数学哲学中的直觉主义（一）

1.布劳威尔

2. 直觉主义

2.1 直觉主义的两种行为

2.2 创造主体

3. 数学

3.1 BHK 解释

3.2 直觉逻辑

3.3 自然数

3.4 连续体

3.5 连续性公理

3.6 条形定理

3.7 选择公理

3.8 描述集合论、拓扑和拓扑理论

4.建构主义

5.元数学

5.1 算术

5.2 分析

5.3 无法无天的序列

5.4 创造主体的形式化

5.5 基础和模型

5.6 逆向数学

6. 理念

6.1 现象学

6.2 维特根斯坦

6.3 达米特

6.4 有限论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.布劳威尔

Luitzen Egbertus Jan Brouwer 出生于荷兰 Overschie。他在阿姆斯特丹大学学习数学和物理学，并于 1907 年获得博士学位。1909 年，他成为同一所大学的讲师，并于 1912 年被任命为正教授，一直担任该职位直至 1951 年退休。是一位才华横溢的数学家，在拓扑学方面做出了开创性的工作，并在年轻时就已成名。他一生都是一个独立的思想者，以热情的活力追求他所信仰的事物，这使他与许多同事发生冲突，尤其是与大卫·希尔伯特的冲突。他也有崇拜者，在布拉里库姆的“小屋”里，他迎来了许多当时著名的数学家。直到生命的最后，他变得更加孤立，但他对自己哲学真理的信念从未动摇过。他在布拉里库姆 (Blaricum) 因车祸去世，享年 85 岁，此时距离他的妻子莉兹·布劳威尔 (Lize Brouwer) 去世七年。

24岁时，布劳威尔写了《生活、艺术和神秘主义》（Brouwer 1905）一书，其唯我主义内容预示了他的数学哲学。在他的论文中，首次阐述了直觉主义的基础，尽管尚未以该名称命名，也未以其最终形式。在完成论文后的头几年，布劳威尔的大部分科学生涯都致力于拓扑学，在这个领域，他仍然以其维数理论和不动点定理而闻名。这项工作是古典数学的一部分；根据布劳威尔后来的观点，他的不动点定理并不成立，尽管根据他的原理可以证明以近似形式进行的模拟是成立的。

从 1913 年起，布劳威尔越来越致力于将其论文中阐述的思想发展为完整的数学哲学。他不仅完善了直觉主义哲学，而且根据这些原理重新改造了数学，特别是连续统理论和集合论。那时，布劳威尔是一位著名的数学家，他在剑桥、维也纳和哥廷根等当时的科学圣地发表了颇具影响力的直觉主义讲座。他的哲学被许多人认为是笨拙的，但他那个时代的一些最著名的数学家却将他的哲学视为经典推理的严肃替代品，即使他们对这个问题有不同的看法。库尔特·哥德尔一生都是柏拉图主义者，他就是其中之一。赫尔曼·韦尔（Hermann Weyl）曾写道“So gebe ich also jetzt meinen eigenen Versuch Preis und schließe mich Brouwer an”（Weyl 1921, 56）。尽管韦尔在晚年很少实践直觉主义数学，但他从未停止过对布劳威尔和他的直觉主义数学哲学的钦佩。

布劳威尔的一生充满了冲突，其中最著名的是与大卫·希尔伯特的冲突，最终导致布劳威尔被《数学年鉴》董事会开除。这场冲突是 20 世纪初震撼数学界的根本之争的一部分，它是由于数学中出现的悖论和高度非建设性的证明而出现的。哲学家和数学家被迫承认数学缺乏认识论和本体论基础。布劳威尔的直觉主义是一种旨在提供这样一个基础的数学哲学。

2. 直觉主义

2.1 直觉主义的两种行为

布劳威尔认为，数学是心灵的无语言创造。在康德意义上，时间是唯一先验的概念。布劳威尔区分了两种直觉主义行为：

直觉主义的第一个行动是：

将数学与数学语言完全分离，从而与理论逻辑描述的语言现象完全分离，认识到直觉数学本质上是一种无语言的心灵活动，其起源于对时间运动的感知。这种对时间移动的感知可以被描述为生命时刻分裂成两个不同的事物，其中一个让位于另一个，但被记忆保留。如果如此诞生的二元性被剥夺了所有品质，那么它就会进入所有二元性的共同基础的空形式。正是这种共同的基础，这种空洞的形式，才是数学的基本直觉。 （布劳威尔 1981 年，4-5）

