阿拉伯和伊斯兰数学哲学（一）

1. 数学本体论

1.1 数学对象不是什么

1.2 什么是数学对象

1.3 无穷大

1.4 连续性

2.数学认识论

2.1 掌握数学概念

2.2 数学原理的认识论状态

2.3 分析艺术和发明艺术

2.4 数学的适用性和可靠性

三、结论

参考书目

主要来源

二手资料

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 数学本体论

1.1 数学对象不是什么

毕达哥拉斯和柏拉图关于数学对象本质的哲学观点的痕迹可以在早期穆斯林思想家的著作中找到。这可能部分归因于毕达哥拉斯和柏拉图数学家著作的早期阿拉伯语翻译。大多数遵循尼马科斯、普罗克鲁斯和扬布利科斯传统的数学家都是毕达哥拉斯主义者和柏拉图主义者（Endress 2003）。他们的一些最重要的著作已被翻译成阿拉伯语，并影响了穆斯林数学家和哲学家。例如，尼马科斯的《算术导论》由 Ḥabīb Ibn Bahrīz（卒于 9 世纪初）从叙利亚语翻译成阿拉伯语，并由 Thābit Ibn Qurra（卒于 901 年）从希腊语翻译成阿拉伯语（Brentjes 2022：第 1 节）。毕达哥拉斯和柏拉图主义数学哲学方法的灵感很容易在例如纯洁弟兄会 (Ikhwān al-ṣafāʾ) 和早期 Mutazilites (纯洁弟兄会 [书信]; Endress 2003: 132) 的著作中被察觉。 –33；Marquet 2006；Fazlıoğlu 2014：2；El-Bizri 2022；毕达哥拉斯主义和柏拉图主义关于数学本体论的主要特征可以通过以下论文来体现（Zarepour 2019：198）：

数学对象的分离性（SM）：数学对象是独立的非物质实体，与物质和物质对象完全分离（mufāriq）。

数学对象的原则（PM）：数学对象是自然事物的原则（mabādiʾ）。数学对象对自然形式具有某种首要性，这使得后者依赖于前者（或基于前者或由前者引起）。

柏拉图致力于这两个论点。相比之下，毕达哥拉斯学派只认可后一种论点。至少如果我们相信亚里士多德的报告（《形而上学》987b23-987b25），情况就是如此。尽管毕达哥拉斯主义认为数字是所有其他现有事物的原因和原则，但它并不将数字视为必然与物质分离的实体（Zhmud 1989；De Smet 2022）。从我们今天的角度来看，这在某种程度上令人惊讶，因为与（PM）相比，（SM）似乎享有更多表面上的合理性。但正是由于早期伊斯兰思想中存在强烈的毕达哥拉斯主义倾向（Brentjes 2022），（PM）比（SM）得到了更明确的辩护。无论如何，阿维森纳对这两个论点的残酷批评（以及他对柏拉图单独普遍形式理论的更普遍的批评）使得毕达哥拉斯主义和柏拉图主义在后阿维森尼哲学中极不受欢迎。在《治疗》的形而上学中，阿维森纳（Avicenna，卒于 937 年）不仅通过拒绝这两个论点的捍卫者的论点来反对（SM）和（PM）（阿维森纳 [Mph]：第 VII.2 章），而且还通过发展他自己的积极论据来反对他们（阿维森纳[MPh]：第VII.3章）。

根据阿维森纳（Avicenna）归因于（SM）捍卫者的一个论点，一方面，数学对象在定义（或思想）上是分离的。它们可以在不涉及物质或物质存在的情况下定义（或构思）。另一方面，一切在定义上（或在思想上）是分离的东西在存在上也是分离的。因此，论证的结论是，数学对象是独立存在的。它们作为完全独立的存在而存在，与物质或物质存在没有任何联系（阿维森纳 [MPh]：第七章 2，第 5 节）。然而，阿维森纳发现这个论点是不足的。他认为，（a）在没有物质性条件的情况下定义（或构想）某物和（b）在非物质性条件下定义（或构想）某物之间存在区别。他说数学对象在定义上只是在（a）的意义上是分离的。但是，只有当定义中的分离被认为是在（b）的意义上时，所讨论的论证的第二个前提才是正确的。某些事物可以在没有物质性条件的情况下被定义，这一事实并不意味着该事物可以存在于与物质完全分离的精神外领域。但数学对象不能用非物质性的条件来定义。阿维森纳声称，将非物质性假设为数学对象定义的基本组成部分是不合理的。因此，这一论点是错误的，无法成立（SM）（Avicenna [MPh]，第七章第 2 章，第 16-17 节；Marmura 2006：360-63；Porro 2011：292-93；Zarepour 2019：第 4.1 节）。

