数学哲学中的形式主义（一）

一、简介

2. 游戏和术语形式主义

3. 逻辑形式主义

4.形式主义和实证主义者

5.唯名主义形式主义

6.术语形式主义：咖喱

7. 库里-霍华德通信

8.当代形式主义

参考书目

学术工具

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相关条目

一、简介

博弈形式主义的经典轨迹并不是由一位深信不疑的拥护者对这一立场进行的辩护，而是伟大哲学家戈特洛布·弗雷格(Gottlob Frege)对包括H. E. Heine和Johannes Thomae在内的真正数学家的工作所做的尝试性拆除工作，(Frege (1903) Grundgesetze 《算术》，第二卷）。其部分相关性在于，像游戏形式主义这样的东西仍然受到一些数学家的捍卫，至少在他们休息的时候，当他们思考哲学而不是数学时。正如我将在下一节中指出的那样，海涅和托马实际上是否是游戏形式主义者，这是一个严肃的问题。现在必须强调的是，这种意义上的“形式主义”——弗雷格及其后人所解释的海涅/托马立场——与一种更复杂的立场（据称），即希尔伯特形式主义是有区别的。有关后者的更多信息，请参阅 Detlefsen (1993) 或查阅有关希尔伯特纲领和弗雷格-希尔伯特争议的条目。）Detlefsen (2005) 还提供了对从古希腊到古希腊时期思想家的形式主义主题的详细历史处理。弗雷格和希尔伯特以及其他人是这里的焦点。

尽管我们在本文中将关注的是非希尔伯特方法，但我们还是简要讨论希尔伯特方法。希尔伯特的立场有所不同，因为它取决于数学语言中有限扇区和理想或无限扇区之间的区别，有限扇区的句子表达内容丰富的命题。希尔伯特到底在哪里做出了区分，或者应该在哪里做出区分，仍然是一个有争议的问题。但至关重要的是，希尔伯特对理想部门采取了工具主义态度。这种语言的公式是未经解释的，或者被视为未经解释的，具有句子的句法形式，我们可以对其应用正式的转换和推理规则，但没有语义。尽管如此，如果理想扇区保守地扩展有限性，也就是说，如果没有从有限前提到有限性结论的证明，绕道无限语言产生我们无法单独使用有限性手段得出的结论，那么它们是有用的，或者可能是有用的。 ，尽管也许（这就是实用性）通过更长、更笨拙的证明。希尔伯特纲领的目标是提供这种保守推广结果的有限证明；大多数人（尽管不是全部）认为哥德尔第二不完备定理证明了这一目标是不可能的。

现在回到我们的非希尔伯特焦点，弗雷格攻击的早期形式主义并没有将数学划分为上述有限/有内容和无限/本质上无意义的双重类别，而是相反，以单一和同质的方式对待数学。从现在开始，我将使用“形式主义”来指代非希尔伯特立场，并将首先介绍弗雷格认为他在海涅和托马身上发现的形式主义观点以及他对它们所做的批评。现在人们普遍认为这些批评包含了对游戏形式主义方法的决定性反驳。但有许多后弗雷格观点似乎深受形式主义影响，或与形式主义密切相似。我将依次介绍这些内容：

维特根斯坦对数学的看法，主要是他的《逻辑哲学论》中的概念；

逻辑实证主义者尤其是卡尔纳普的形式主义；

古德曼和蒯因的唯名主义形式主义；

哈斯克尔·柯里 (Haskell Curry) 版本的形式主义和

对库里-霍华德通信的形式主义解释。

最后，我将回顾最近的形式主义哲学家，并对当代数学哲学中形式主义的前景进行总体评估。

2. 游戏和术语形式主义

弗雷格是出了名的对他人的无情诠释，尤其是随着年龄的增长。但最近的学术研究（特别参见劳伦斯，2023）表明，就汉克尔、海涅和托马等他的形式主义对手而言，他的解释尤其离题。然而，弗雷格的地位如此之高，以至于他对他们的观点的歪曲解释已被关于形式主义的哲学家们广泛接受，包括我的作者，在本文的先前版本中。

也许弗雷格犯的最重要的错误是假设当托马将数学视为一种用符号玩的游戏时，弗雷格认为符号是具体的标记，是“通过在物理身体表面上书写或印刷的方式产生的图形”。 （黑板，纸）”（Frege 1903/1980，§98）[1]。事实上，Thomae 经常使用“符号”来表示表示，例如无限小数被认为是实数的表示：

无限小数是。 。 。缩写、通常有限小数的无限序列的符号或分配给此类序列的符号 (Thomae 1898: 5)[2]

