数学哲学中的形式主义（四）

7。咖喱 - 霍德对应关系

Haskell Curry也是在将逻辑与计算机科学联系起来的发展中发挥重要作用，有人认为这可以为数学中的形式主义提供支持。他在联合性逻辑上的工作以及霍华德（W.A. Howard）的作品导致了“咖喱 - 霍德对应”（“ Curry-Howard”此后写的“ CH”）或“ CH同构”将逻辑，证明理论和计算机科学联系起来。

库里旨在提供一般的功能理论，作为库里所说的逻辑“前逻辑”基础的一部分。特别是参见（Curry 1934）和罗伯特·菲斯（Robert Feys），（库里和菲斯（Curry and Feys），1958年）。大约在库里（Curry）在该地区的第一本出版物的同时，阿隆佐教堂（Alonzo Church

λ

λ-calculus也旨在为逻辑提供基础，实际上更广泛地为数学提供了基础，并且也采用了非常适用的功能，因为它是基本的。在这些功能性计算中（有关综合帐户，请参见Barendregt（1984），也是lambda conculus上的条目）

f

克

FG用于表示功能的应用

f

f论点

克

G产生输出值。论点和价值本身都可以是函数，并且允许自我应用。库里的系统是无变量的，而教堂的可变约束则是通过

λ

λ项，变量

x

x，如果以及发生在哪里

氮

n，被束缚

λ

x

。

氮

λx.n。基本操作

λ

λ-calculus是

β

β降低，转变使我们从

（

λ

x

。

氮

）

中号

（λx.n）m至

氮

[

x

:=

中号

]

。

n [x：= m]。这里

氮

[

x

:=

中号

]

n [x：= m]是替代的结果

中号

M用于所有自由发生的

x

x 中

氮

N. [3]所以，举例来说，

（

λ

x

。

x

x

）

f

（λx.xx）f

β

β还原为

f

f

ff。我们可以将其写为：

（

λ

x

。

x

x

）

f

⊳

f

f

（λx.xx）f⊳ff

因此，这些结石实现了Tractatus中的Wittgenstein（见上文）似乎在他的操作/功能区别中示意，因为在教堂和咖喱中，我们具有完全发展的“操作”理论，即可以将函数作为参数作为参数的函数和价值观。当然，自我应用，如无限循环

β

β减少：

（

λ

x

。

x

x

）

（

λ

x

。

x

x

）

⊳

（

λ

x

。

x

x

）

（

λ

x

。

x

x

）

⊳

（

λ

x

。

x

x

）

（

λ

x

。

x

x

）

⋮

（λx.xx）（λx.xx）⊳（λx.xx）（λx.xx）⊳（λx.xx）（λx.xx）⋮

引起担心悖论可能会出现。教会认为，避开自由变量的使用和限制了被排除的中间（教堂，1932：346-7）阻止了悖论，但克莱恩和罗瑟（Kleene and Rosser）表明（1935年），使用了基于理查德（Richard）悖论的策略，该系统都是微不足道的：每个制度都是琐碎的：每个公式都可以。使用规则得出。教堂修复了这一点，以产生始终如一

λ

λcilculus，但关于CH对应的重要步骤是键入的发展

λ

λCliculi。

现在，“类型”是一个非常劳累的词。该类型的代币使用其含义之一（大致作为抽象的句法对象）有时已被用来代表属性，包括高阶属性，如罗素的各种类型的理论。教会是在他简单的打字版本中继续这一传统的

λ

λ-calculus（教堂，1940年）。在此用法中，类型（例如罐子的属性或形状的属性）具有诸如Fido，在第一种情况下，或在第二种情况下为正方形的低阶属性。因此，从这种意义上讲，类型的实例不必是抽象对象。另一个用法是句法，就像语言的基本表达式分为各种不相交类别（“类型”），以及用于生成良好表达式的编队规则，即使用类型的区别。在这种用法中，“类型”是某种对象理论语言的句法元素中的一种表达。在某些情况下，句法理论实际上是正在讨论的对象理论的一部分。与此无关，句法类型理论的某些演讲“向下推”句法元看调查，通过规定对象语言的良好表达式包含句法适当的部分，标签与与之相关的标签，通过规定了良好的对象的表达方式。表达式的元攻击类型，没有语义作用。例如，在霍华德（1969）中，命题逻辑条件片段的形成良好的公式被用作类型符号的类型符号。