阿维森纳归因于（PM）拥护者的一个简单论点如下：数学对象是分离的。换句话说，(SM) 为真。此外，物质事物的原理（或原因）本身不可能是物质的。它们必须是分开的。因此，数学对象是物质（或自然）事物的原理（Avicenna [MPh]：第七章 2，第 7 节）。阿维森纳认为这一论点不仅由于（SM）的虚假性而站不住脚，而且也是无效的。即使我们接受数学对象是分离的以及自然事物的原理必须是分离的，我们也不能有效地得出数学对象是自然事物的原理的结论。可能存在其他独立的非数学事物，它们构成了自然存在的原则。仅当我们预先假设数学对象是唯一独立的存在时，所讨论的论证才有效。但这是我们没有证据的事情。因此，这一论点未能成立（PM）（Avicenna [MPh]：第七章第 2 章，第 21 节；Marmura 2006：365–66；Porro 2011：294；Zarepour 2019：第 4.2 节）。

阿维森纳自己反对数学对象的分离性或非物质性的论点可以总结如下：在感性世界中存在一些数学对象。否则，我们无法掌握他们的概念（例如，三角形、圆形、二等概念）（Avicenna [MPh]：第 VII.3 节，第 1 节）。现在，如果还存在一些完全分离的数学对象（完全脱离感性世界），那么这两类（感性/非分离和非感性/分离）数学对象必须具有相似的本质和定义（Avicenna [MPh] ]：第七章第 2 节）。否则，我们就无法认识单独的物质对象。这是因为我们似乎无法直接进入完全非物质的数学对象的领域（这让我们想起贝纳塞拉夫（Benacerraf，1973）对数学柏拉图主义的认识论挑战）。即使这些东西存在，我们也只能通过了解它们的合理对应物来了解它们。我们没有理由证明在物质世界中没有合理对应物的单独数学对象的存在。但这使得“数学对象本质上可以是非物质的和分离的”这一说法是不合理的。阿维森纳认为这一论点证明 (SM) 是不可信的（阿维森纳 [MPh]，第 VII.3 章，第 3 节；Zarepour 2019：第 5 节）。我们稍后会看到，这个论证揭示了阿维森纳对数学认识论和本体论的有趣方面。

最后，阿维森纳认为，即使存在单独的数学对象，它们也不能成为自然事物的原理（或原因）。从直觉上看，如果一个单独的数学对象是任何物质存在的原理，那么它首先必须是其自身的合理对应物的原理，这似乎是合理的。请注意，根据阿维森纳的观点，除非我们通过了解物质世界中存在的它的合理对应物来认识它，否则无法证明存在一个单独的数学对象（例如三角形）的说法是合理的。现在，如果那个独立的三角形是任何物质事物的原因，那么它首先必须是其自身合理对应物的原理，至少阿维森纳是这么认为的。但如果合理的三角形是由单独的三角形引起的，那么我们可以合理地问为什么前者需要后者。理性三角形的本质或（某些）偶然性使其依赖于其单独的对应部分。不过，如果是出于理智三角形的本质，那么单独的三角形本身就需要一个原则。这是因为分离的三角形和合理的三角形具有相同的本质。因此，如果合理三角形的本质使其需要单独的三角形，那么单独的三角形（与其对应的合理三角形具有相同的本质）本身必定是由另一个单独的三角形引起的。重复同样的论证，我们可以得出结论：必然存在一条无限的因果连接三角形链。由于这种无限回归是不可接受的，所以使一个合理的数学对象需要其单独的对应物的原因并不是它们的共同本质。但一个有意义的数学对象的（某些）偶然性也不可能使其依赖于其单独的对应物。除非该对象本身存在，否则该可感对象的偶然事件就不存在。但也假设除非单独的对象存在，否则可感知的对象本身并不存在。这意味着单独的物体比可感知的物体的事故具有某种解释优先权。因此，一个有意义的数学对象的偶然事件不能以非循环的方式解释为什么这个对象需要它单独的对应物（Avicenna [MPh]：第 VII.3 章，第 4 节）。因此，似乎没有令人信服的理由来解释为什么一个单独的数学对象一定是其合理对应物的原因，更不用说任何其他自然事物的原因（或原理）了。阿维森纳将此论点视为反驳（PM）。

