数学哲学中的直觉主义（二）

（

D

磷

）

我

问

C

⊢

一个

∨

乙

意味着

我

问

C

⊢

一个

或者

我

问

C

⊢

乙

。

(DP)IQC⊢A∨B 意味着IQC⊢A 或IQC⊢B。

这个原则在经典逻辑中显然被违反了，因为经典逻辑证明

（

一个

∨

Ø

一个

）

(A∨ØA) 也适用于独立于逻辑的公式，即

一个

一个和

Ø

一个

ØA 不是同义反复。纳入 Ex Falso Sequitur Quodlibet 原则，

（

⊥

→

一个

）

(⊥→A)，在直觉逻辑中是研究布劳威尔关于该主题的评论的人的一个讨论点；在van Atten 2008中，认为该原理在直觉主义中无效，而根据布劳威尔的观点，有效的逻辑原理是相关逻辑的逻辑原理。有关 Brouwer 和 Ex Falso Sequitur Quodlibet 的更多信息，请参阅 van Dalen 2004。

尽管直到今天，直觉推理中使用的所有逻辑都包含在IQC中，但原则上可以想象，在某些时候，会发现一个从直觉主义观点来看可以接受但不被该逻辑涵盖的原则。对于大多数形式的建构主义来说，广泛接受的观点是情况永远不会如此，因此 IQC 被认为是建构主义的逻辑。对于直觉主义来说，情况不太清楚，因为不能排除在某些时候我们的直觉主义理解可能会引导我们得出我们以前没有掌握的新逻辑原理。

直觉逻辑被广泛使用的原因之一是它无论从证明论还是模型论的角度来看都表现良好。它存在大量的证明系统，如Gentzen演算和自然演绎系统，以及各种形式的语义，如Kripke模型、Beth模型、Heyting代数、拓扑语义和分类模型。然而，其中一些语义只是研究直觉逻辑的经典方法，因为可以证明，关于它们的直觉完整性证明不存在（Kreisel 1962）。然而，已经表明存在替代性但不太自然的模型，其完整性确实具有建设性（Veldman 1976）。直觉主义逻辑的构造性特征在柯里-霍华德同构中变得尤为明显，它在逻辑推导和简单类型的术语之间建立了对应关系。

λ

λ-演算，即介于证明和计算之间。这种对应关系保留了结构，因为术语的减少对应于证明的标准化。

3.3 自然数

自然数的存在是由直觉主义的第一个行为所给出的，即通过对时间运动的感知和生命时刻分解成两个不同的事物：过去是什么，1，以及与过去一起的东西。 、 2，然后从那里到 3、 4…… 与经典数学相反，在直觉主义中，所有无穷大都被认为是潜在无穷大。特别是自然数无穷大的情况。因此，必须谨慎对待对该集合进行量化的陈述。另一方面，从直觉的角度来看，归纳原理是完全可以接受的。

由于自然数相对于实数的有限性，许多在经典数学中正确的有限性质算术陈述在直觉主义中也是如此。例如，在直觉主义中，每个自然数都有一个质因数分解；存在不可计算的可计算可枚举集；

（

一个

∨

Ø

一个

）

(A∨ØA) 对于所有量词自由语句都成立

一个

答：对于更复杂的陈述，例如范德瓦尔登定理或克鲁斯卡尔定理，直觉有效性就不那么简单了。事实上，这两个命题的直觉证明都很复杂并且偏离了经典证明（Coquand 1995，Veldman 2004）。

因此，在自然数的背景下，直觉主义和经典数学有很多共同点。只有当考虑实数等其他无限集合时，直觉主义才开始与经典数学以及大多数其他形式的建构主义有更大的不同。

3.4 连续体

在直觉主义中，连续统既是其经典对应物的延伸，又是其限制。就其完整形式而言，这两个概念是无法比较的，因为直觉实数具有经典实数所没有的属性。下面要讨论的一个著名的例子是这样的定理：在直觉主义中，连续统上的每个总函数都是连续的。通过弱反例可以很容易地看出直觉连续统不满足某些经典属性。它还包含经典实数不具有的属性，这源于直觉主义中选择序列的存在。

