够说一个三角形，有限的表面，仅仅是身体的极限，因此并不分开，就好像它是分开的（hôskekhôrismenon）。这是我们科学的一个主题（在科学上的论述中）。我们实现这一目标的精神和逻辑机制是亚里士多德在扩散柏拉图式中战略的核心。

7.4 x qua（hêi）y

亚里士多德使用一词通常用英语单词“ qua”翻译，该单词本身会翻译出拉丁相对代词“ qua”，但具有一个重要的语法差异。英语副词通常紧随其后的是名词短语。

作为在词性情况下的相对副词代词，希腊语单词捕获了典范的所有可能含义，包括“ where''，“以“，”的方式，“事实上”或“尊重 - 那个。有些人建议用“因为”翻译它，尽管可以说英语单词充其量与适当的希腊语含义相交（也许是“或恰恰是因为“效果更好”。因此，应该将其理解为椭圆形的：

‘x在x是y的方面’

或者

‘x通过x是y的事实”（或“ x恰恰是因为x是y”）。

在这里，“ x”通常是一个名词短语，以任何普通方式指代实体，例如，算术研究leopold qua单元，这个人qua单元，这个音乐家qua单元。

在科学主张的背景下，'x b​​ymeans of-the-means of the the the x y是y是f'f'坚持认为'y是f'是一个定理，其中y是F的最通用或适当的主题，并且X是F，因为X是Y。例如，图ABC Qua三角形的内部角度等于两个直角，但是Qua右三角具有AB2 + BC2 = ab2 。

图1

如果我们检查或研究对象x qua y或x的对象 - x是y，我们研究了从某物为y的后果。换句话说，y确定了我们的逻辑空间学习。如果X是一个青铜三角（可感知的幅度），则研究X Qua铜牌将是检查青铜器和具有青铜物质的特性。研究X Qua三角形是研究带有三角形的特性。除非它是因为某事是三角形的，否则它必须是古铜色，否则铜牌的特性不会出现在一个人的检查中。

请注意，“ qua”运算符不必是“ qua y”的形式，其中y是名词短语。例如，亚里士多德（Aristotle）说（de Anima III.4.429B25-6），两件事影响并受到影响“ qua的共同点属于两者”。同样，作为证据表明“ qua”在这些上下文中并不总是意味着“”，因为（通常，上下文太模棱两可，无法精确地决定它是“因为”或“在“尊重”中的意思），请考虑尼古拉奇伦理I.3.1102 B8-9，“睡眠是灵魂qua的不活动，它被称为好是坏，但肯定不是因为它是。

只有一个或两个可能的例外，似乎每当亚里士多德谈论f（x）qua g（x）时，g（x）就必须为真。我们可以研究一个可感知的三角形三角形，因为它是三角形。为了方便起见，我们可以称之为这一原则。

具有“ qua”的数学对象的帐户。我们从可观的幅度开始。这些是卷，表面，边缘和角落。它们改变了位置和大小。它们是由某些材料制成的，是物质及其相互作用的数量。体积，表面和边缘具有形状。时间和角落没有。不同的科学处理不同的可感知幅度会使不同的事物。

此外，由于有许多可感知的幅度，因此有足够的QUA线路证明任何涉及线条的定理。多数问题是微不足道的。

解决了可分离性问题，因为如果我们检查X qua y，我们将谈论y，就好像它是一个独立的实体，作为一个主题，并且不会关注我们通过描述“ x”，从某种意义上说，仅研究了qua滤波器的残留物。科学将谈论Y。这也不会干扰数学实践，因此不会违反非修订主义。

在形而上学vi.1中，亚里士多德认为，物理学涉及有变化但物质的事物，至少有一些数学要涉及的事情不会改变，而是永恒而不是物质（例外可能包括星星和球，数学运动学中的数学天文学和身体），而第一哲学或神学是关于物质但不变且永恒的事物的。现在，我们可以表征数学对象是永恒而缺乏变化的方式。也就是说，生成和变化不是通过几何或算术研究的谓词之一。因此，可以说Qua线条，可感知线缺乏产生，破坏和变化（适用于运动学和数学天文学的条件）。

是否也解决了精确问题以及如何解决问题。在古代和中世纪的解释中，通过允许心理表征与选择一样精确来解决精确问题。将亚里士多德的数学对象视为以特殊方式处理的物理对象的当代解释具有更困难的任务。亚里士多德可以通过五种方式尝试解决精确问题。

如今，许多学者似乎都认为，对于亚里士多德来说，如果可以谈论X Q Y，那么X必须精确。这意味着，任何关于三角形的定理都只能容纳罕见的完美三角形，无论它们在哪里（笛卡尔曾经提出的论文）。

为了增加本体学中精确三角形的实例数，一些学者转向了MET。 xiii.3，亚里士多德指出，在两种方式上说，实际上是一种实质性的，他可能指出了数学实体存在于Continua作为潜力的事实。因此，即使我所绘制的那条人不是，也可能存在着一条完美的线。 （有些人还曾在MET中看到对此的支持。ix.9。）因此，尽管现在可能没有实际的三角形，但至少有无限的潜在潜在。困难是该论点与精度无关。它涉及对亚里士多德的反对意见，即男人是不可分割的，但是几何学研究人可能会分开。由于人不可分解，因此违反了现实主义的原则，即如果可以研究x y，那么x是y。亚里士多德说，人类实际上是不可分割的（您不能将一个人分成一分为二，仍然有男人或男人），但基本上可以分开。 x是y的，实际上是研究X y y的。但是，解决难题的解决方案可能指出了亚里士多德的解决方案，解决了精确问题。