这些表示可能是无限的——实际上不是无限的序列——因此当然不是无限的，甚至也不是不可行的大的具体符号。因此弗雷格讽刺性地评论道：

为了产生它[无限系列]，我们需要一块无限长的黑板、无限量的粉笔和无限长的时间。我们可能会被指责为太残忍，因为我们试图用如此平常的反对来粉碎如此崇高的精神飞翔。但这不是答案。 （弗雷格，1903/1980，§124：199）

它本身就应该受到谴责，因为它过于教条地蔑视潜在主义对无限的理解。

托马的思想也因他对维尔斯特拉斯分析方法而不是黎曼分析方法的同情而受到强烈影响（对于弗雷格，情况正好相反）。维尔斯特拉斯认为，基于幂级数的实数和复数分析的代数方法：

无穷大

Σ

n

=

0

一个

0

+

一个

1

（

x

-

c

）

+

一个

2

（

x

-

c

）

x

2

……

一个

n

（

x

-

c

）

n

……

Σn=0∞a0+a1(x−c)+a2(x−c)x2…an(x−c)n…

其中术语 ai 仅包含代数运算符，例如算术函数加法、乘法和求幂，这些概念比使用“超越”非代数运算符的黎曼概念更为严格。在托马对这些想法的阐述中，一个关键点是，算术运算符的运算对象并不重要，只要它们遵守“游戏”的代数规则即可，无论它们是什么。因此，他对形式主义的理解更接近我们现在所说的结构主义。所以当他说：

现在，对于形式概念而言，算术是一种带有符号的游戏，人们可以将其称为空，从而传达出（在计算游戏中）除了根据某些组合规则下的行为而归于它们的内容之外，没有其他内容属于它们。 （游戏规则）。 （托梅，1898，3）。

关键词是“（在计算游戏中）没有其他内容属于他们”。托马并不否认数字术语具有或可以具有指称意义上的“内容”；例如，它们可以指代（“名称”）方程的阶数（Thomae，1898：3）。但是，在对无限序列的（有限初始段）执行算术运算时，我们将除属于运算符号之外的任何内容“括起来”，就像我们在检查半形式化的数学推理的逻辑正确性时将内容括起来一样。自然语言的扩展——例如忽略“实数”、“函数”等短语的含义，只关注论证中句子的形式结构。

总而言之，弗雷格所攻击的形式主义是一个稻草人的立场。但它在历史上具有重要意义，不仅是因为弗雷格的注释，还因为它是后来的哲学家们赖以发展的起点，或者说是一条需要避免的死胡同。对于弗雷格来说，任何带有形式主义味道的东西都是死胡同，因为他认为算术是由话语表达的真理体系，其中数字表达式指定独立于心灵（或至少任何特定个体的心灵）的抽象指涉对象。弗雷格说，海涅和托马谈论了数学领域和结构，以及对可能说出的内容的禁止（例如反对写“

3

÷

0

3÷0'，在某种特殊意义上被认为是无意义的），数字彼此之间大于或小于（而不是物理标记更大或更小，更暗或更亮）——弗雷格指出，所有这些都没有意义。如果算术是一种关于标记及其物理属性的理论，或者只是无指代符号的一系列变换，那就有意义了。然而，他没有考虑到它们可能会以这种方式表达自己，因为它们实际上并不将算术视为处理无意义的具体标记的操作。

历史上，从弗雷格的反形式主义批判中提炼出两种不同的教科书观点，雷斯尼克（Resnik，1980：54）和夏皮罗（Shapiro，2000：41-48）将这些学说描述为术语形式主义和博弈形式主义。术语“形式主义者”认为数学（例如算术）的表达是有意义的，单数术语指的是符号本身，而不是数字，被解释为与符号不同的实体。然而，游戏形式主义者坚持认为数学话语没有意义；或者无论如何，其中出现的术语并不能指出对象和属性，并且话语不能用于陈述事实。相反，数学是一种微积分，其中“空”符号字符串根据固定规则进行转换。因此，游戏形式主义对于那些热衷于阻止、避免或回避（以某种方式）对抽象对象的有问题领域的任何本体论承诺的人来说很有吸引力。因为标准数学包含了大量的定理，这些定理证实了实体无限领域的存在——数、函数、集​​合、态射、范畴等等，这些实体似乎并不具体，实际上似乎很难融入彻底的自然主义之中。现实的构想。

对于担心认同抽象对象本体论的反柏拉图主义者来说，游戏形式主义是唯一的游戏。相比之下，术语形式主义将数学解释为符号，将其转变为一种句法理论。然而，标准句法理论意味着存在无限的实体（表达式类型），它们看起来就像数字一样抽象。事实上，正如哥德尔的语法算术化所示，标准形式语法的元素和相互关系可以建模为标准算术模型内的无限子结构。因此，“形式主义”一词对于反柏拉图主义者来说似乎毫无用处。

