数学哲学中的唯名论（一）

1.关于数学的两种观点：唯名论和柏拉图主义

2.五个问题

2.1 数学的认识论问题

2.2 数学应用问题

2.3 统一语义问题

2.4 从字面上理解数学话语的问题

2.5 本体论问题

3. 数学虚构主义

3.1 数学虚构主义的核心特征

3.2 元逻辑和保守性的表述

3.3 评估：数学虚构主义的好处和问题

4.模态结构主义

4.1 模态结构主义的核心特征

4.2 评估：模态结构主义的好处和问题

5. 紧缩唯名论

5.1 通货紧缩唯名论的核心特征

5.2 评估：通货紧缩唯名论的好处和问题

参考书目

学术工具

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相关条目

1.关于数学的两种观点：唯名论和柏拉图主义

在关于数学的本体论讨论中，有两种观点很突出。根据柏拉图主义，数学对象（以及数学关系和结构）是存在的并且是抽象的；也就是说，它们不在空间和时间上，与我们没有因果关系。尽管抽象对象的这种表征纯粹是负面的（表明这些对象不是什么），但在数学背景下，它捕获了问题中的对象应该具有的关键特征。根据唯名论，数学对象（包括数学关系和结构）并不存在，或者至少不需要为了我们理解数学而认为它们存在。因此，在不承诺数学对象存在的情况下展示如何解释数学是唯名论者的负担。事实上，这是唯名论的一个关键特征：那些捍卫这一观点的人需要证明，有可能产生至少与柏拉图主义者所获得的解释工作一样多的解释工作，但援引的本体论却微不足道。为了实现这一目标，数学哲学中的唯名论者与形而上学（数学对象是否确实存在）、认识论（我们对这些实体有什么样的知识）和科学哲学（如何理解数学的成功应用）建立了相互联系。在科学中而不致力于数学实体的存在）。这些相互联系是各种唯名论观点的来源之一。

尽管唯名论和柏拉图主义之间存在重大差异，但它们至少有一个共同特征：两者都有多种形式。数学哲学中有多种柏拉图主义版本：标准（或基于对象）柏拉图主义（Gödel 1944, 1947；Quine 1960）、结构主义（Resnik 1997；Shapiro 1997）和纯柏拉图主义（Balaguer 1998），其中其他观点。同样，唯名论也有多种版本：虚构主义（Field 1980、1989）、模态结构主义（Hellman 1989、1996）、建构主义（Chihara 1990）、黄鼠狼观点（Melia 1995、2000）、形象主义（Yablo 2001） 、通货紧缩唯名论（Azzouni 2004）、不可知论唯名论（Bueno 2008、2009）和假装观点（Leng 2010）等。与柏拉图主义的对应者类似，各种唯名论的建议都有不同的动机，并面临着各自的困难。这些将依次探讨。 （对数学中各种名词化策略的批判性调查可以在 Burgess 和 Rosen (1997) 中找到。作者详细讨论了数学哲学中唯名论提出的技术和哲学问题。）

关于 20 世纪数学哲学中的唯名论的讨论大致始于 W.V.奎因和纳尔逊·古德曼向建设性唯名论发展的工作（Goodman and Quine 1947）。但是，正如奎因后来指出的那样，最终对类别进行量化是必不可少的（Quine 1960）。正如下面将要清楚的那样，对这一不可或缺性论点的回应已经为唯名论者带来了大量的工作。正是对不可或缺性论证的关注，在很大程度上将数学哲学中最近的唯名论观点与波兰逻辑学派在 20 世纪初期发展起来的唯名论区分开来，我将重点讨论这一点（Simons 2010） 。

数学唯名论是关于抽象对象的反实在论的一种形式。这是一个独立于关于共相的传统唯名论问题的问题。根据广泛使用，通用性是可以由不同实体实例化的东西。由于抽象对象既不是空间的也不是时间的，因此它们不能被实例化。因此，数学唯名论和关于共相的唯名论是彼此独立的（参见形而上学唯名论条目）。可以说某些集合封装了实例化模型，因为一组具体对象可以由这些对象实例化。但是，由于同一集合不能如此实例化，考虑到集合是由它们的成员个体化的，并且只要它们的成员不同，结果集就不相同，所以甚至不清楚这些集合是否被实例化。我将在这里重点讨论数学唯名论。