表达«

氮

：

τ

n：τ»通常沿着：

学期

氮

是类型

τ

n项为τ型

因此，可以以多种方式阅读：例如：

I：非句法：实体提到

氮

n是类/set/属性的实例

τ

τ，一个不必是句法的实例，也不是更普遍的抽象。

II：元语法：表达式

氮

n是句法类别的实例

τ

τ。相对于背景智力背景的句法理论是“元”是“ meta”，因为它并不是在（在其预期的解释下）以一种语言表达的更通用理论的一部分。它本身提供了语法。

iii：句法：表达

氮

n是句法类别的实例

τ

τ和类型理论

我

s

是其本身所属语言的句法理论。

尽管对于逻辑学家来说，一些关于类型理论的教科书似乎对上述“类型”的解释的确切含义是相当朦胧的，但对于这些理论的先驱，这肯定不是这种情况。例如，霍华德（Howard）在他的经典论文中写道：《建筑的配方式构想概念》：

标题有第二个缺陷；也就是说，一种类型应被视为[SIC]抽象对象，而公式是一种类型的名称。 （1969：479）

并区分类型和类型符号（480）。

有多种类型理论的非句法模型，尽管以后是开发的，例如（Scott，1970），并做出相当强大的固定理论基础性假设，例如存在无法访问的红衣主教。与形式主义者更相关的是“术语模型”，句法模型类似于使用自己的符号作为域名成员的语言的解释，可以在Henkin完整性证明中找到解释；尤其是“句法语义”的方法，例如对Per Martin-Löf的直觉主义类型理论的某些解释（请参阅直觉类型理论的条目），或者Peter Schroeder-Heister的“证明理论语义”（请参阅​​证明的条目 - 理论语义）避免通过参考“外部”真理条件来赋予类型和术语的含义：不应将数学语言作为某些独立现实的代表。

在这种情况下，“类型”的元语法和句法读物之间的区别不是很重要。重要的是，类型理论的公理和推理规则使我们能够证明有关类型的元理论。可以将情况与序列结石和自然扣除之间的关系进行比较，旋转门

⊢

⊢前者可以解释为某些潜在的自然扣除系统中衍生性的关系，而依次的微积分提供了有关对象语言衍生性的高阶定理。因此

氮

n是类型

τ

τ。

现在，库里（Curry）在（1934年）中的作品，以及（1958年）中更充分的作品，在条件理论中表现出了可证明的公式与类型理论中基本组合者的类型之间的一定对应关系。特别是

→

→作为条件和

α

⇒

β

α⇒β表示函数类型，即类型（非句法解释），其输入是类型

α

α功能和输出类型

β

β功能，我们有（这里

⊢

时间

→

⊢T→意味着条件的正（非相关）理论中的可预订性

⊢

C

L

⊢Cl表示具有合适的组合逻辑的可预订性）：

⊢

时间

→

一个

→

乙

当且仅当对于某些人来说

氮

,

⊢

C

L

氮

：

α

⇒

β

⊢T→A→B IFF对于某些n，⊢cln：α⇒β

在哪里

氮

n是由基本组合者和

α

α在结构上是同构的（同样

β

β至b）。也就是说，一个人可以生成一个

⇒

⇒B来自A

→

→b通过更换每次发生的情况

→

→由

⇒

⇒给定命题语言公式中句子字母的统一替换（也许是微不足道的身份），通过基本类型的名称。

Curry and Feys（1958）将对应思想扩展到类型理论和绅士序列的序列之间的概念。在已经引用的论文中，于1969年流传，但仅在1980年的咖喱节库里（Festschrift）中发表，W.A. Howard（1969）通过证明直觉序列的自然推论与类型理论之间的对应关系加深了CH对应关系。