正如数学部分将要讨论的那样，直觉主义的第一个行动产生了自然数，但意味着对所允许的推理原则的严格限制，最明显的是对排中原则的拒绝。由于拒绝这一原则以及连续统的逻辑基础的消失，用布劳威尔的话来说，人们可能会“担心直觉主义数学必然是贫乏和贫乏的，特别是没有分析的空间”（布劳威尔 1952 年，142​​）。然而，第二幕确立了连续体的存在，该连续体具有其经典对应物所不具备的属性。连续统的恢复依赖于第二幕中规定的选择序列的概念，即自由选择产生的无限序列的存在，因此这些序列不是预先固定的。

直觉主义的第二个行为是：

承认创建新数学实体的两种方式：首先以或多或少自由地进行先前获得的数学实体的无限序列的形式……；其次是数学物种的形式，即先前获得的数学实体所假定的属性，满足这样的条件：如果它们适用于某个数学实体，那么它们也适用于所有被定义为“等于”它的数学实体……。 （布劳威尔 1981 年，8）

直觉主义的两种行为构成了布劳威尔哲学的基础：仅凭这两个行为，布劳威尔就创造了直觉数学的领域，正如下面将要解释的那样。从这个基本原则已经可以得出结论，直觉主义不同于柏拉图主义和形式主义，因为它既不假设我们之外的数学现实，也不认为数学是根据某些固定规则玩符号的游戏。在布劳威尔看来，语言是用来交换数学思想的，但后者的存在独立于前者。直觉主义和其他数学建设性观点之间的区别在于第二幕允许构造无限序列的自由。根据其他数学建设性观点，数学对象和论证应该是可计算的。事实上，正如下面将要解释的，直觉主义第二幕的数学含义与经典数学相矛盾，因此在大多数建设性理论中并不成立，因为这些理论通常是经典数学的一部分。

因此，布劳威尔的直觉主义与其他数学哲学不同。它基于对时间的认识和对数学是自由思想的创造的信念，因此它既不是柏拉图主义也不是形式主义。它是建构主义的一种形式，但只是在更广泛的意义上如此，因为许多建构主义者并不接受布劳威尔认为正确的所有原则。

2.2 创造主体

直觉主义的这两种行为本身并不排除对数学的心理学解释。尽管布劳威尔只是偶尔谈到这一点，但从他的著作中可以清楚地看出，他确实认为直觉主义独立于心理学。布劳威尔将创造主体（Brouwer 1948）引入为理想化的思维，数学在其中发生，已经抽象了人类推理的非本质方面，例如空间和时间的限制以及错误论证的可能性。因此，要求对人类能够交流这一事实进行解释的主体间性问题不再存在，因为只存在一个创造主体。在文献中，创造性主题这个名称也用于创建主题，但这里使用的是布劳威尔的术语。在（Niekus 2010）中，有人认为布劳威尔的创造主体并不涉及理想化的数学家。对于作为胡塞尔意义上的先验主体的创造主体的现象学分析，请参见（van Atten 2007）。

布劳威尔使用涉及创造主题的论点来构造某些直觉上不可接受的陈述的反例。下面要讨论的弱反例仅表明某些陈述目前不能被直观地接受，而理想化心灵的概念则证明某些经典原理是错误的。 5.4 节给出了一个关于创建主体概念形式化的例子。其中还解释了以下原则（称为克里普克图式）可以根据创建主体进行论证：

（

K

S

）

∃

α

（

一个

↔

∃

n

α

（

n

）

=

1

）

。

(KS)∃α(A↔∃nα(n)=1)。

在堪萨斯州，

一个

A 范围涵盖公式和

α

α 的范围涵盖选择序列，选择序列是由创造主体产生的自然数序列，创造主体逐一选择其元素。选择序列和 Kripke 模式将在 3.4 节中进一步讨论。

在大多数数学哲学中，例如柏拉图主义，数学陈述是无时态的。在直觉主义中，真与假都具有时间性。既定的事实将保持不变，但在某个时间点得到证明的陈述在该时间点之前缺乏真值。在对创造主体概念的上述形式化中，直觉主义的时间方面明显地呈现出来，这种形式不是由布劳威尔提出的，而是后来由其他人提出的。

尽管使用“创造主体”概念的论点可能对于进一步理解直觉主义作为数学哲学来说很重要，但它在该领域发展中的作用不如直觉主义的两个行为那么有影响力，这两个行为直接导致了直觉主义的发展。布劳威尔和他的后继者愿意接受数学真理。

3. 数学

尽管布劳威尔对直觉主义的发展在 20 世纪初数学家之间的基础性辩论中发挥了重要作用，但他的哲学对数学的深远影响只有在多年的研究之后才变得明显。直觉主义的两个最典型的属性是它在证明中允许的推理的逻辑原理和直觉主义连续体的完整概念。只是就后者而言，直觉主义就变得无法与经典数学相比。在这篇文章中，重点是直觉主义与其他数学学科的区别原则，因此它的其他建设性方面将不那么详细地讨论。