另外，亚里士多德允许“ x是y”可能只不过是正确的，这是可以说的。例如，我可能会在ABC Qua三角形中研究一个三角形，但ABC只是一个三角形的不确定的。出于数学操纵的目的，许多涉及应用科学的希腊化论文都设置了方便但错误的前提，包括亚里士多德自己对彩虹的叙述（气象III.5）。因此，呼吁潜能获得更确切的三角形将无济于事，以消除这些明显的违反Qua真实主义的行为。

在提供科学精确的层次结构时，亚里士多德可能会认为，通过滤除更多的属性，人们就会获得更高的精度。与运动学相比，几何形状中的直线更精确。除了该职位的晦涩之处，还不清楚他打算任何这样的事情（请参见上面的7.2节）。

一种可能性是，亚里士多德认为，如果描述从考虑因素中删除了更多的属性，那么所研究的实体将更加精确，因为物质上或实际上完全表现出满足现实主义的实例。例如，有一些单位或角或点的精确实例，因此算术和几何形状是精确的，而天文学可能并不是那么精确，因为行星是不准确的点，但是被研究了。

我们的困难是，尽管亚里士多德提出了精确的问题，但他没有明确解释他的解决方案。

7.5可理解物质（noêtikêhylê）

可感知的幅度具有可感知的物质。青铜球是一个可感知的幅度。为了解决多数问题，亚里士多德需要具有相同形式的许多三角形。由于可察觉的物质不是考虑对象的一部分（在抽象或删除中），因此他需要有一个物质的概念，这是该物体的问题：青铜球减去青铜（可感知的物质）。由于该对象必须是一个综合个体，以将其与其他形式相同的人区分开，因此它将很重要。他称此类物质可理解或数学问题。亚里士多德在形而上学，物理IV和de anima I的中间书中至少有四个不同的可理解问题概念：

大小的形式是其极限（形而上学v.17）；因此，问题在于幅度的限制（物理IV 2）之间的范围是什么。

物质是属，例如，从某种意义上说，大小（而不是可感知的宽度）是三角形的种类（例如，形而上学v.28，viii.6）。

可感知的幅度的“不易感性”物质，这是在可感知的物质中（形而上学VII.10，参见Anima I.1）。

数学对象的各个部分未出现在对象的定义中，例如，急性角度不在直角的定义中，而是它的一部分，因此角度的不可易感材料部分（形而上学） VII.10，11）。

（1）和（3）是兼容的； （2）可能是一个单独的概念，与定义的统一性有关，并且似乎与（4）不兼容；亚里士多德将（3）和（4）视为相同的概念。由于亚里士多德在讨论（4）上的关注是定义部分的性质，而不是与扩展物质的问题有关似是而非的。

8。通用数学

亚里士多德的辅助讨论他的存在与神学（形而上学VI.1，XI.7），提出了与数学的类比。如果类比是数学有超级科学，可以使所有连续的幅度和离散数量（例如数字）（例如数字）结识，那么我们应该期望希腊数学家认为，将一般数学主题构想为代数，descartes'Mathesis'gresencalis（Universalis）的前体学习/数学）和数学逻辑。

亚里士多德报告（后验分析。和固体，现在所有人都有一个通用或通用的证据（请参阅第3节）。普遍证明的发现通常与Eudoxus的比例理论有关。对于亚里士多德来说，这会引起一个问题，因为科学涉及属或属性，但似乎没有任何数量和规模。一些学者提出，“论文学”的普遍科学（一种数量科学）将整个数量类别作为其主题。

亚里士多德似乎更为沉默，将证据描述为有关线等的，具有这样的增量（An。post。II.17）。他似乎确定了这样的超级数学数学（Chandysics VI.1，XI.7），但似乎暗示它并没有确定性作为其主题。另一种可能性是，通用科学具有类比适用于不同数学类型的定理。

在其他地方（形而上学XI.4），亚里士多德与Qua存在的科学建立了一个类比，他似乎暗示了数量的普遍证明（这里也包括数字）涉及连续数量（与《世代学IV.3中的类似段落》不同， 。如果是这样，如果是亚里士多德，它将与我们所归于的比例的一般理论相对应。人们可能会怀疑是否已经被通用证明的夸张误入歧途。

具有讽刺意味的是，现存的希腊数学没有显示亚里士多德通用数学的痕迹。在欧几里金中的大小的比率理论，元素v与元素VII和VIII部分的数字的比率完全分开，即使几乎所有V的证据都可以直接应用于数字，它们都不吸引V。 。例如，欧几里得提供了比例的单独定义（vdef。5和viidef。20）。比较上面的规则（替代），该规则在V.16上进行了证明，而规则从乘法和vii.19的委托书中的数字进行了琐碎的遵循。19：ad = bc⇔a：b = c：d。

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