λ

λ-calculus格式，概括了涵盖直觉主义算术的概括 - “呼吸算术”（HA）（因此需要从命题到谓语逻辑扩展），这都是对建筑的建构主义概述的研究的一部分。霍华德不仅通过在序列序列和类型属性中的可证明公式之间的对应关系进行对应，而且在类型的acriptions中的术语和相应公式的证明中加深了对应关系。[4]例如，（对于相关主义者的恐怖）

→

→（b

→

→a）在T中可证明

→

→。相应类型是

α

⇒

（

β

⇒

α

）

α⇒（β⇒α），基本操作员K的类型，其作用为

氮

中号

⊳

氮

nm⊳n

以及谁的

λ

λ表示是

（

λ

x

。

（

λ

y

。

x

）

）

（λx。（λy.x））（通常缩写

λ

x

y

。

x

）

λxy.x），如

β

β还原链：[5]

（

λ

x

。

（

λ

y

。

x

）

氮

）

中号

⊳

（

λ

y

。

氮

）

中号

⊳

氮

。

（λx。（λy.x）n）n）m⊳（λy.n）m⊳n。

最简单的证明

→

→（b

→

→a）在T中

→

→是：

一个

1

乙

→

一个

一个

→

（

乙

→

一个

）

1

A1B→AA→（B→A）1

图1

在第二步，中间结论b

→

→A，是

→

→I（ntroduction）随着未征服的先例B的空空排放（在依次的演算版本中，将使用变薄的规则，在顺序的先例中添加额外的假设）。类型理论中的理论证明TT [6]的构建术语“居住”类型

α

⇒

（

β

⇒

α

）

α⇒（β⇒α）采取形式：

x

：

α

x

λ

y

。

x

：

β

⇒

α

λ

x

y

。

x

：

α

⇒

（

β

⇒

α

）

x

X：αxλy.x：β⇒αλxy.x：α⇒（β⇒α）x

图2

这里

λ

λ抽象，引入

λ

λ项，对应于

→

→我，所以

λ

λ项

λ

x

y

。

x

λxy.x，显示为具有类型

α

⇒

（

β

⇒

α

）

α⇒（β⇒α）“代码”类型相关的两个步骤

→

→我，即规则

⇒

⇒i引入函数类型（第一个应用程序是空置放电的示例），我们可以恢复上述命题定理的证明。

此外，鉴于类型理论演算与某些类型的编程语言中的程序之间的紧密联系，我们还可以将 TT 证明视为构造某种类型的计算对象的步骤程序。

在自然演绎系统中，规范化是消除冗余推理循环的过程。在某些逻辑（例如直觉逻辑）中，规范化元定理成立并告诉我们，任何证明都可以去除其冗余并平滑地还原为规范形式。霍华德提出的更深一层的对应关系，将规范化与程序的“评估”联系起来，在程序中，复杂的术语被简化为最简单的形式（这在更具表现力的强大类型系统中并不总是可能的）。

似乎是 Kreisel 引入了“公式作为类型”这一口号，而 Martin-Löf 负责更广泛的“命题作为类型”口号（再次参见，Wadler，2015）。在哲学语境中，“命题”通常用来表示句子的含义，即某种公式的含义。使用这个术语，一个广泛的直觉主义立场是，由公式表达的命题是该公式的所有证明的集合（或物种，对于直觉主义者）。鉴于不同的可证明公式将对应于不同的类型，CH对应关系允许我们将这种“句法语义”位置重新表述为：HA公式表达的命题是其证明的类型，其中“类型”不是直截了当的“集合”或“物种”的同义词，但概念来自

λ

λ-演算。如前所述，该微积分是一个与编程、计算机科学和阅读材料具有丰富互连的形式系统，其中类型的实例纯粹是句法的，例如证明理论实体。因此，在这样的解读中，公式的含义、所表达的命题并不代表与该公式出现的语言系统不同的现实。

