数学哲学中的形式主义（二）

3. 逻辑形式主义

维特根斯坦是弗雷格著作的热衷学生，在他去耶拿拜访弗雷格的过程中，弗雷格亲自指导他在伯特兰·罗素的指导下继续深造。那么，人们可能会认为他已经接种了对抗形式主义的疫苗。但维特根斯坦的《逻辑哲学论》中却出现了明确的形式主义元素。

诚然，《逻辑哲学论》是一部极难解读的著作。甚至关于本书的主要部分（除了序言和结尾的“框架”之外的所有内容）是否应被视为呈现形而上学的严肃尝试的问题也是有争议的。如果我们把解释学的争论放在一边，并考虑提供给我们的形而上学，我们会发现形式主义的方面是双重的。首先，数学句子被认为表达“伪命题”，因此缺乏真值（只有偶然命题才具有真值）。其次，数学被描述为一种“微积分”，它不能用来表示世界本身，但其价值完全是工具性的。可以肯定的是，对此最明确的陈述不是在《逻辑哲学论》中，而是维特根斯坦在拉姆齐的副本上写的评论中：

数学的基本思想。是微积分的思想，这里用运算的思想来表示。逻辑的开始以计算和数字为前提。数是微积分的基本概念，必须这样介绍（Lewy，1967：421-2）。

在《逻辑哲学论》中，我们确实知道数学命题仅仅是工具（所有数学，而不仅仅是希尔伯特的“理想”片段）：

事实上，在现实生活中，数学命题从来都不是我们想要的。相反，我们仅在从不属于数学的命题到同样不属于数学的其他命题的推论中使用数学命题。 （在哲学中，“我们实际上使用这个词或这个命题的目的是什么？”这一问题不断地带来有价值的见解。）（Tractatus ¶6.211。）

这个想法的前言是这样的：

数学是一种逻辑方法。数学命题是方程，因此是伪命题。 （同上，¶6.2）

数学命题并不表达思想。 （同上，¶6.21）

然而，必须小心。维特根斯坦将无罪的、缺乏意义的话语（包括这里的逻辑同义反复和矛盾）与无罪的、无意义的话语区分开来。目前还不清楚数学语句属于哪一类。人们很可能认为游戏形式主义者应该将数学话语视为unsinnig，而不仅仅是sinnlos，在这种观点看来，数学话语只是一串无意义的标记。然而，与游戏形式主义的一个明显区别是：对于维特根斯坦来说，数学不应被视为与语言的其他用途分开的微积分。相反，他试图表明算术的某些部分至少可以被视为以语言的非数学用途为基础。相比之下，弗雷格在认为算术（和分析）的正确解释应该表明其普遍性如何使人们能够对多种不同的应用给出统一的解释（参见达米特，1991年第20章）的同时，也强烈主张数学话语的观点从概念上讲，其含义独立于它们在应用程序中的使用。

维特根斯坦在《逻辑哲学论》中没有尝试超越算术（算术的一个相当狭窄的片段）之外的数学理论。该理论显然具有游戏形式主义者的反柏拉图主义。没有数字，算术被解释为一种处理指数或运算符索引的微积分。什么是运营商？维特根斯坦区分了运算符术语和函数术语，但评论家们一直在努力解释这种区别的含义。很明显，维特根斯坦认为函数项出现两次

f

f 应用于不同的字符串

t

t 和

你

u 有不同的含义，其中“含义”维特根斯坦的意思是所指对象，类似于弗雷格的Bedeutung。因此 '

f

f’在“

f

（

t

）

f(t)”并不指代与最外层相同的实体

f

f 在“

f

（

f

（

t

）

f(f(t)”；这应该是解决罗素悖论的基础（¶3.333）。特别是“约翰的父亲”中的“父亲”，与它最外层的出现相比，意味着不同的东西换句话说，不可能有真正的函数迭代应用，无法治愈罗素悖论，许多人会发现它与疾病一样糟糕。

然而，至少在这一方面，运算符与函数有区别：运算符的真正迭代（命题逻辑的句子运算符是一个主要例子）是可能的，而不需要假设从一个标记到另一个标记的含义或引用发生变化。那么它们的含义或所指是什么？维特根斯坦否认它们有任何指称，这是他关于逻辑常数不是代表的主张的概括。 Peter Hylton (1997: 96-98) 认为，《逻辑哲学论》中的维特根斯坦在谈到“函数”时，脑子里想到的是罗素命题函数，并且煞费苦心地将算子与这些“实体”实体区分开来。罗素命题函数与普通数学函数不同，普通数学函数是弗雷格函数概念的模型。相反，它们是结构化实体，在结构上与它们的价值观命题相关——有间隙的事态可能是思考它们的一种方式。相比之下，算子并不代表任何这样的实体，它们不是命题的一部分，也不是命题的任何成分，它们在其中“不留下任何痕迹”。