这些论点表明，数学对象既不是完全脱离感性世界的独立实体，也不是自然事物的原因。阿维森纳对关于数学对象的柏拉图主义和毕达哥拉斯主义的驳斥是如此令人信服和有影响力，以至于这些方法在后阿维森纳哲学中几乎完全消失。尽管毕达哥拉斯和/或柏拉图元素在一些后阿维森尼思想家的哲学的其他（即非数学）方面存在很强的影响，如苏赫拉瓦迪（Suhrawardī，卒于1191年）（Walbridge 2000；De Smet 2022），情况仍然如此。阿维森纳对（SM）和（PM）的一些批评的细节——通常被视为阿维森纳对柏拉图普遍形式解释的一般批评的辅助部分——当然受到了后来的哲学家的批评（Arnzen 2011；Benevich 2019）。这些批评并没有在后阿维森尼伊斯兰哲学中复兴数学柏拉图主义和/或毕达哥拉斯主义。话虽如此，关于支持和反对数学柏拉图主义的论点的弱点和优势的讨论仍然引起后阿维森尼哲学家的兴趣。也许收集此类论点的最重要的著作是一本名为《柏拉图可理解形式》的书，由一位不知名的作者于 1329 年至 1339 年间撰写（参见 Badawī 1947 年该书的阿拉伯文文本：1-145，及其德文） Arnzen 2011 年翻译：附录 1）。

1.2 什么是数学对象

既然我们知道什么数学对象不适合穆斯林哲学家，那么我们必须问它们是什么。在他的《形而上学》（VI.1, 1026a13-19）中，亚里士多德根据所研究对象的本体论状态对不同的理论科学进行了分类（Cleary 1994）。亚里士多德区分不同科学的主要标准是科学主题与运动和物质性的关联程度和资格。法拉比（al-Fārābī，卒于 950 年）在他的《亚里士多德形而上学的目的》（Maqāla fī aghrāḍ kitāb mā baʿd al-ṭabīʿa）中采用了类似的方法，认为数学的主题（即数学对象）是抽象的 (mujarrad)来自估计中的物质（wahm），但不是来自外在世界。一方面，数学对象与形而上学研究的对象不同，因为后者无论是在估计上还是在精神外世界中都完全脱离了物质。另一方面，数学对象不同于可感知的物理对象，因为无论是在估计上还是在精神外世界中，它们都无法与物质分离。因此，数学处于形而上学和物理学之间的中间地位。数学对象与物质的联系强于形而上学对象，但弱于物理学对象。 （al-Fārābī 书的阿拉伯语原文可以在 al-Fārābi 1890: 34–38 和 Kiankhah 2015: 147–57 中找到。有关两个英文翻译，请参阅 Bertolacci 2006: 66–72 和 McGinnis & Reisman 2007: 78 –81。）

法拉比在他的《科学枚举》（ʾIḥṣāʾ al-ʿulūm）中对数学本体论提出了更详细的讨论。他将应用/实用（ʿamalī）数学与纯粹/理论（naẓarī）数学区分开来。应用算术的对象是数字，因为它们与有意义的事物相关联。应用算术考虑物质世界中存在的可感知事物的数量。相比之下，纯算术考虑数字和复数的绝对概念。它研究从感性世界中所有有编号的事物中抽象出来的数字。类似地，应用几何考虑特定物理对象的几何属性，而纯几何则处理几何形状，无论它们是否依附于特定物理对象（al-Fārābi [Enum]：第 3 章；Endress 2003：139–40 ）。

遵循 al-Fārābī 方法的主线，阿维森纳对科学的划分进行了更详细的讨论（Marmura 1980；Gutas 2003），根据这种划分，数学对象存在于与确定的物质种类（例如木材）相关的精神外世界中。 、黄金等）。通过估计能力的功能，数学对象可以在头脑中从它们所依附于精神外世界的特定物质种类中抽象出来。尽管如此，它们仍然必须被视为物质的东西。换句话说，头脑中的数学对象与物质的确定种类是分开的，尽管与物质性本身并不分开（Avicenna [MPh]：第 I.2 章；Di Vincenzo 2021：20-27）。阿维森纳认为，数字 (aʿdād) 和量值 (maqādīr) 分别作为算术和几何对象的最普遍代表，是存在于感性世界中的偶然事件 (aʿrāḍ) 和物理对象的属性（阿维森纳 [MPh]：第 1 章）三.3-4)。在精神外世界中，数字和大小都没有独立的非物质存在。即使在心灵中，大小（或更具体地说是几何形状）也不能与物质性分离（阿维森纳 [MPh]：第 III.4 秒第 2 章和第 VII.2 章，第 21 秒）。相比之下，数字可以被认为与物质和物质性完全分开。然而，这种对数字的考虑是形而上学的，而不是数学的（Endress 2003：142；Zarepour 2016：第4节）。数字，因为它们是数学研究的对象，所以必须能够接受减少和增加。因此，即使在头脑中，它们也必须被视为物质事物的属性（阿维森纳 [MPh]：第 I.3 章，第 17-19 秒）。总之，数学对象作为由确定的物质种类构成的物理事物的属性而存在于精神外世界中。数学对象可以从头脑中这些确定的物质种类中抽象出来。但它们仍然必须被视为物质事物的属性。否则，它们就不能成为数学研究的主题。阿维森纳对数学研究中估计能力和抽象过程的作用的讨论可以用两种不同的方式解释。一些学者（McGinnis 2006; 2017; Ardeshir 2008; Fazlıoğlu 2014; Tahiri 2016; 2018）认为数学对象首先是精神对象，抽象是构造数学对象的机制。其他一些人（Marmura 1980；2005；Zarepour 2016；2021；McGinnis 2019）将字面主义观点归因于阿维森纳，认为数学对象确实存在于物理世界中，抽象是一种掌握数学概念的认知过程，而不是产生数学对象。这些不同的解释提醒我们亚里士多德数学本体论的字面主义（Mueller 1970；1990）和抽象主义（Lear 1982；Hussey 1991）解读之间的对比。对字面主义观点最明显的反对意见是，与不精确和不完美的物理对象不同，数学对象似乎是完美和精确的（或理想化的）。例如，似乎不存在圆周不是（至少在一定程度上）锯齿状的完美圆形物理物体。为了反驳这种对阿维森纳数学本体论的字面主义解读的反对意见，有人认为他认可物理世界中完美数学对象的存在（Zarepour 2016：第 5 节；2021：第 4 节）。

