数学哲学中的直觉主义（四）

3.7选择公理

从建设性的角度来看，至少在某些其他集合理论的中央公理（例如扩展）的情况下，以其完整形式的选择公理是不可接受的（Diaconescu 1975）。让

一个

是一个不知道的陈述。那么以下两组的成员资格是不可决定的。

X

=

{

x

ε

{

0

,

1

}

∣

x

=

0

∨

（

x

=

1

∧

一个

）

}

是

=

{

y

ε

{

0

,

1

}

∣

y

=

1

∨

（

y

=

0

∧

一个

）

}

x = {x∈{0,1} x =0∨（x =1∧a）} y = {y∈{0,1} ^ y =1∨（y =0∧A）}

选择功能的存在

f

：

{

X

,

是

}

→

{

0

,

1

}

f：{x，y}→{0,1}从中选择一个元素

X

x和

是

Y会暗示

（

一个

∨

Ø

一个

）

（a∨前）。如果

f

（

X

）

≠

f

（

是

）

f（x）≠f（y），它遵循

X

≠

是

x≠y，因此

Ø

一个

¬A，而

f

（

X

）

=

f

（

是

）

f（x）= f（y）意味着

一个

答：因此，选择功能

{

X

,

是

}

{x，y}不存在。

但是，对于直觉主义者来说，对公理的某些限制是可以接受的，例如可计数选择的公理，也被半智力主义者接受了合法原则，将在下面讨论：

（

一个

C

-

氮

）

∀

右

⊆

氮

×

氮

（

∀

米

∃

n

米

右

n

→

∃

α

ε

氮

氮

∀

米

米

右

α

（

米

）

）

。

（ac-n）∀r⊆n×n（∀m∃nmrn→∃α∈Nn∀mmrα（m））。

该方案可能是合理的，如下所示。前提的证明应提供给定的方法

米

M提供一个数字

n

n这样

米

右

n

mrn。因此功能

α

自然数的α

氮

n可以逐步构造：首先是一个元素

米

0

选择M0

0

右

米

0

0RM0，这将是

α

（

0

）

α（0）。然后是一个元素

米

1

选择M1

1

右

米

1

1RM1，这将是

α

（

1

）

α（1），依此类推。

其他几个选择公理可以以类似的方式证明是合理的。这里只有一个将提及一个依赖选择的公理：

（

D

C

-

氮

）

∀

右

⊆

氮

×

氮

（

∀

米

∃

n

米

右

n

→

∀

k

∃

α

ε

氮

氮

（

α

（

0

）

=

k

∧

∀

我

≥

0

α

（

我

）

右

α

（

我

+

1

）

）

）

。

（dc-n）∀R⊆n×n（∀M∃NMRN→∀K∃α∈NN（α（0）=k∧∀i≥0α（i）rα（i+1）））。

同样在经典数学中，选择公理会经过谨慎处理，并且经常明确提到证明需要多少选择。由于依赖选择的公理与经典集合理论（确定性的公理）中的重要公理一致，而选择的完整公理并非如此，因此特别关注此公理，一般而言，人们试图减少选择量如果有选择，则证明了依赖选择。

3.8描述性集理论，拓扑和拓扑理论

在对某些古典推理形式的怀疑上，布鲁维尔并不孤单。这在描述性集理论中尤其可见，该理论是对坎托里亚集合理论中出现的高度非构造概念的反应。该领域的开国元勋，包括埃米尔·鲍雷尔（émileBorel）和亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）作为两个主要人物，被称为半智慧主义者，他们对连续体的建设性待遇导致了Borel层次结构的定义。从他们的角度来看，像所有实数集的概念都毫无意义，因此必须由具有清晰描述的子集的层次结构替换。