句子运算符被认为不是将符号或铭文映射到其他符号和归属，而是将命题（在维特根斯坦对该术语相当粗粒度的意义上）映射到命题。关于维特根斯坦对命题的解释，重复应用诸如否定之类的运算

……

p

,

～

p

,

～

～

p

……

…p，∼p，∼∼p… 可能会将人们带回到较早的点。尽管如此，维特根斯坦试图用应用于非数学语言的句子运算符来解释算术。 （这里可以看出丘奇后来在将 lambda 演算中的数字视为重复应用输入函数的函数时，严格地提出了类似的想法。）在口号形式中，数字是运算的指数（同上，¶6.021） 。因此在哪里

Ω

Ω 是运算符的示意图，

Ω

p

Ωp（或

Ω

（

p

）

）

Ω(p)) 应用于命题，那么我们可以查看该级数

p

,

Ω

p

,

Ω

Ω

p

,

Ω

Ω

Ω

p

,

Ω

Ω

Ω

Ω

p

,

……

p,Ωp,ΩΩp,ΩΩΩp,ΩΩΩΩp,…

作为数字“定义”的起点，可以通过将其重写为

Ω

0

p

,

Ω

0

+

1

p

,

Ω

0

+

1

+

1

p

,

Ω

0

+

1

+

1

+

1

p

,

Ω

0

+

1

+

1

+

1

+

1

p

,

……

。

Ω0p,Ω0+1p,Ω0+1+1p,Ω0+1+1+1p,Ω0+1+1+1+1p,….

那么，这里我们有无限多个原理图重写规则。诸如‘

0

+

1

+

1

+

1

+

1

0+1+1+1+1' 可以用数字以明显的方式缩写，用 '

0

+

1

+

1

+

1

+

1

0+1+1+1+1’缩写为‘4’等等。

维特根斯坦的例子表明（尽管他没有明确说明这一点）两个数字/指数的加法

Ω

n

p

+

Ω

米

p

Ωnp+Ωmp（同样

Ω

n

+

米

p

）

Ωn+mp) 由以下规则给出：

Ω

n

p

+

Ω

米

p

⇒

Ω

n

（

Ω

米

p

）

Ωnp+Ωmp⇒Ωn(Ωmp)

告诉我们可以将公式中左侧的表达式替换为右侧的表达式。

这就是身份“正确性”的基础，例如

n

+

米

=

r

n+m=r，但对于维特根斯坦来说，没有这样的恒等式表达真理。根据他的说法，身份符号在对语言的全面分析中消失了，其中相同性和区别是通过名称的相同性和不同性来显示的，在完全分析的语言中，没有两个名称指代同一个对象（这种观点为解释《逻辑哲学论》中的数学表述为 unsinnig）。维特根斯坦本人并没有费力地证明放弃身份符号不会削弱语言的表达能力，但其他人如 Hintikka (1956) 和 Wehmeier (2004) 已经这样做了。删除了身份后，底层语言中剩下的就是替换规则（Tractatus ¶ 6.23）。