弱反例

布劳威尔在 1908 年提出的弱反例是布劳威尔用来表明从经典数学概念到直觉主义数学概念的转变对于根据这些哲学可以建立的数学真理并非没有影响的第一个例子。他们表明，从直觉主义的角度来看，某些经典陈述目前是不可接受的。例如，考虑以下定义给出的实数序列：

r

n

=

{

2

-

n

如果

∀

米

≤

n

一个

（

米

）

2

-

米

如果

Ø

一个

（

米

）

∧

米

≤

n

∧

∀

k

<

米

一个

（

k

）

。

rn={2−n 如果 ∀m≤nA(m)2−m 如果 ØA(m)∧m≤n∧∀k＜mA(k)。

这里

一个

（

n

）

A(n) 是可判定的属性，其中

∀

n

一个

（

n

）

∀nA(n) 未知是真还是假。可判定性意味着目前对于任何给定的

n

n 存在（可以构造）一个证明

一个

（

n

）

A(n) 或

Ø

一个

（

n

）

ØA(n)。在撰写本文时，我们可以让

一个

（

n

）

A(n)表示

n

n，如果大于2，是三个素数之和；

∀

n

一个

（

n

）

∀nA(n) 则表达了（原始）哥德巴赫猜想：每个大于 2 的数字都是三个素数之和。顺序

⟨

r

n

⟩

⟨rn⟩ 定义一个实数

r

r 的语句

r

=

0

r=0 相当于语句

∀

n

一个

（

n

）

∀nA(n)。由此可见，该声明

（

r

=

0

∨

r

≠

0

）

(r=0∨r≠0) 不成立，因此三分法

∀

x

（

x

＜

y

∨

x

=

y

∨

x

＞

y

）

∀x(x＜y∨x=y∨x＞y) 在直觉连续统上不成立。

请注意“

一个

A 不是直观上正确的 ” 和 “

一个

A 在直觉上是可反驳的”：在第一种情况下我们知道

一个

A 不能有直观的证明，第二个陈述表示我们有 ØA 的证明，即从任何可能的证明导出假值的构造

一个

答：对于三分法，我们刚才已经证明它在直觉上并不正确。下面将表明，即使是第二种更强的形式，即法律是可反驳的，在直觉上也是成立的。然而，对于存在弱反例的所有陈述来说，情况并非如此。例如，哥德巴赫猜想是排中原理的一个弱反例，因为

∀

n

一个

（

n

）

如上所述的 ∀nA(n) 目前尚不知道是真是假，因此我们不能断言

∀

n

一个

（

n

）

∨

Ø

∀

n

一个

（

n

）

∀nA(n)∨∀nA(n) 直观上来说，至少目前不是。但对于这一说法的反驳，

Ø

（

∀

n

一个

（

n

）

∨

Ø

∀

n

一个

（

n

）

）

�(∀nA(n)∨�∀nA(n))，在直觉主义中是不正确的，因为我们可以证明对于任何陈述

乙

B 矛盾可以从以下假设导出：

Ø

乙

ØB 和

Ø

Ø

乙

ØØB 保持（因此也从

乙

乐队

Ø

乙

ØB）。换句话说，

Ø

Ø

（

乙

∨

Ø

乙

）

ØØ(B∨ØB)在直觉上是正确的，因此，尽管排中原理存在微弱的反例，但它的否定在直觉主义上是错误的，即它在直觉上是可反驳的。

实数的存在性

r

直觉主义者无法决定它们是否为正的 r 表明某些经典总函数在直觉主义环境中不再如此，例如分段常数函数

f

（

r

）

=

{

0

如果

r

≥

0

1

如果

r

＜

0。

f(r)={0 如果 r≥01 如果 r＜0。

许多经典有效的陈述都存在弱反例。这些弱反例的构造通常遵循与上述示例相同的模式。例如，表明中间值定理在直觉上不是有效的论证如下。让

r

r 是 [−1,1] 中的实数，其中

（

r

≤

0

∨

0

＜

r

）

(r≤0∨0＜r)尚未确定，如上例所示。定义一致连续函数

f

上

[

0

,

3

]

[0,3] 由

f

（

x

）

=

分钟

（

x

-

1

,

0

）

+

最大限度

（

0

,

x

-

2

）

+

r

。

f(x)=min(x−1,0)+max(0,x−2)+r。

清楚地，

f

（

0

）

=

-

1

+

r

f(0)=−1+r 且

f

（

3

）

=

1

+

r

f(3)=1+r，由此

f

f 在某个时刻取值 0

x

x 在 [0,3] 中。如果这样的话

x

x 可以确定

1

≤

x

1≤x 或

x

≤

2

x≤2。自从

f

f 等于

r

上

[

1

,

2

]

[1,2]，第一种情况

r

≤

0

r≤0 且在第二种情况下

0

≤

r

0≤r，与陈述的不可判定性相矛盾

（

r

≤

0

∨

0

≤

r

）

(r≤0∨0≤r)。

这些例子似乎表明，在从经典数学向直觉数学的转变中，人们失去了一些分析的基本定理。然而事实并非如此，因为在许多情况下，直觉主义以类比的形式重新获得这样的定理，其中存在性陈述被关于任意精度内近似值的存在性的陈述所取代，就像中间值定理的经典等价形式一样，建设性有效：