2.五个问题

在当代数学哲学中，唯名论是为了应对柏拉图主义所面临的困难而制定的。但在发展对柏拉图主义的回应时，唯名论者也遇到了自己的困难。在此背景下，需要解决五个问题：

数学的认识论问题，

数学应用问题，

统一语义的问题，

从字面上理解数学论述的问题，以及

本体论问题。

通常，问题（1）和（5）被认为给柏拉图主义带来了困难，而问题（2）、（3）和（4）通常被认为给唯名论带来了困难。 （我将在下面讨论这样的评估在多大程度上是准确的。）将依次检查每个问题。

2.1 数学的认识论问题

鉴于柏拉图主义假设数学对象的存在，那么我们如何获得有关它们的知识就出现了问题。数学的认识论问题是解释数学知识的可能性的问题，因为数学对象本身似乎在产生我们的数学信念方面没有发挥任何作用（Field 1989）。

这被认为是柏拉图主义的一个特殊问题，因为这种观点假定数学对象的存在，并且人们期望这些对象在数学知识的获取中发挥作用。毕竟，根据柏拉图主义的观点，这种知识是关于相应的数学对象的。然而，尽管柏拉图主义者进行了各种复杂的尝试，但对于如何准确地阐明这一过程仍然存在相当大的争议。应该通过数学直觉、通过引入适当的数学原理和定义来理解它，还是需要某种形式的抽象？

反过来，认识论问题对于唯名论者来说问题要小得多，因为他们一开始就不相信数学对象的存在。他们必须解释其他事情，例如，唯名论者如何解释了解大量数学的数学家和不懂大量数学的非数学家之间的差异？一些唯名论者认为，这种差异是基于经验和逻辑知识，而不是数学知识（Field 1989）。

2.2 数学应用问题

数学经常成功地应用于科学理论。如此成功该如何解释呢？据称柏拉图主义者对这个问题有答案。鉴于数学对象存在并且被我们的科学理论成功引用，此类理论的成功也就不足为奇了。对数学对象的引用只是对我们最好的世界理论不可或缺的那些实体的引用的一部分。这根据不可或缺性论证来阐述数学应用的问题。

事实上，相信数学对象存在的主要原因之一——有人声称这是唯一不回避问题的理由（Field 1980）——是数学在科学中不可或缺的应用。最初由 W. V. 奎因提出，后来由希拉里·普特南以不同的方式阐述的关键思想是，本体论承诺应该仅限于那些对我们最好的世界理论不可或缺的实体（奎因 1960；普特南） 1971；科利万 2001a）。马克·科利文 (Mark Colyvan) 用以下术语阐述了这一论点：

(P1) 我们应该在本体论上致力于所有且仅致力于那些对我们的世界最佳理论不可或缺的实体。

(P2) 数学实体对于我们世界上最好的理论来说是不可或缺的。

因此，（C）我们应该在本体论上致力于数学实体。

第一个前提主要依赖于蒯因的本体论承诺标准。在用一阶语言整理我们关于世界的最佳理论之后，这些理论的本体论承诺可以被解读为存在量化变量的值。但我们如何从理论的本体论承诺转向我们应该本体论承诺的东西？这就是不可或缺性论证的第一个前提出现的地方。如果我们正在研究世界上最好的理论，那么正是这些理论不可或缺的那些项目就是我们应该致力于的。 （当然，一个理论可以量化比那些不可缺少的对象更多的对象。）通过识别在解释各种现象时所引用的不可缺少的组成部分，并注意到数学实体就在其中，柏拉图主义者就能够做出应用数学的成功感。