这可能是由于阿维森纳和 al-Fārābī 强调估计（wahm）在构思数学对象中的作用，在后阿维森纳哲学中，数学通常被称为估计（wahmī 或 mawhūm）科学（Pines 1974） ）。在阿维森纳之前或同时代，许多穆斯林思想家都强调数学对象以某种方式存在于物理世界中。例如，在《教学之书》（Kitāb al-tafhīm ([Instr])）中，al-Bīrūnī（卒于~1048）捍卫了对数学对象本质的解释，这似乎与阿维森纳（Avicenna）的字面主义解读有很强的亲缘关系（ Samian 2011；2014）同样，伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham，卒于 1040 年）在他的《疑虑的解决》（Ḥall shukūk，[疑虑]）的第一页中，认为几何对象存在于感性世界中。可以通过想象力（takhayyul）的活动从物质中抽象出来，想象力在伊本·海瑟姆的心智理论中的功能与阿维森纳心理学中的估计功能非常相似，但是，与阿维森纳和亚里士多德（De anima）相比。 428a5-18），伊本·海瑟姆认为从物理对象中抽象出来的想象形式具有更真实的存在，对他来说，数学对象的真实（ḥaqīqī）存在是在想象和区别（tamyīz）中实例化的。伊本·海瑟姆心灵哲学中的认知能力，在通过想象形式的中介掌握普遍概念方面发挥着至关重要的作用。 （参见 Ighbariah & Wagner 2018：第 79-81 节。R. Rashed [1993：2:8-19] 认为有两个不同的穆斯林思想家，名为“Ibn al-Haytham”。Sabra [1998；2003] 拒绝 Rashed 的观点在这里我遵循萨布拉的立场。）

在后阿维森主义哲学中，数学对象是精神的（或估计的或想象力的）这一主张成为最流行的观点，并越来越受到不同思想家的重视。倾向于这种方法的部分原因是对阿维森纳对数学本体论的解释的强烈批评。例如，苏赫拉瓦迪强烈反对物理世界中数字的存在，认为数字是感性事物的偶然事件。考虑一个由四个人组成的小组。阿维森纳认为四性（ʾarbaʿīya）是这四个人的偶然。但苏赫拉瓦迪认为这是站不住脚的。他认为

要么“四性”在每个个体中都必须是完整的，但事实并非如此，要么在每个个体中都必须具有某种“四性”，而这只能是统一体。因此，要么四性的整体必须除了智力之外没有任何场所，否则四性或任何四性都不可能存在于每一个之中。根据后一种假设，四性也只存在于智力中。 （苏赫拉瓦迪《光明哲学》[1999：48]）

他相信，只有我们的心灵才能将四个不同的可感知实体统一起来。精神外世界中没有任何东西可以自然地将四个独立的事物结合在一起，使它们共同接受四性的偶然性。因此，对于Suhrawardī来说，数字（以及一般的数学对象）只是依赖于心灵（iʿtibārī）的事物（Ziai 1990：108；Walbridge 2000：63和78-79）。穆拉·萨德拉（MullāṢadrā，卒于 1640 年）也提出了类似的论点。他承认精神外世界存在着多样性。但他坚持认为，只有通过我们的思想活动，一组不同的物体才能被视为一个整体。在精神外世界中，没有任何东西可以赋予一组任意的不同物体以统一性（Mullā Ṣadrā, Al-Shawāhid al-rubūbīya, [1982: 65]）。这种反对将数字视为物理对象属性的论点让我们想起弗雷格对这一想法的批评（Frege 1884：§§21-25）。

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