定理。对于每个连续实值函数

f

f 在区间上

[

一个

,

乙

]

[a,b] 与

一个

<

乙

a

c

c 之间

f

（

一个

）

f(a) 和

f

（

乙

）

f(b)，则以下成立：

∀

n

∃

x

ε

[

一个

,

乙

]

|

f

（

x

）

-

c

|

<

2

-

n

。

∀n∃x∈[a,b]|f(x)−c|＜2−n。

弱反例是表明某些数学陈述在直觉上不成立的一种手段，但它们尚未揭示直觉连续体的丰富性。直到布劳威尔引入选择序列之后，直觉主义才获得了其独特的风味，并变得与经典数学无法相比。

选择顺序

布劳威尔引入选择序列来捕捉连续统的直觉。由于对于直觉主义者来说，所有的无限都是潜在的，无限的物体只能通过逐步生成它们的过程来掌握。因此，什么被允许作为合法的构造决定了哪些无限对象将被接受。例如，在大多数其他形式的建构主义中，只允许生成此类对象的可计算规则，而在柏拉图主义中，无穷大被认为是完整的总体，即使在不知道生成规则的情况下，其存在也被接受。

布劳威尔的第二个直觉主义行为产生了选择序列，它为某些无限集提供了从经典观点来看不可接受的属性。选择序列是由自由意志创建的无限数字（或有限对象）序列。该序列可以由法则或算法确定，例如仅由零组成的序列，或由递增顺序的素数组成的序列，在这种情况下我们称之为类法则序列，或者它不能服从任何法则，在这种情况就称为无法无天。例如，可以通过重复投掷硬币来创建无法无天的序列，或者通过要求创建主体逐一选择序列的连续数字，允许其选择自己喜欢的任何数字。因此，无法无天的序列永远是未完成的，并且在任何时间阶段关于它的唯一可用信息是迄今为止创建的序列的初始片段。显然，从无法无天的本质来看，我们永远无法决定其价值观是否会与法治的序列相一致。此外，自由意志能够创建一开始像法律一样的序列，但在某个点上法律可能会被解除，自由选择的过程会接管以生成后续的数字，反之亦然。

根据布劳威尔的说法，每个实数都由一个选择序列表示，而选择序列使他能够通过有争议的连续性公理来捕获直觉连续统。布劳威尔在他的就职演说中首次谈到选择序列（Brouwer 1912），但当时他还没有将它们视为他的数学的基本组成部分。逐渐地，它们变得更加重要，从 1918 年起，Brouwer 开始以下一节中解释的方式使用它们。

3.5 连续性公理

选择顺序概念的接受具有深远的影响。对于直觉主义者来说，它证明了连续性公理的使用是合理的，从中可以导出经典无效的陈述。这些公理中最弱的是弱连续性公理：

（

瓦

C

-

氮

）

∀

α

∃

n

一个

（

α

,

n

）

→

∀

α

∃

米

∃

n

∀

β

ε

α

（



米

）

一个

（

β

,

n

）

。

(WC-N)∀α∃nA(α,n)→∀α∃m∃n∀β∈α(m¯)A(β,n)。

这里

n

n 和

米

m 自然数的范围，

α

α 和

β

选择序列上的 β，以及

β

ε

α

（



米

）

β ∈ α (m ́ ) 意味着第一个

米

m 个元素

α

α 和

β

β 相等。尽管到目前为止，还没有对任意选择序列的大多数连续性公理给出完全令人满意的证明，甚至布劳威尔也没有给出，当限制于无法无天的序列类时，支持弱连续性公理有效性的论证如下。什么时候可以有这样的声明

∀

α

∃

n

一个

（

α

,

n

）

∀α∃nA(α,n) 由直觉主义者成立吗？根据无法无天序列概念的本质，数字的选择

n

n 对于其中

一个

（

α

,

n

）

A(α,n) 必须在仅有限初始段之后成立

α

α 是已知的。因为我们不知道如何

α

α 将及时进行，因此我们必须根据

n

n 在第一个段上

α

α 在我们希望修复的时间点已知

n

名词这意味着对于每个不法序列

β

β 具有相同的初始段

α

α,

一个

（

β

,

n

）

A(β,n) 也成立。

弱连续性公理已被证明是一致的，并且经常以可以证明的形式应用，即在谓词

一个

A 仅指以下值

α

α，而不是它可能拥有的更高阶属性。这里省略论证的细节，但它包含与不法序列原理的论证相同的成分，可以在 van Atten 和 van Dalen 2002 中找到。

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