然而，事实证明，柏拉图主义者是否确实能够解释数学应用的成功，实际上是有争议的。鉴于数学对象是抽象的，目前还不清楚为什么这些实体的假设有助于理解应用数学的成功。因为物理世界——由位于时空中的物体组成——并不是由柏拉图主义者假设的实体构成的。因此，尚不清楚为什么对抽象（数学）实体之间关系的正确描述与理解数学应用所涉及的物理世界中具体对象的行为有关。仅仅提及物理世界实例化了各种数学理论一般描述的结构（或子结构）是不够的（例如，参见 Shapiro 1997）。因为数学结构有无限多，并且无法唯一地确定其中哪些在物理世界的有限区域中实际实例化，甚至只是部分实例化。鉴于世界上相同的物理结构可以通过非常不同的数学结构来适应，这里确实存在不确定性。例如，量子力学现象可以用群论结构（Weyl 1928）或希尔伯特空间理论中出现的结构（von Neumann 1932）来表征。从数学上讲，这些结构非常不同，但无法凭经验在它们之间做出决定。

尽管柏拉图主义者声称能够解释应用数学的成功存在争议，但适应这种成功通常被视为柏拉图主义的显着好处。争议较少的是，柏拉图主义者当然能够描述数学理论在科学实践中实际使用的方式，而无需重写它们。正如下面将变得清楚的那样，这是该视图的一个显着优点。

反过来，唯名论面临着必须解释数学在科学理论中的成功运用的困难。根据唯名论者的观点，由于数学对象不存在——或者至少不被认为存在——因此，引用这些实体如何有助于科学理论的经验成功就变得不清楚了。特别是，如果事实证明对数学实体的引用确实对于我们最好的世界理论来说是不可或缺的，那么唯名论者怎么能否认这些实体的存在呢？正如我们将在下面看到的，数学哲学中的几种唯名论观点已经出现，以应对基于数学的必要性的考虑所提出的挑战。

2.3 统一语义问题

柏拉图主义最重要的特征之一是它允许我们对数学和科学话语采用相同的语义。鉴于数学对象的存在，数学陈述是真实的，就像科学陈述是真实的一样。唯一的区别在于它们各自的真​​理制造者：数学陈述凭借抽象（数学）对象及其之间的关系而为真，而科学陈述凭借具体对象以及这些对象之间的对应关系而最终为真。这一点是理想化的，因为它假设，以某种方式，我们可以设法提炼科学陈述的经验内容，而与通常用于表达此类陈述的数学所做的贡献无关。捍卫不可或缺性论证的柏拉图主义者坚持认为这是不可能做到的（Quine 1960；Colyvan 2001a）；甚至一些唯名论者也表示同意（Azzouni 2011）。

此外，正如数学应用中典型的那样，还存在混合陈述，其中既涉及指代具体对象的术语，也涉及指代抽象对象的术语。柏拉图主义者也可以毫不费力地为这些陈述提供统一的语义——特别是当数学柏拉图主义与科学的现实主义联系在一起时。在这种情况下，柏拉图主义者可以自始至终提供指称语义。当然，关于数学的柏拉图主义者不一定是关于科学的现实主义者——尽管以这种方式结合柏拉图主义和现实主义是很常见的。原则上，柏拉图主义者可以采用某种形式的关于科学的反实在论，例如建设性经验主义（van Fraassen 1980；Bueno 2009）。只要有关科学的反实在论形式允许指称语义（许多人都这样做），柏拉图主义者就可以毫无困难地为数学和科学提供统一的语义（Benacerraf 1973）。

目前尚不清楚唯名论者能否带来这些好处。正如很快就会清楚的那样，大多数版本的唯名论都需要对数学语言进行大量重写。因此，与为科学话语提供的语义相比，需要为该语言提供独特的语义。

2.4 从字面上理解数学话语的问题

柏拉图主义的一个相关好处是，考虑到数学术语所指的，它允许人们从字面上理解数学话语。特别是，数学语句的语法没有变化。因此，当数学家声称“素数有无穷多个”时，柏拉图主义者可以从字面上理解该说法，描述了无穷多个素数的存在。根据柏拉图主义的观点，数学陈述有明显的真理制定者：数学对象及其相应的属性和关系（Benacerraf 1973）。