那么，与直觉主义的联系是显而易见的：但是 CH 对应关系与形式主义的相关性是什么？首先，某些形式的直觉主义和某些形式主义立场之间存在明显的重叠。当然，不是开国元勋布劳威尔的哲学直觉主义，它把数学对象视为心理构造的本体论，以及数学知识基于对思想继承的内部反思的认识论；这是一种远离形式主义的数学形而上学。但许多建构主义者在不接受他的形而上学的情况下，接受了布劳威尔对数学正确性（真理，如果有人准备谈论数学真理）与可证明性的认同或密切联系。这种认同不仅适合某种形式主义，它拒绝数学论文代表独立于思想的现实这一观点，并且还根据在某些方面可证明的理论来区分数学的绵羊和山羊。正式系统，与那些不可证伪的系统。

但直觉主义者和形式主义者之间也存在实质性差异。一方面，不仅布劳威尔，而且许多后来的建构主义者都拒绝将可证明性与某些正式系统中的可证明性等同起来。另一方面，形式主义者通常觉得可以自由地帮助自己走向经典逻辑，并强调数学家的自由创造力：她应该可以自由地产生她想要的任何数学理论，只有在结果证明它们不一致时才可以撤回它们（在所选的背景逻辑中）。

对于第一点，形式主义者当然就是形式主义者！她将至少在最基本的层面上将正确性与形式证明联系起来。那么，CH 对应关系，或者更好的对应关系，对于形式主义者来说无疑是非常有吸引力的。命题和计算之间的联系，特别是用算法将证明编码为不可约范式的术语，非常适合那些将数学本质上视为没有外部参考的符号洗牌的形式主义版本。

关于第二点，对 CH 对应关系的进一步研究将直觉逻辑的结果推广到各种其他逻辑，特别是经典逻辑（Griffin，1990），以及其他逻辑框架，例如模态逻辑和线性逻辑那么，就没有了“公式即类型”所强加的繁琐的逻辑限制，形式主义者无需绑着一只手去战斗。

形式主义者所珍视的自由创造力又如何呢？当然，建构主义类型理论已经远远超出了海廷算术的范围。在基于同伦类型理论的单价基础项目中可以找到特别雄心勃勃的扩展（Awodey，2014）。那么，这就是基于公式作为类型的形式主义可能追求的一条途径。但对于一个希望对非建构主义数学持非修正主义态度的形式主义者来说，前景可能不太明朗。仅在标准框架中添加产生特定理论的额外公理或推理规则是不够的，例如一阶或高阶语言的。因为需要做进一步的工作来证明在该系统中获得了 CH 通信的扩展。

此外，在证明理论性质（直觉主义逻辑满足）的意义上也存在素数问题，当

⊢

⊢ A

∨

∨ B 那么或者

⊢

⊢ A 或

⊢

⊢ B. 经典理论通常不具有这种性质，除非是完全否定的，这将给推广 CH 对应关系和证明排中值的合理性带来问题（假设形式主义者并不简单地将所有非平凡的演算视为合法的，而不需要如果一个数学主张的正确性，相对于一个特定的框架，是由可证明性来确定的，并且如果一个析取在两个析取都不可证明的情况下是正确的，那么形式主义者似乎需要一些花哨的步法——超估价主义在这里显然不合适——使用经典逻辑来证明其合理性。

还有适用性问题，弗雷格认为这是形式主义者无法克服的问题。应用数学概念的含义是什么，例如“的数量”

φ

ψs»，数学和非数学话语混合在一起？除非 CH 形式主义者希望沿着杜梅特反实在论路线走下去，并将证明的概念概括为适合经验语言的验证概念，否则她将不得不找到一种方法，在没有太多临时性的情况下，将证明理论与证明理论结合起来。纯数学的语义与经验语言的不同的，也许是现实主义的，真值条件语义。

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