当然，形式语法和证明理论后来成为数学的一个分支。弗雷格抱怨海涅和托马没有提供一种语法和证明理论，而这远远足以解释他们所处理的数学。这是事实，但只有像弗雷格这样的人才能在数学理论的形式化中引入迄今为止前所未有的严格标准，从而彻底改变了数学。他认识到（§90：185-6）人们可以将数学理论、数学语言、公理和规则视为形式化的数学对象。这正是希尔伯特纲领所要成功实现的目标，创造了元数学的新弟子。

有了这些工具，弗雷格意义上的严格博弈形式主义者应该如何进行？她将通过列出基本元素（原始符号及其字符串）来描述形式语言的特征，然后给出哪些字符串算作格式良好的递归规范。类似地，我们将得到严格的规范，说明在给定系统中哪些格式良好的公式的排列算作证明，以及它们在每种情况下证明什么定理。如果字符串如‘

3

+

1

=

0

3+1=0' 或 '

3

>

2

3>2' 在系统中是可证明的（例如，算术模 4），那么这足以将它们算作系统的正确话语。不需要再出现更多的真相问题；我们也不需要假设一组给定的符号只有一个系统。此外，我们也不需要假设每个这样的系统都是完整的（尽管弗雷格责备托马的算术演算的不完整性，尽管其规模很大，但很容易纠正）。我们不需要假设这些字符串中的数字指的是系统之外的任何东西，实际上我们根本不需要假设它们指的是任何东西。那么，这种严格的游戏形式主义不会受到“3

>

2

>2' 在任何合法的形式主义解读中都应该被认为是错误的

>

>';无需将数字视为指的是具体标记和“

>

>' 的意思是物理尺寸更大。）

因此，这样的博弈形式主义者避免了弗雷格对他归因于海涅和托马的立场提出的一些反对意见。但他提出的两个主要反对意见仍然适用于使用现代元数学工具开发的游戏形式主义。首先是适用性问题：如果数学只是一种微积分，我们在其中打乱未解释的符号（或者其解释无关紧要的符号），那么为什么它能如此成功地应用——并且以如此多的方式，应用于如此多的人？不同的东西——普通的物理对象、亚原子对象、场、属性，甚至从数学的一个部分到另一个部分（我们可以计算纯几何空间中的维度数）？弗雷格写道：

现在，正是应用性将算术从游戏提升到了科学的地位。 （弗雷格 1903/1980 第 91 条：167]）

其次，弗雷格非常正确且坚持地区分了一方面“游戏”——算术、集合论、拓扑学或其他什么——被简单地视为一个数学对象本身，一个形式系统，另一方面，“游戏”理论游戏。 “让我们记住，游戏理论必须与游戏本身区分开来”（§107, 183）。因此，在三角学的“游戏”中，我们可以得出

罪

2

θ

+

因斯

2

θ

=

1

sin2⁡θ+cos2⁡θ=1

来自毕达哥拉斯定理。在元理论中我们可以证明：

⊢

⟨

罪

2

θ

+

因斯

2

θ

=

1

⟩

,

⊢⟨sin2⁡θ+cos2⁡θ=1⟩,

声称在语法的数学表示中具有这样那样的代码的公式（在元元理论中表示的代码在这里用‘

⟨

罪

2

θ

+

因斯

2

θ

=

1

⟩

⟨sin2⁡θ+cos2⁡θ=1⟩’）是可证明的。同样，在元理论中，我们可以证明许多其他有关证明和反驳的事情，例如我们可以证明许多句子既不可证明也不可反驳。

这给博弈形式主义者提出了如下问题：元理论本身就是一个重要的数学部分，表面上致力于研究无限的对象领域，而这些对象从表面上看并不具体。对象语言游戏演算的表达式的标记可以是有限的——墨迹等；但由于有无限多的表达式、定理和证明，它们本身必须被视为抽象类型。形式主义者充其量只能实现从某些数学理论（例如集合论）的超限领域到可数无限但仍然可能抽象的算术领域的承诺的减少，其中标准的语法和证明理论正如哥德尔所示，可数语言（例如标准集合论的语言）可以被建模。对于术语形式主义来说，这可能已经足够了，尽管将所有数学简化为语法理论不会受到数学家的欢迎（关于这一点，请进一步参见下面关于柯里的部分）。但如果我们假设游戏形式主义者是出于某种反柏拉图主义的动机，那就不行了。

形式主义的发展能否克服这两个关键的反对意见，即适用性问题和元理论问题（我将称之为元理论问题）？ （并不是说这些是对形式主义的唯一反对意见，而是它们是两个基本的反对意见。）因为弗雷格的批评并没有消除后来数学哲学家中的所有形式主义冲动，所以我们现在应该看看未来的发展，看看它们的进展如何。

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