我们在这里看到了柏拉图主义的一个主要好处。如果数学哲学的目标之一是提供对数学和数学实践的理解，那么柏拉图主义者能够从字面上理解这种实践的产物（例如数学理论）而不需要重写或重写，这是一个显着的优势。重新表述它们。毕竟，柏拉图主义者能够检验在数学实践中实际表述的数学理论，而不是讨论那些避免致力于数学对象的人（例如唯名论者）对数学的各种重构所提供的并行话语。 ）。

无法从字面上理解数学话语确实是唯名论者的一个问题，他们通常需要重写相关的数学理论。正如下面将变得清楚的那样，数学的名词化策略通常会改变数学陈述的语法或语义。例如，在模态结构主义的情况下，引入模态运算符是为了保持与柏拉图主义者的口头协议（Hellman 1989）。建议将每个数学陈述 S 翻译成两个模态陈述：（i）如果存在合适类型的结构，则 S 在这些结构中为真，以及（ii）可能存在这样的结构。结果，数学的语法和语义都发生了变化。就数学虚构主义而言，尽管否认数学对象的存在，但为了保持与柏拉图主义者的口头一致，引入了虚构运算符（例如“根据算术……”）（Field 1989）。由此产生的提案再次改变了数学话语的语法（以及语义）。对于这些视图来说，这是一个巨大的成本。

2.5 本体论问题

本体论问题在于指定数学哲学概念本体论所致力于的对象的本质。这些物体的性质能否正确确定？这些物体是否足以让我们缺乏充分的理由相信它们的存在？传统形式的柏拉图主义因未能为这个问题提供适当的解决方案而受到批评。作为回应，一些柏拉图主义者认为，对数学对象的承诺既不存在问题，也不神秘（参见 Hale 和 Wright 2001）。类似地，即使一些唯名论者不需要致力于数学对象，他们也可能致力于其他可能引起本体论关注的实体（例如可能性）。那么本体论问题就是评估视图最终承诺的状态的问题。

下面将讨论三种名义化策略：数学虚构主义（Field 1980、1989）、模态结构主义（Hellman 1989、1996）和紧缩唯名主义（Azzouni 2004）。前两者拒绝了不可或缺性论证的第二个前提。它们为唯名论提供了“艰难的道路”（Colyvan 2010），因为唯名论者需要开展复杂、艰巨的工作来展示如何避免对数学对象的量化，以便对数学做出合适的解释。第三种策略拒绝了论证的第一个前提，从而绕过了争论数学可有可无的必要性（事实上，对于紧缩唯名论者来说，数学最终是不可或缺的）。通过重新评估蒯因的本体论承诺标准，并表明对某些对象的量化不需要它们的存在，这一策略为唯名论开辟了一条“简单之路”。

尽管这项调查显然不是详尽无遗的，因为这里不会考虑所有可用的唯名论观点，但所讨论的三种观点具有代表性：它们在逻辑空间中占据不同的点，并且它们是为了解决刚才列出的各种问题而明确发展的。

3. 数学虚构主义

3.1 数学虚构主义的核心特征

在一系列著作中，哈特里·菲尔德为科学的名词化提供了巧妙的策略（Field 1980，1989）。与柏拉图主义观点相反，为了解释数学在科学中的用处，菲尔德并没有假设数学理论的真实性。在他看来，无需拘泥于数学对象就可以解释数学的成功应用。因此，他所认为的柏拉图主义的主要论点——依赖于数学对科学的（明显）不可或缺性——受到了抵制。菲尔德的解释的唯名论性质源于这样一个事实：数学对象不被假设存在。因此，数学理论是错误的。 （严格来说，菲尔德指出，任何存在主义数学陈述都是错误的，而任何普遍数学陈述都是空洞真实的。）通过设计一种策略来展示如何在科学理论的表述中省去数学对象，菲尔德拒绝了不可或缺的论点，并且为明确唯名论立场提供了强有力的基础。

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