数学哲学中的形式主义（五）

最后应该指出的是，CH 形式主义（如果我们可以如此称呼的话）对于受反柏拉图主义关注并希望将抽象对象排除在所有数学（包括元数学）之外的形式主义者来说是不可接受的。对于数学公式的具体表达的意义，根据CH形式主义，是证明的集合/种类/类型，而后者是抽象对象，其中无限多个，具有任意长的有限长度。换句话说，元理论的问题还没有得到解决。反柏拉图主义者不能直接提升句法语义学的思想并应用CH对应来支持反柏拉图主义；需要做更多的哲学工作。

8.当代形式主义

后来的发展主要发生在形式主义运动的“希尔伯特”派中。 P. J. 科恩关于广义连续统假设的研究表明，与哥德尔的相对一致性证明相结合，它以及无数相关的关于集合基数与其幂集基数关系的集合论命题是无法通过当前公理判定的。由于没有明显的、非临时的方法来扩展公理来决定这些问题，这导致一些数学家，例如科恩本人（Cohen，1971）和亚伯拉罕·罗宾逊（Robinson，1965；1969）对现实的解释感到绝望高等集合论。因此，他们将没有合理公理集来决定关键问题的数学分支视为数学的“理想”部分，缺乏在其他领域可以找到的内容。

至于博弈形式主义，尽管哲学家可能会指责数学家倾向于陷入这种看似不可信的立场，但很少有哲学家提出类似于博弈形式主义的观点。加贝（Gabbay，2010）和阿祖尼（Azzouni，2004；2005；2006；2009）已经高举形式主义旗帜。加贝的形式主义（他在引用的论文中仅针对算术进行了发展）占据了“传统形式主义、虚构主义、逻辑主义和现实主义之间的丰富中间地带”（Gabbay，2010：219）。此外，他写道“与传统（游戏）形式主义相反，我的建议不应试图提供每个算术真理的形式推导”（Gabbay，2010：221）。

阿佐尼将他的“形式主义版本”（Azzouni，2004：105）描述为普通数学证明“表明”形式推导的形式。指示关系是相当开放的：阿祖尼并没有声称指示的推导都属于一个单一的形式系统；相当普通的证明可以表明来自形式推导“家族”的推导。然而，阿祖尼说，所指出的推导不一定存在；当然，它们的具体标记不必与表明它们的非正式证据存在于同一时期。古希腊几何学的证明表明了 21 世纪或以后的推导。事实上，它们可能永远不存在——它们可能太长而无法被写下来（Azzouni，2006：154），尽管这些不存在的证明应该解释数学家之间关于哪些非正式证明是正确的共识！在后来的作品中，阿佐尼似乎放弃了这种（或任何）形式主义：

我一直（违背我的意愿）认为数学家必须在仔细研究非正式数学证明的同时从事复杂的句法模式识别之类的事情，这样他们就会对不存在的形式推导的背景敏感（没有意识到）。 （阿祖尼，2009：25）

转向数学推理的“推理包”观点，这似乎并不形式主义：再次参见 Azzouni (2009)。

然而，还有另一群当代数学哲学家，他们的观点似乎接近形式主义，即（其中一些）虚构主义者。现在，“小说家”一词可能会产生误导，因为并非所有小说家都将数学与小说同化。即使有人这样做，也会出现这样的问题：“人们采用什么样的对小说的哲学解释以及关于小说的论述？”许多哲学家拒绝虚构人物的现实主义本体论，就像许多哲学家拒绝数学的现实主义柏拉图本体论一样。关于虚构主义的非常简单化的反现实主义可能会将“雾都孤儿出生在伦敦”这样的陈述分析为真实（或正确）以防万一这句话或同义词出现在狄更斯的小说中（Field，1989：3）。即使这适用于小说（显然事实并非如此），[7] 数学的并行方法显然是荒谬的。如果一篇数学论文在期刊上被宣布为定理，无论有或没有证明，无论它多么受人尊敬，那么，即使这个主张从未受到质疑并且数学界接受了这一断言，这也绝不意味着该论文是正确的（或者纠正，如果有人不喜欢将真值谓词应用于数学句子）。考虑到许多“定理”的声称的证明后来被发现是不正确的，我们可以相当肯定，一些谎言将被错误地永远接受为已证明的。此外，数学主张将无穷无尽，有些是正确的，有些是错误的，它们根本不会进入数学文献，也不会被真正的数学家考虑。

现在《雾都孤儿》的例子要归功于虚构主义学派的创始人哈特里·菲尔德（如果我们可以这么说的话）。但他对自己的立场做了如下限定：

我们大多数人相信《雾都孤儿》住在伦敦，只是因为我们相信小说说或因此导致《雾都孤儿》住在伦敦（1989，3）[强调我的]。

这是否适用于小说（如果作品不一致怎么办：必须使用相关的结果关系吗？它如何处理不同作品之间的比较，如上面托尔斯泰/陀思妥耶夫斯基的例子？）这是一个有趣的数学立场明显的形式主义色彩。数学家可以提出她喜欢的任何（一致的）理论。那么理论的真理只是理论的结果，没有必要认为理论代表了外部现实。玛丽·冷（Mary Leng，2010）对沿着这些思路的虚构主义进行了研究。但一个关键问题是：如何理解“后果”？对于形式主义者来说，这必须是可推导性的结果。但冷拒绝这样的解读：她的虚构主义是一种逻辑结果不是从语法上而是从情态上解释的，其中所讨论的必然性被视为原始的。因此，这种虚构主义亚种不能被归类为形式主义。