在Veldman 1999中，制定了与Borel集合概念的直觉等效，并且表明，Borel集的经典等效的定义会引起各种直觉上不同的类别，这种情况通常在直觉主义中发生。对于直觉的borel设置了Borel层次结构定理的类似物在直觉上有效。这一事实的证据表明了上述讨论的连续性公理的必要利用，从而表明了古典数学如何指导搜索直觉的类似物，但是，必须以完全不同的方式证明这些数学，有时会使用从古典中使用的原理来证明，从看法。

通过形式或抽象拓扑的开发，已经出现了对连续体或一般拓扑空间研究的另一种方法（Fourman 1982，Martin-Löf1970，Sambin 1987）。在这种建设性的拓扑结构中，开放式和点的作用颠倒了；在古典拓扑中，一个开放式集合定义为一定的点，在建设性案例中，开放集是基本概念，并且根据它们定义了点。因此，这种方法有时称为无点拓扑。

直觉的功能分析已被Brouwer之后的许多人开发，但是由于大多数方法不是严格的直觉主义，而是在更广泛的意义上也是建设性的，因此在这里不会再解决这项研究。

4。建构主义

直觉主义与大多数其他形式的建构主义分享了核心。建构主义通常关注建设性的数学对象和推理。从建设性的证据中，至少从原则上可以提取计算元素并模拟在证明中建立存在的构造的算法。大多数形式的建构主义都与经典数学兼容，因为它们通常是基于对量化器和连接剂和允许的结构的更严格的解释，而没有做出其他假设。几乎所有建设性社区接受的逻辑都是相同的，即直觉逻辑。

经典数学中的许多存在定理具有建设性的模拟，其中存在陈述被有关近似值的陈述所代替。我们在上面的弱反例上的部分中看到了一个示例，即中间值定理。数学的大部分可以以类似的方式进行建设性的恢复。不进一步对待他们的原因是，本条目的重点放在直觉主义的那些方面，这些方面使它与其他数学的建设性分支区分开来。为了对建构主义进行彻底处理，读者被称为本百科全书中的相应条目。

5。元数学

尽管布鲁维尔以一种精确而基本的方式发展了他的数学，但正如我们所知的那样，正式化仅在后来才由其他人进行。的确，根据布鲁沃（Brouwer）的观点，即数学在内部展现出来，正式化虽然不可接受，但这是不必要的。他之后的其他人则是其他的，直觉数学的形式化及其对元数学特性的研究，尤其是算术和分析，都吸引了许多研究人员。上面已经对所有形式化的直觉逻辑的形式化已得到处理。

5.1算术

Arend Heyting所制定的Heyting Arithmetic Ha是对自然数字的直觉理论的形式化（Heyting 1956）。它具有与Peano算术PA相同的非逻辑公理，但基于直觉逻辑。因此，它是对经典算术的限制，它是几乎所有建设性数学领域的自然数学理论。 Heyting Arithmetic具有许多反映其建设性特征的属性，例如也具有直觉逻辑的分离属性。 PA无法共享的HA的另一个属性是数值生存属性：（（

€

n

n是对应于自然数的数字

n

n)

