数学联邦政治世界观
超小超大

阿拉伯和伊斯兰数学哲学(三)

图3

映射论的早期版本可以在 al-Kindī 的作品中的不同地方找到(Rescher & Khachadourian 1965;Shamsi 1975;Adamson 2007:第 4 章;Zarepour 2020b:n. 52)。 Avicenna 提出了这一论点的更精确版本(Marmura 1960;McGinnis 2010:第 4 节;Zarepour 2020b)。这些思想家提供的论证版本的强度和准确性至少部分取决于他们对几何大小相等概念的解释的准确性。事实证明,一些穆斯林思想家对这一概念有相当详细的描述(R. Rashed 2019)。

与其他两个论证一样,映射论证的主要目标是表明实际上不存在无限连续的幅度。读过欧几里得的《几何原本》(bks 7-9)后,穆斯林思想家知道数字可以很容易地用大小来表示。因此,任何支持无穷大不可能性的论证都可以被视为反对数字无穷大的论证。但是无限集合又如何呢?这三个参数都不能直接适用于离散实体的无限集合。尽管如此,有人认为阿维森纳可能意识到映射论证可以被修改,以便它适用于离散编号事物的无限集合(Zarepour 2020b:第 4 节)。可以通过使用我们之前在连续量值的情况下使用的“映射”概念来比较两个离散实体集合的大小。然而,在离散实体的集合的情况下,这个概念必须通过所讨论的两个集合的元素之间的一一对应来兑现。如果一个集合的每个成员都可以与另一个集合的一个(且仅一个)成员配对,使得这些集合中的任何一个成员都保持不配对,则两个离散实体的集合彼此对应。阿维森纳似乎已经意识到,离散实体的无限集合可以与其一些适当的子集合一一对应。他发现这就像无限大小与其适当的次大小的对应一样荒谬。他明确提到映射论证可以排除无限量级和离散实体(例如数字和编号事物)的无限集合的可能性。然而,他本人并没有明确说明这个论证在离散事物的情况下实际上是如何运作的。他没有提供任何将映射论证应用于无限对象集合的情况的具体示例。这样的例子可以在后阿维森尼哲学家 Fakhr al-Dīn al-Rāzī (Sharḥ ʿUyun al-ḥikma, al-Ṭabīʿīyāt [1994: 53]) 的著作中找到。安萨里(Al-Ghazālī,卒于 1111 年)在他的《Maqāṣid》([2000:97-98])中提到了映射论证,这一论证最早向拉丁传统的传播可能是通过《Maqāṣid》第三季度的拉丁文翻译。十二世纪。

这些论点通常在物理学的背景下讨论。这是因为它们的设计首先是为了表明物质世界中实际上不可能存在无限。但是,如果我们支持字面主义,将数学对象视为物理对象的属性,那么物理世界中实际无限的不存在就意味着无限延伸的几何线和无限数集的不可能性。但那些拒绝数学本体论字面主义的人对于这些论证对数学对象的适用性有不同的看法。例如,Fakhr al-Dīn al-Rāzī 认为映射论证不能拒绝自然数集合的无限性,因为他将数学对象呈现为依赖于心灵且完全非物质的实体(Sharḥ ʿUyun al-ḥikma, al-Ṭabīʿīyāt [1994] :53-57])。尽管我们可以诉诸映射论证来拒绝精神外世界中不同物理对象的无限集合的存在,但该论证不能拒绝诸如数字之类的无限数量的依赖于心灵的对象的存在,或者拉齐似乎是这样认为的:相信(Zarepour 2020b:4.1)。

有趣的是,一些穆斯林哲学家认为,即使是心灵在感知无限事物方面也有其自身的局限性。例如,伊本·海瑟姆认为,虽然我们可以想象任意长度的有限线(即,无论它们有多长),但我们无法想象实际上无限的线。因此,虽然我们可以想象一条比宇宙大小还长的有限线,但我们无法想象一条实际上无限的线。伊本·海赛姆 (Ibn al-Haytham) 认为,真正的无限既不存在于精神外世界,也不存在于心灵中 (Masoumi Hamedani 2013; Ighbariah & Wagner 2018: 80)。