相比之下，韦尔明确拥护形式主义（1991；1993；2010；2016），而且是游戏形式主义传统中的形式主义。如果相对于虚构主义而言，他的立场可以被视为这样一种立场：在形式主义传统中，从语法上，从形式推导性的角度来解读“后果”。作为第一个近似，位置是：如果存在数学句子的标记的具体推导，则该数学句子为真；如果存在其否定的标记的具体推导，则该数学句子为假。由于真假条件不诉诸抽象证明，因此这种形式主义是坚决反柏拉图主义的。

这种直言不讳的具体主义形式主义似乎面临着无法克服的问题：例如，以“具体不可判定”的形式，上面提到的与古德曼和蒯因的唯名论相关的那些带有不可行的长证明或反驳的短论文。威尔解决此类问题的尝试以相当普遍的“后弗雷格”或“新弗雷格”语言观点为基础。弗雷格至少在其职业生涯的早期认为，句子的真值由两个因素决定：Sinn，句子的意义、字面意义或信息内容；以及Sinn，即句子的意义、字面意义或信息内容。以及世界本来的样子。他最初认为句子的索引性和更广泛的上下文相对性可以通过假设说出并掌握这些句子的说话者将它们视为更完整的话语的省略来满足，这些话语的意义与世界结合起来，固定了一个独特的真值。

后来的工作（包括弗雷格自己的）揭示了这张图的不足，揭示了一些索引性，例如，用约翰·佩里的话来说，对于所表达的思想来说是“必要的”。我可以真实地说出“现在很热”，而不知道我在哪里、何时，甚至不知道我是谁（如果我已经完全迷失了方向或失去了理智）。那些不像激进语境主义者那样对系统意义理论完全持怀疑态度的人会将弗雷格的观点修正为三方观点。在特定上下文中，句子的真值取决于其信息内容、与“适合”相关的上下文环境、说话者实践的各个方面的话语，最后取决于独立于思想和语言的世界。上下文环境不需要体现在话语的含义或信息内容中；因此，它们的规范可能包括日期和地点，尽管这不是“现在很热”的含义的一部分（比较卡普兰的性格与内容的区别，特别是在他的 1989 年讨论的“内容”的第二种含义（fn 28：503） ））。

这张图反过来暗示了这样一种想法，即“成真”的语境环境与独立的现实、话语相结合，可能会以非现实主义的方式使其成真。在威尔的游戏形式主义版本中，基本思想是“什么使真（或假）”

罪过

2

θ

+

因斯

2

θ

=

1

sin2⁡θ+cos2⁡θ=1’在特定系统中是存在具体证明或反驳，尽管这种具体证明存在的陈述不属于该主张的字面意义或意义。

这种形式主义的优点在于，它不仅肯定了数学话语的意义、意义的拥有性，而且还肯定了数学话语的意义。与传统博弈形式主义形成鲜明对比的是，它认为这样的话语具有真值，有证据或反驳。如果人们能够按照古德曼和蒯因 1947 年的时尚，对具体证明给出一种非数学的解释，那么元理论的问题就得到了解决。当然，如上所述，严重的问题仍然存在。必须解决适用性问题，例如通过提供保守的扩展证明。当然，该理论不仅受到哥德尔类型的不完备性和不可判定性的威胁，而且还受到它提出的直觉上的真值句子的威胁；更具破坏性的不确定性以“具体不可判定”句子的形式出现，例如田南特第 5 节的首要主张。

处理这些问题的一种策略是将形式主义与严格的有限主义结合起来（其中一个品牌参见 Yessinin-Volpin (1961; 1970) 以及批评和评论 Dummett (1975) 和 Wright (1982)：只有可行的长“可消化”公式和证明的标记是存在的，没有可行的证明或反证的公式根本缺乏真值，因为我们从哥德尔的加速考虑中知道，对于许多可证明的句子，它的最短推导或其否定要长得多。就句子本身而言，这种有限主义/形式主义立场有可能对完全普通的数学的大范围造成严重破坏。

威尔认为（2010；2016）有限主义形式主义不仅极其激进，而且语无伦次。原因是缩写的普遍作用，它会生成复杂的标记，而它们的大部分子部分永远不会存在，例如缩写会创建数字命名（与柏拉图主义者交谈）任意高的数字。因此，严格的有限主义规范不能以通常的归纳方式给出，因为所有包含基集的归纳集的交集在复杂性形成操作下是闭合的。这反过来意味着我们甚至无法证明关于 wffs 和证明的非常简单的事实。

因此，理想化在元数学中至关重要，包括在元数学中发现的真理和证明的理想化概念。如果形式主义者有权断言存在无限多个素数，同时否认抽象对象存在，那么她似乎没有理由不能断言存在无限多个公式或无限多个证明，同时也否认抽象对象存在。因此，Weir（2016：38-39）认为，只要有结果的具体证明（或证明草图），形式主义者就可以回答具体的不可判定问题，即对于给定的语言或子语言，形式真理，与形式可证明性相一致，并且没有理由将理想化限制于有限语言。

总之，拥护标准数学理论（包括证明理论）的意义和真实性的形式主义者比经典博弈形式主义有更多的资源来满足这些主张。问题是，这些是否足以挽救一个可以公平地说大多数数学哲学家仍然认为无望的立场。另一方面，对于形式主义已经死亡和被埋葬这一点，当然没有普遍的共识，也没有一些数学家和计算机科学家对形式主义强烈同情的迹象。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。