3.1 BHK 解释

在直觉主义中，知道陈述 A 为真意味着有其证明。 1934 年，布劳威尔的学生阿伦德·海廷 (Arend Heyting) 引入了一种后来被称为“布劳威尔-海廷-柯尔莫哥洛夫解释”的形式，它捕捉了直觉主义和一般建构主义中逻辑符号的含义。它通过指示如何解释连接词和量词，以非正式的方式定义了直觉证明应该包含什么。

⊥

⊥ 无法证明。

一个证明

一个

∧

乙

A∧B 由以下证明组成

一个

A 和证明

乙

B.

一个证明

一个

∨

乙

A∨B 由以下证明组成

一个

A 或证明

乙

B.

一个证明

一个

→

乙

A→B 是一种转换任何证明的结构

一个

A 转化为证明

乙

B.

一个证明

∃

x

一个

（

x

）

∃xA(x) 通过呈现一个元素给出

d

d 域和证明

一个

（

d

）

广告）。

一个证明

∀

x

一个

（

x

）

∀xA(x) 是一个转换了每一个证明的结构

d

d 属于域的证明

一个

（

d

）

广告）。

否定

Ø

一个

公式的 ØA

一个

一旦证明不存在 A 的证明，A 就被证明

一个

A，这意味着提供一个从任何可能的证明中导出假值的构造

一个

A、因此

Ø

一个

ØA 相当于

一个

→

⊥

A→⊥。 BHK 解释不是一个正式的定义，因为构造的概念没有定义，因此可以有不同的解释。然而，在这个非正式的层面上，人们已经被迫拒绝经典逻辑中始终存在的逻辑原则之一：排中原则

（

一个

∨

Ø

一个

）

(A∨-A)。根据 BHK 的解释，如果创建主体知道以下事实的证明，则该陈述直观地成立：

一个

A 或证明

一个

A无法证明。如果两者都不适合

一个

A 也不是其否定的证据是已知的，该陈述

（

一个

∨

Ø

一个

）

(A∨ØA) 不成立。诸如哥德巴赫猜想或黎曼假设等开放问题的存在说明了这一事实。但一旦证明

一个

A或者其否定的证明被发现，情况发生变化，对于这个特定的

一个

一、原理

（

一个

∨

Ø

一个

）

(A∨ØA) 从那一刻起就为真。

3.2 直觉逻辑

布劳威尔在其哲学的基础上拒绝了排中原则，但阿伦德·海廷（Arend Heyting）是第一个制定了从直觉主义角度可接受的全面原则逻辑的人。直觉主义逻辑也是大多数其他形式的建构主义的逻辑，通常被称为“没有排中原则的经典逻辑”。它用 IQC 表示，代表直觉量词逻辑，但文献中也出现了其他名称。希尔伯特风格中可能的公理化包括以下原则

一个

∧

乙

→

一个

A∧B→A

一个

∧

乙

→

乙

A∧B→B

一个

→

一个

∨

乙

A→A∨B

乙

→

一个

∨

乙

B→A∨B

一个

→

（

乙

→

一个

）

A→(B→A)

∀

x

一个

（

x

）

→

一个

（

t

）

∀xA(x)→A(t)

一个

（

t

）

→

∃

x

一个

（

x

）

A(t)→∃xA(x)

⊥

→

一个

⊥→A

（

一个

→

（

乙

→

C

）

）

→

（

（

一个

→

乙

）

→

（

一个

→

C

）

）

(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))

一个

→

（

乙

→

一个

∧

乙

）

A→(B→A∧B)

（

一个

→

C

）

→

（

（

乙

→

C

）

→

（

一个

∨

乙

→

C

）

）

(A→C)→((B→C)→(A∨B→C))

∀

x

（

乙

→

一个

（

x

）

）

→

（

乙

→

∀

x

一个

（

x

）

）

∀x(B→A(x))→(B→∀xA(x))

∀

x

（

一个

（

x

）

→

乙

）

→

（

∃

x

一个

（

x

）

→

乙

）

∀x(A(x)→B)→(∃xA(x)→B)

具有最后两个公理的通常附带条件以及 Modus Ponens 规则，

从

一个

和

（

一个

→

乙

）

推断

乙

,

从 A 和 (A→B) 推断 B，

作为唯一的推理规则。自从海廷提出直觉主义逻辑以来，它就一直是研究的对象。在命题层面，它已经具有许多与经典逻辑不同的属性，例如析取属性：

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