数学哲学中的直觉主义（三）

弱连续性公理已被证明是一致的，并且经常以可以证明的形式应用，即在谓词

一个

A 仅指以下值

α

α，而不是它可能拥有的更高阶属性。这里省略论证的细节，但它包含与不法序列原理的论证相同的成分，可以在 van Atten 和 van Dalen 2002 中找到。

弱连续性并没有耗尽直觉主义者关于连续统的直觉，因为给定弱连续性公理，似乎可以合理地假设数字的选择

米

我这样

∀

β

ε

α

（



米

）

一个

（

β

,

n

）

∀β∈α(m¯)A(β,n)，可以明确表示。因此

∀

α

∃

n

一个

（

α

,

n

）

∀α∃nA(α,n) 意味着存在连续泛函

Φ

Φ 对于每个

α

α 产生

米

m 固定长度

α

α 在此基础上

n

选择n。更正式地，让

C

F

CF 是一类连续泛函

Φ

Φ 将自然数分配给无限序列，即满足

∀

α

∃

米

∀

β

ε

α

（



米

）

Φ

（

α

）

=

Φ

（

β

）

。

∀α∃m∀β∈α(m¯)Φ(α)=Φ(β)。

连续性的完整公理是弱连续性公理的扩展，然后可以表示为：：

（

C

-

氮

）

∀

α

∃

n

一个

（

α

,

n

）

→

∃

Φ

ε

C

F

∀

α

一个

（

α

,

Φ

（

α

）

）

。

（c-n）∀αna（α，n）→∃φ∈Cf∀αa（α，φ（α））。

通过连续性公理，某些弱反例可以转化为经典原则的真正反驳。例如，这意味着被排除的中间原理的量化版本是错误的：

Ø

∀

α

（

∀

n

α

（

n

）

=

0

∨

Ø

∀

n

α

（

n

）

=

0

）

。

−∀α（∀Nα（n）= 0∨−∀nα（n）= 0）。

这里

α

（

n

）

α（n）表示

n

第n个元素

α

α。认为这种否定是在矛盾的争论中认为的

Ø

∀

α

（

∀

n

α

（

n

）

=

0

∨

Ø

∀

n

α

（

n

）

=

0

）

€∀α（∀Nα（n）= 0∨−∀nα（n）= 0）。这意味着

∀

α

∃

k

（

（

∀

n

α

（

n

）

=

0

∧

k

=

0

）

∨

（

Ø

∀

n

α

（

n

）

=

0

∧

k

=

1

）

）

。

∀α∃K（（∀Nα（n）=0∧K= 0）∨（¬∀nα（n）=0∧K= 1））。

通过弱连续性公理

α

仅由零组成的α存在一个数字

米

M可以解决

k

K，这意味着所有人

β

ε

α

（



米

）

β∈α（m），

k

=

0

k=0。但是序列的存在

米

m元素为0，其中包含一个1显示，这是不可能的。

这个示例表明，被排除的中间原理不仅不存在，而且实际上是在直觉主义中是错误的，从而导致了连续体的许多基本属性的反驳。例如，考虑实际号码

r

α

Rα是由数字组成的序列的极限

r

n

RN如弱反例所述，其中

一个

（

米

）

定义中的a（m）被视为陈述

α

（

米

）

=

0

α（m）= 0。那么上面的反驳意味着

Ø

∀

α

（

r

α

=

0

∨

r

α

≠

0

）

−∀α（rα=0∨rα≠0），从而驳斥了三分法定律：

∀

x

（

x

<

y

∨

x

=

y

∨

y

<

x

）

。

∀x（x

以下定理是连续性公理驳斥某些经典原理的方式的另一个例子。

定理

（

C

-

氮

）

（C-N）每个总真实功能都是连续的。

确实，这个定理的经典反例，无处可连续函数

f

（

x

）

=

{

0

如果

x

是一个理性的数字

1

如果

x

是一个不合理的数字

f（x）= {0如果x是一个有效的数字1，如果x是不合理的数字

从直觉的角度来看，这不是合法的函数，因为在实际数字上不能确定理性的属性。上面的定理意味着连续体不可分解，在Van Dalen 1997中，这表明这甚至适用于一组非理性数字。