这些必须以一般性、示意性的方式来解释。因此当我们插入时

～

∼ 为

Ω

Ω，我们发现（维特根斯坦在这里没有直觉主义顾忌）双重应用

～

～

p

∼∼p 带我们回到（具有相同意义）

p

p。但这并不能说明事实真相

2

=

0

2=0，因为对于许多其他操作

Ω

Ω

p

ΩΩp 不等于

p

p。另一方面

Ω

Ω

（

Ω

Ω

Ω

p

）

总是具有相同的意义

Ω

Ω

Ω

（

Ω

Ω

p

）

ΩΩ(ΩΩΩp) 始终与 ΩΩΩ(ΩΩp) 具有相同的含义

维特根斯坦隐含地假设了括号与运算符相互作用的适当规则，特别是广义结合性。 （事实上​​，他混合使用了括号和符号

Ω

′

p

Ω′p 来表示

Ω

（

p

）

Ω（p）。）

由于方程

Ω

n

p

=

Ω

米

p

Ωnp=Ωmp 就其基本逻辑形式而言，并不是一个普遍的概括

∀

n

,

米

（

Ω

n

p

=

Ω

米

p

）

∀n,m(Ωnp=Ωmp) 但纯粹是示意性的概括，没有形式

∃

n

,

米

（

Ω

n

p

≠

Ω

米

p

）

∃n,m(Ωnp≠Ωmp) 我们可以用它来表达不等式，即使我们可以理解‘

≠

≠’。我们也无法表达不平等

n

≠

米

n≠m 示意性地表示不等式的成立

Ω

n

p

Ωnp 来自

Ω

米

p

Ωmp 对于每个选择

Ω

Ω。否则

2

≠

0

2≠0 会失败，因为

～

～

p

∼∼p 等价于

p

p。 Tractarian 理论无法处理不平等问题。

关于该操作的补充和限制就这么多了。乘法呢？维特根斯坦在 ¶6.241 中确实定义了它：

Ω

n

×

米

p

⇒

（

Ω

n

）

米

p

Ωn×mp⇒(Ωn)mp

但要将其作为一般原则来理解，我们需要知道如何解释该符号

（

Ω

n

）

米

(Ωn)m。在更传统的数学中，人们可以简单地定义

（

x

n

）

米

(xn)m 为

x

n

×

米

xn×m 但显然这（或者更确切地说是算子指数相互作用的等价物）会给维特根斯坦的解释带来循环性。或者，我们可以诉诸指数的递归理论——

一个

米

×

0

=

一个

,

一个

米

×

（

n

+

1

）

=

一个

米

+

一个

米

×

n

am×0=a,am×(n+1)=am+am×n。由于归纳原理需要表明递归是维特根斯坦系统中任何地方都没有的连贯特征，因此这些规则可能必须被视为原始规则。

总的来说，维特根斯坦在《逻辑哲学论》中没有给我们提供一般数学的解释，除了算术片段之外，基本上只涉及加法的正恒等式。他在那里否认这些句子表达了具有真值的命题。当然，这本书是在极其困难的情况下写成的。也许他的解释可以进一步发展，更可信，尽管上面注意到了困难，但对于这方面的一些怀疑，请参见 Landini，2007。当然，维特根斯坦在与 F.P. 接触时并没有尝试这样做。拉姆齐和 20 年代的维也纳圈。如果维特根斯坦的观点无法进一步发展，我们可以选择要么放弃所有数学，最多只保留加法的一小部分；要么放弃数学。或者拒绝 Tractarian 的帐户。人们不需要对当代数学盲目地不加批判，就能明白这里的合理选择是什么。诚然，拒绝《逻辑哲学论》的解释也是维特根斯坦本人在本书结尾处似乎采取的选择。那么我们就进入了一个问题：为什么要带我们了解这样一个怪异且不令人信服的理论，以便最终将其抛弃。 （对于维特根斯坦的逻辑学立场的更积极的评价，请参见 Floyd (2002)。

维特根斯坦后来关于数学哲学的著作，例如《关于数学基础的评论 1956/1978》，在很长一段时间内所获得的认可甚至比 Tractarian 的解释还少，尽管最近朱丽叶·弗洛伊德和希拉里·帕特南等哲学家开始为其辩护。作为对数学的有趣且见多识广的描述（Floyd/Putnam，2000）。其主题包括拒绝实际的无限（事实上，他的著作中的倾向是强烈的有限主义）；否认不可判定的句子是有意义的；拒绝康托的幂集证明；证据发现改变了所涉及术语的含义；以及其他非常激进的想法。其中我们发现对形式主义主题的持续坚持：

在数学中，一切都是算法，没有任何意义； （哲学语法：468）。

维特根斯坦思想中另一个持久的主题是，数学的意义完全在于其在非数学应用中的效用。但没有系统的理论来解释这种适用性是如何产生的，也没有保守可拓定理的证明，例如，证明将数学演算应用于经验前提永远不会导致我们得出不从这些前提得出的经验结论。并且元理论的问题也没有解决。另一方面，我们应该注意到，维特根斯坦关于数学哲学的这些笔记并不是他自己发表的，而是在他死后由其他人发表的。要全面了解维特根斯坦的数学哲学，请参阅维特根斯坦的数学哲学。

4.形式主义和实证主义者

维特根斯坦极大地影响了维也纳学派。可以说，“官方”实证主义数学理论并不是一种形式主义理论。数学定理表达了真理，尽管是以一种特殊的方式：仅凭意义就为真。最有影响力的实证主义者是卡尔纳普（Carnap），如果一个人不将奎因归类为实证主义者（但奎因在1930年代的观点无论如何都非常接近卡尔纳普的观点，可以说quine可以说是那个时代比卡尔纳普所做的更真实的）。当然，在Carnap的某些著作中，可以辨别形式主义的强大元素，例如在Logische语法Der Sprache（1934/1937）和“经验主义，语义和本体论”（1950/1956）。

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