1.4 连续性

穆斯林思想家关于数学连续统的观点与他们在关于物理世界本质的原子论和类质论之间的辩论中所坚持的立场交织在一起。对于阿维森纳来说,物理世界和数学对象领域之间没有差距。至少如果我们接受阿维森纳作为数学本体论的字面主义者的解释,情况就是如此。他认为几何量是连续的,因为它们没有实际部分。相应地,物理维度是连续的并且没有实际的部分。我们当然可以将任何连续的幅度分成更小的部分。在物理世界中,物理维度的长度有一个实际的下限,实际上可以分解为更小的量级。相比之下,在我们的估计能力中,这个限制消失了,所有的量值都可能被无限整除。尽管存在这种实际差异,但从理论上讲,几何线条的结构和物理尺寸之间没有差异。因此,几何连续性意味着物理原子论是错误的。事实上,阿维森纳诉诸数学连续性来拒绝物理原子论(阿维森纳 [Ph2]:第 III.3-5 章;Lettinck 1999;Dhanani 2015;McGinnis 2019:第 3 节)。

与阿维森纳相反,有些哲学家同时支持数学连续性和物理原子论。例如,沙赫拉斯塔尼(Shahrastānī,卒于 1153 年)坚持认为,估计能力的判断不够可靠,不足以让我们相信物理量可以承受潜在的无限分割。他认为物理量并不是无限可分的。它们的部件数量,无论是实际的还是潜在的,都是有限的。沙赫斯塔尼提醒我们,虽然宇宙的大小可以想象为无限的,但哲学家通常拒绝宇宙是无限的。依靠类似的方法,沙赫斯塔尼认为,尽管每个量值都可以想象为无限可分,但有强有力的论据表明,在这种情况下,估计能力是错误​​的,并且没有任何物理量是无限可分的。估计中宇宙大小的无限可扩展性与宇宙的有限性是相容的。同样,估计中幅度的无限可分性可能与它们在心外世界中仅具有有限数量的(潜在)部分相兼容,或者 Shahrastānī 似乎是这么认为的(al-Shahrastānī Summa philosophiae, 513; McGinnis 2019)。这意味着,如果我们将数学对象仅仅视为估计构造,那么我们就可以调和纯粹的数学连续性与物理原子论。

Fakhr al-Dīn al-Rāzī (Al-Manṭiq, vol. 6, Chapter 6, 63) 提出了一个微妙的修改,反对德谟克利特的观点,即一切在想象中可整除的东西在精神外世界也是可整除的。他认为我们可以想象的可整除星等的长度有一个下限。并非每个量级,无论多小,在估计中都是可整除的。他并不否认欧几里得几何中量级是无限可分的。但他似乎不认为可以(通过估计能力)制作出我们在欧几里得几何背景下可以谈论的各种大小的视觉图像。拉齐(al-Rāzī)拥抱物理原子论(在他的后期作品中),否认连续的欧几里得几何可以代表精神外世界的真实结构(Setia 2006;Eftekhari 2018;2019)。连续性除了在估计能力之外没有现实性的主张经常在后来的原子论者的著作中得到重申,例如 ʿAḍūd al-Dīn al-ʾĪjī (d. 1355) (Hasan 2017: 233-35)。

2.数学认识论

2.1 掌握数学概念

大多数谈论数学概念认识论的穆斯林思想家认为,这些概念是通过一些认知机制形成的,这些认知机制的第一个输入是我们通过外部感官接收到的数据。不同的哲学家根据他们对人类认知心理学的总体描述,以不同的方式阐述了这种机制的细节。例如,阿维森纳提出了一个思想实验,表明在缺乏感官知觉的情况下无法掌握任何数学概念(阿维森纳 [MPh],第 VII.3 章,第 1 节;Zarepour 2019:第 5 节;2021 年,第 1 节)。 3)。这表明阿维森纳赞同某种关于数学的经验主义概念。根据阿维森纳数学本体论的字面解释,数学对象作为物理对象的非感性内涵属性(maʿānī)存在于感性世界中。与所有其他内涵属性一样,数学实体是通过估计能力来感知的。例如,当我们看到两本书时,我们的评估能力就会感知到二元性。在这样的体验中,外部感官收集的感性数据将通过常识能力(ḥiss mushtarak)的中介转移到估计能力。估计使我们能够忽视我们所经历的所有其他特征,并感知我们的外部感官无法直接触及的二元性。

即使按照数学本体论的字面解释,仍然存在许多数学家可能涉及的数学实体,但它们在精神外世界中并不存在(例如,在感性世界中没有对应物的复杂而非凡的几何形状)。阿维森纳认为,想象力(mutakhayyila)可以通过分析、合成、分离和组合先前被我们的认知能力感知和存储的更简单物品的图像来构建此类物体的心理图像(Zarepour 2021:第 3 节) )。但如果我们认可阿维森纳数学本体论的抽象主义解释,那么所有数学对象都是心理构造。精神外世界不存在可以通过估计直接感知的数学对象。根据这种解释,估计能力与想象力合作产生理想化的物体,而这些物体在我们的头脑之外都没有对应物。正是这些能力进行的心理活动使我们能够构建几何形状和数字(Ardeshir 2008;Tahiri 2016;2018)。