上面的两个示例是在直觉数学中应用连续性公理的特征。它们是直觉主义中唯一与古典推理相矛盾的公理，因此代表了布鲁维尔哲学中最丰富多彩和最有争议的部分。

邻里功能

连续功能有一个方便的表示，但在文献中已广泛使用，尽管不是布鲁沃本人。连续的功能将数字分配给无限序列的函数可以用邻里函数表示，其中邻里功能

f

F是满足以下两个属性的自然数的功能（

⋅

Å表示串联和

f

（

α

（

€

n

）

）

f（α（n））表示

f

f有限序列的代码

α

（

€

n

）

α（n））。

α

∃

n

f

（

α

（

€

n

）

）

>

0

∀

n

∀

米

（

f

（

n

）

>

0

→

f

（

n

⋅

米

）

=

f

（

n

）

）

。

α∃NF（α（n））> 0∀n∀m（f（n）> 0→f（n·m）= f（n））。

直观，如果

f

f代表

Φ

然后

f

（

α

（

€

n

）

）

=

0

f（α（n））= 0表示

α

（

€

n

）

α（n）不足以计算

Φ

（

α

）

φ（α）和

f

（

α

（

€

n

）

）

=

米

+

1

f（α（n））= m+1表示

α

（

€

n

）

α（n）足够长以计算

Φ

（

α

）

φ（α）和

Φ

（

α

）

φ（α）为

米

米。如果

K

k表示邻里功能类别，然后是连续性公理

C

-

氮

C-N可以改写为

∀

α

∃

n

一个

（

α

,

n

）

→

∃

f

ε

K

∀

米

（

f

（

米

）

>

0

→

∀

β

ε

米

一个

（

β

,

f

（

米

-

1

）

）

）

,

∀αna（α，n）→∃F∈K∀M（f（m）> 0→∀β∈MA（β，f（m -1）），），），

在哪里

β

ε

米

β∈M是指初始段的代码

β

β是

米

米。

3.6栏定理

Brouwer引入了选择序列和捕获直觉连续性的连续性公理，但是仅这些原理就不足以恢复Brouwer认为直觉上声音的传统分析的部分，例如，在封闭间隔上每个连续的真实功能都是均匀连续的定理的。因此，布鲁维尔证明了所谓的酒吧定理。这是一个经典的陈述，但是Brouwer给出的证明完全没有证据，因为它使用了对没有提供严格参数的证明形式的假设。这就是栏定理也称为条形原理的原因。

BAR定理的最著名后果是Fan定理，足以证明上述定理在统一的连续性方面，并将首先对其进行处理。风扇和栏定理都允许直觉主义者沿着某些有良好的对象集合使用诱导，称为扩散。传播是一套直觉的类似物，并捕捉了一如既往地生长且从未完成的无限物体的想法。扩散本质上是一棵具有自然数或其他有限物体的分支树，仅包含无限路径。

风扇是有限的分支传播，风扇原理表达了一种紧凑的形式，在经典上等同于科尼格的引理，从直觉的角度来看，经典的证据是不可接受的。原则指出，每个粉丝

时间

t每个分支在某个时候满足财产

一个

a，在满足该特性的深度上有一个统一的结合。这样的属性称为酒吧

时间

T。

（

F

一个

氮

）

∀

α

ε

时间

∃

n

一个

（

α

（

€

n

）

）

→

∃

米

∀

α

ε

时间

∃

n

≤

米

一个

（

α

（

€

n

）

）

。

（FAN）∀α∈T∃nA（α（né））→∃M∀α∈T∃n≤ma（α（n））。

这里

α

ε

时间

α∈T表示

α

α是

时间

T.主要的粉丝足以证明上述定理：

定理（风扇）在闭合间隔上每个连续的实际函数都是均匀连续的。

布鲁维尔（Brouwer）对粉丝定理的理由是他普遍传播的律法原则：

（

乙

我

）

[

∀

α

∀

n

（

一个

（

α

（

€

n

）

）

∨

Ø

一个

（

α

（

€

n

）

）

）

∧

∀

α

∃

n

一个

（

α

（

€

n

）

）

∧

∀

α

∀

n

（

一个

（

α

（

€

n

）

）

→

乙

（

α

（

€

n

）

）

）

∧

∀

α

∀

n

（

∀

米

乙

（

α

（

€

n

）

⋅

米

）

→

乙

（

α

（

€

n

）

）

）

]

→

乙

（

ε

）

。

（bi）[∀α∀n（a（α（n））∨ -a（α（né）））∧∀αna（α（n¯））∧∀α∀n（a（α（α（α（α（α））） n n））→B（α（né）））∧∀α∀n（∀Mb（α（nα）走节）→B（α（n¯）））]→B（ε）。

这里

ε

ε代表空序列，

⋅

申办的串联，BI用于栏诱导，下标D是指谓词的可决定性

一个

答：条形原则为树木的归纳原理提供了直觉。它表达了有充分的原理，用于相对于可决定的特性。可以从Brouwer的工作中提取这种可决定性要求的原则的扩展，但此处将被省略。连续性和条形原理有时以一个称为条连续性公理的公理捕获。

条形原理与有关连续性公理的部分中提到的邻域功能之间存在密切的联系。让

我

K

IK是电感定义的邻域功能类别，由所有常数非零序列组成

λ

米

。

n

+

1

λm.n+1，因此

f

（

0

）

=

0

f（0）= 0和

λ

米

。

f

（

x

⋅

米

）

ε

我

K

所有人的λm.f（x·m）∈IK

x

x，然后

f

ε

我

K

f∈IK。声明

K

=

我

K

k = ik，也就是说，邻居函数可以归纳生成，等效于投标。

布鲁维尔（Brouwer）的Bar定理证明是显而易见的，因为它使用了假设证明的井井有条的属性。这是基于这样的假设：任何证据表明，序列上的属性A是条形的，都可以将其分解为井井有条的规范证明。尽管它在经典上是有效的，但布鲁维尔的原则证明表明，将其作为直觉主义的有效原则的原因与支持其在古典数学中的可接受性的论点根本不同。

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