（

氮

乙

磷

）

H

一个

⊢

∃

x

一个

（

x

）

⇒

∃

n

ε

氮

H

一个

⊢

一个

（

€

n

）

。

（nep）ha⊢∃xa（x）⇒∃n∈Nha⊢a（n）。

该物业不在PA中持有的事实，即PA证明

∃

x

（

一个

（

x

）

∨

∀

y

Ø

一个

（

y

）

）

∃X（a（x）∨∀y -a（y））。例如，考虑这样的情况

一个

（

x

）

A（x）是公式

时间

（

e

,

e

,

x

）

t（e，e，x），其中

时间

t是可决定的kleene谓词，表明

x

X是使用代码终止程序计算的代码

e

E输入

e

e.如果每个

e

e将存在一个数字

n

n这样

磷

一个

⊢

时间

（

e

,

e

,

n

）

∨

∀

y

Ø

时间

（

e

,

e

,

y

）

pa⊢t（e，e，n）∨∀y -t（e，e，y），然后检查是否是否检查

时间

（

e

,

e

,

n

）

t（e，e，n）认为，是否会决定是否一个程序

e

E终止输入

e

e.但是，这通常是不可决定的。

马尔可夫的规则是一个经典和直觉上既有的原则，但仅出于哈哈，这一事实的证明是不平凡的：

（

中号

右

）

H

一个

⊢

∀

x

（

一个

（

x

）

∨

Ø

一个

（

x

）

）

∧

Ø

Ø

∃

x

一个

（

x

）

⇒

H

一个

⊢

∃

x

一个

（

x

）

。

（mr）ha⊢∀x（a（x）∨ -a（x））∧ -∃xa（x）⇒ha⊢∃xa（x）。

既然HA证明了每个原始递归谓词的中间法律的法律，那么因此

一个

a的衍生性

Ø

Ø

∃

x

一个

（

x

）

HA中

∃

x

一个

（

x

）

∃xa（x）。由此遵循PA是

Π

0

2

HA上的π20保守。也就是说，对于原始递归

一个

一个：

磷

一个

⊢

∀

x

∃

y

一个

（

x

,

y

）

⇒

H

一个

⊢

∀

x

∃

y

一个

（

x

,

y

）

。

pa⊢∀x∃ya（x，y）⇒ha⊢∀x∃ya（x，y）。

因此，HA的可证明的递归功能类别与PA的可证明的递归功能类别相吻合，PA的属性属性，基于建构主义和直觉主义的思想，这种属性可能并不令人惊讶。

5.2 分析

直觉数学的形式化不仅仅是算术。从建设性的角度来看，大部分分析已被公理化（Kleene 1965，Troelstra 1973）。这些系统的建设性可以使用功能，类型的理论或可靠性解释来建立，其中大多数基于Gödel的辩证法解释的或扩展（Gödel1958，Kreisel 1959），Kleene Crolizizability（Kleene 1965），或类型的理论（Martin---- Martin--- Löf1984）。在这些解释中

y

y到每个

x

x 中

∀

x

∃

y

一个

（

x

,

y

）

∀X∃ya（x，y）以各种方式显式。

在（斯科特（Scott）1968年和1970年）中，介绍了二阶直觉分析理论的拓扑模型，其中将实物解释为从贝尔（Baire）空间到经典实物的连续函数。在此型号中，Kripke的模式以及某些连续性公理所具有。在（Moschovakis 1973）中，该方法适应了以选择序列构建直觉分析理论的模型。同样在此模型中，Kripke的架构和某些连续性公理。在（van dalen 1978）中，贝丝模型用于提供算术和选择序列的模型，这些模型满足选择模式，弱连续性实例和Kripke的模式。在此模型中，每个节点的域都是自然数，因此不必像Kripke模型一样使用非标准模型。此外，可以在其中解释创建主题的公理CS1-3，从而表明该理论是一致的。

5.3无法无天的序列

存在无法法律序列的公理，它们都包含连续性公理的扩展（Kreisel 1968，Troelstra 1977）。特别是以开放数据的公理形式说明

一个

（

α

）

A（α）除了包含其他非捕捞参数之外

α

α:

一个

（

α

）

→

∃

n

∀

β

ε

α

（

€

n

）

一个

（

β

）

。

a（α）→∃n∀β∈α（n）a（β）。

在（Troelstra 1977）中，在直觉分析的背景下，开发了（和正当）的一项无法序列理论。除了用于基本分析的公理外，它还包含了无法序列，增强了开放数据的公理的形式，连续性，可决定性和密度（密度说每个有限序列是无法序列的初始段）。特别有趣的是，在这些理论中，可以消除量化序列的量化序列，这也可以看作是为这些理论提供类似法律序列的模型。其他法律序列理论的其他经典模型是以类别理论的形式构建的（van der Hoeven and Moerdijk 1984）。在（Moschovakis 1986）中，引入了相对于某些类似法律元素的选择序列的理论，以及一个经典模型，在该模型中，无法法律序列完全是通用的序列。

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