无论如何,由于评估是一种身体能力,它无法涉及完全非物质的事物。因此,它将数学实体视为与物质相关的事物(尽管不是与物质的特定物种相关)。估计的对象不是可理解的普遍概念。因此,掌握数学概念的认知过程必须通过在我们的故事中添加主动智力来完成(Zarepour 2021)。在阅读阿维森纳的认识论时(Nuseibeh 1989;Davidson 1992:第 4 章;Goodman 1992 [2006];Black 2014),评估能力的作用使我们的灵魂做好准备,接受由主动智力发出的普遍概念。根据阿维森纳认识论的另一种说法(Hasse 2001;Gutas 2012),主动智力仅仅是可理解概念的一个储存库,由于内部能力的准备和不可消除的功能,我们可以找到这些概念。总而言之,数学概念的习得是一个从感官知觉开始,到主动智力作用结束的过程。在这两个阶段之间,一般内部能力的运作,特别是估计和想象能力的运作是必要且不可避免的。

阿维森纳当代科学家的作品中呈现了非常相似但不那么复杂的掌握数学概念的过程的图片。例如,伊本·海瑟姆只谈到两种能力:想象力(takhayyula)和辨别力(tamyīz)。想象力是根据感官知觉留给我们的印象构造理想化数学对象的能力。例如,想象力使我们能够从外部世界中看到的可感物体中抽象出几何大小。然而,从数学对象的形象到数学概念的转变,必须通过区分能力来完成。该学院发挥着双重作用。一方面,它有助于分析、合成、分离和组合先前感知的(或产生的图像)。在阿维森纳的心理学中,这个角色被赋予了穆塔卡伊拉(mutakhayyila)。另一方面,区分能力取代了主动智力。在伊本·海瑟姆的哲学中,概念化的最后一步是由区分能力来完成的。有人认为,主动智力和神圣之光在伊本·海瑟姆的知识论中没有发挥任何重要作用(Ighbariah & Wagner 2018)。

比鲁尼提出了与阿维森纳或多或少相似的说法,他承认物理世界中存在一些数学实体,如线和点,但它们无法被我们的外部感官所掌握。然而,我们通过感官体验接收到的数据使我们能够感知这些物体和/或产生精神外世界中不存在的理想化结构(Samian 2011)。然而,他似乎对认知心理学并没有清晰的认识,其中不同官能的作用是明确区分的。这就是为什么他在两张图片之间摇摆不定,其中一张图片中,估计(wahm)是理解数学对象的第一个能力,而在另一张图片中,这个角色必须由智力(ʿaql)扮演。根据后一种观点,智力水平以下的任何事物都无法感知数学对象。比鲁尼在两种对立观点之间的犹豫变得更加明显,特别是当我们承认《Kitāb al-tafhīm》的波斯语和阿拉伯语版本都是由他本人撰写时。例如,在阿拉伯语版本中,他声称除了智力之外,任何其他能力都无法设想点(al-Bīrūnī [Astro]:3)。相比之下,在波斯语版本中,他将这一作用归因于估计(al-Bīrūnī [Instr]: 7)。他似乎没有考虑可理解的(maʿqūl)和估计的(mawhūm)之间有任何明确的界限。

在后来的穆斯林思想家提出的 nafs al-ʾamr 理论的背景下,外部感官、估计和智力相互配合,为我们提供了 nafs al-ʾamr 中的数学实体概念。然而,我们能够进入并了解 nafs al-ʾamr 领域的过程绝不比阿维森纳哲学中的主动智力的作用更神秘。

2.2 数学原理的认识论状态

每个命题都是由概念构成的有序结构。但要了解一个命题,仅仅了解其概念成分是不够的。我们还需要采取一些进一步的措施。继亚里士多德和欧几里得之后,大多数(如果不是全部)穆斯林哲学家都相信认识论的基础主义/公理化解释,根据这种解释,所有知识实例最终都建立在基本概念和命题的基础上(mabādi'),这些概念和命题可以被直接认识和理解。立即地。非基本概念和命题可以分别通过定义(taʿārīf 或 ḥudūd)和三段论(qiyāsāt)从基本概念和命题衍生而来。这意味着在获得命题P的概念成分后,我们仍然需要采取以下三个步骤:

排序并组合所获得的概念以形成 P 作为一个结构化的统一体,

同意基本命题的真实性 (taṣdīq),以及

通过一些基本命题的三段论来确立 P 的真值。

对于阿维森纳来说,想象力在步骤(1)和(3)中起着至关重要的作用。想象力使我们能够通过探索我们先前掌握的概念的存储并将它们组合起来形成各种有序的概念结构(并检查它们是否形成有意义的命题)来得出有意义的命题。此外,想象力使我们能够考虑命题的组合,以便找到合适的(一系列连续的)三段论,从而引导我们得出所需的命题。这个过程中最关键的部分是为三段论找到合适的中间项,这​​可以引导我们得出所需的结论。在阿维森纳的哲学中,想象力承担着这种搜索操作。关于这种观点的一个直接问题是,想象力作为一种身体能力,如何能够接受被认为是完全非物质的可理解实体的普遍概念。 Gutas (2001)、Adamson (2004) 和 Black (2013) 等人研究了这个问题的各种可能答案。在伊本·海瑟姆的哲学中,区分能力在(1)和(3)中发挥着核心作用。 (更多关于(3)的内容将在下一节中介绍)。

当我们转向(2)时,事情变得更加复杂。遵循古希腊传统,穆斯林哲学家将论证科学的基本原则分为三组:共同概念/公理(al-uṣūl al-mutaʿārafa)、假设(al-uṣūl al-mawḍūʿa)和假设(muṣādarāt)。粗略地说,共同概念是我们所能知道的最明显的命题——我们掌握的首要原则。假设和公设不像公理那么明显。原则上它们需要被证明。这两组原则通常根据学习它们的学生的认知态度来区分。假设是对学生来说看似合理的基本原则,尽管她没有证据证明这些假设。相比之下,假设对学生来说似乎是可疑的,因为她可能有一些反对这些原则的合理性的感觉和想法。中世纪穆斯林思想家著作中最常重复出现的公设例子可能是欧几里得几何学的平行公设。这一分类得到了 al-Nayrīzī(卒于 922 年;见 Besthorn & Heiberg 1893:14-26)、al-Fārābi(Al-Manṭiq,第 87-90 章)、Avicenna(al-Burhān,第 87 章)等人的支持。 . I.12) 和 al-Ṭūsī (Asās al-ʾiqtibās, 第 V.1.15 章)。

由于数学假设和假设最终必须基于先前已知的命题来证明,因此数学命题的认知地位最终取决于我们如何掌握这些原理中最明显的原理。换句话说,似乎所有数学命题都可以通过证明三段论的完全先验(=感觉经验独立)机制从公理推导出来。

穆斯林思想家对于数学原理的认知地位以及我们认可这些原理的真实性的认知机制尚未达成共识。例如,可以证明,根据阿维森纳的观点,数学的每个基本命题都包含在 awwalīyāt(原始数据)或 fiṭrīyāt 中(或者,更完整地,muqaddamāt fiṭrīyāt al-qiyās,翻译为“具有内置数据的数据”)。在三段论中,Gutas (2012))。 “整体大于部分”和“四是偶数”分别是 awwalīyāt 和 fiṭrīyāt 中最著名的两个例子。根据阿维森纳的说法,awwalīyāt 没有中间项,因此无法用三段论来证明它们。它们太基础、太明显,不需要证明(或者根本不需要证明)。一旦我们掌握了构成 awwalī 命题的所有概念,我们就立即同意该命题的真实性。这些主张是不言而喻的,也是必要的。没有人能够对它们产生理性的怀疑。与 awwalīyāt 不同,fiṭrīyāt 有中间项并且必须得到证明。然而,建立 fiṭrī 命题的三段论是如此简单,一旦掌握了小项(即主语)和大项(即谓语),中项就出现在头脑中,真理就出现了。该提议获得同意。例如,在掌握了“四”和“偶”的概念之后,“可被二整除”的概念立即出现在我们的脑海中,我们可以通过以下三段论来肯定“(每)四是偶数”这一事实(Mousavian&Ardeshir 2018):

(每)四可以被二整除。

(每个)能被二整除的都是偶数。

所以:

(每)四是偶数。

awwalīyāt 和 fiṭrīyāt 的真理都是通过智力的自然运作 (fiṭra) 得到认可的。因此,在掌握了它们的概念组成部分之后,我们就可以掌握这些命题,而无需求助于从感官经验中获得的数据。这些命题是由非先验概念构成的。但当我们掌握了它们的概念组成部分之后,这些命题就可以通过先验机制来证明其合理性。然而,我们应该谨慎,优先权并不意味着出生时就具有先天性。阿维森纳否认我们在出生时就拥有任何命题知识的实例。 (有关阿维森尼亚 awwalīyāt 和 fiṭrīyāt 认知地位的不同观点,请参阅 Zarepour 2020a;2020c;Gutas 2020。)

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