数学哲学中的唯名论（二）

乍一看，“素数有无限多个”的说法是错误的，这听起来可能违反直觉。但如果数字不存在，那就是该语句的正确真值（假设标准语义）。为了回应这种担忧，Field 1989引入了一个虚构的算子，根据这个算子可以与柏拉图主义者达成口头协议。在当前的情况下，人们会说：“根据算术，素数有无限多个”，这显然是正确的。考虑到虚构运算符的使用，所得到的视图通常被称为数学虚构主义。

数学虚构主义者设计的名词化策略取决于两个相互关联的动作。第一个是改变数学的目标，数学的目标不再被视为真理，而是不同的东西。根据这种观点，指导名词化方案的正确数学规范是保守性。如果一个数学理论与关于物理世界的每一个内部一致的理论相一致，那么它就是保守的，这些理论不涉及任何对数学对象的引用，也不涉及数学对象的量化，例如集合、函数、数字等。（Field 1989，p） 58）。保守性比一致性更强（因为如果一个理论是保守的，那么它就是一致的，但反之则不然）。然而，保守性并不弱于真理（Field 1980，第 16-19 页；Field 1989，第 59 页）。因此，菲尔德并不支持数学的较弱目标，而只是支持一个不同的目标。

正是因为数学是保守的，所以尽管它是错误的，但它还是有用的。当然，这种有用性的解释并不依赖于数学实体：数学是有用的，因为它缩短了我们的推导过程。毕竟，如果数学理论 M 是保守的，那么关于物理世界的唯名论断言 A（即不涉及数学对象的断言）可以从此类断言的主体 N 中得出，而 M 仅当它仅从 N 中得出时。也就是说，只要我们有足够丰富的唯名论断言，数学的使用就不会产生任何新的唯名论后果。数学只是帮助我们推导的有用工具。

因此，只有当我们从唯名论前提开始时，才可以采用保守性来完成所需的工作（Field 1989，第 129 页）。正如菲尔德指出的那样，通过声称如果我们在数学主张（而不是唯名论的主张）中添加一些数学知识，我们可能会获得否则无法实现的新结果，来反驳他的观点是一种混乱（Field 1989） ，第 128 页）。对唯名论断言的限制至关重要。

数学虚构主义策略的第二步是提供这样的唯名论前提。菲尔德在一个重要的案例中做到了这一点：牛顿引力理论。他详细阐述了一项具有令人尊敬的传统的著作：希尔伯特几何公理化（Hilbert 1971）。希尔伯特提供的是几何的综合公式，它省去了度量概念，因此不包括任何对实数的量化。他的公理化基于点、介数和同余等概念。直观地说，如果 y 是端点为 x 和 z 的线段中的点，则称点 y 位于点 x 和 z 之间。同样直观地，如果从点x到点y的距离与从点z到w的距离相同，则我们说线段xy与线段zw全等。在研究了所得系统的形式属性后，希尔伯特证明了表示定理。他在更强大的数学理论中证明，给定他提出的空间公理系统模型，存在一个从点对到非负实数的函数 d ，满足以下“同态条件”：

对于所有点 x、y、z 和 w，xy 与 zw 全等当且仅当 d(x, y) = d(z,w)；

y 位于 x 和 z 之间，当且仅当 d(x, y) + d(y, z) = d(x, z)，对于所有点 x、y 和 z。

因此，如果用函数 d 来表示距离，我们就得到了关于同余和介数的预期结果。因此，虽然我们不能谈论希尔伯特几何中的数字（没有这样的实体可以量化），但有一个元理论结果将关于距离的断言与理论中可以说的内容联系起来。菲尔德将这种数值断言称为纯几何断言的抽象对应物，并且它们可以用来以更平滑的方式得出关于纯几何断言的结论。事实上，由于表示定理，关于空间的结论（无需实数即可表述）比我们通过希尔伯特公理的紧缩证明更容易得出。这说明了菲尔德的观点，即数学的有用性源自于缩短导数（Field 1980，第 24-29 页）。

粗略地说，菲尔德所确立的是如何将希尔伯特关于空间的结果推广到时空。与希尔伯特的方法类似，菲尔德没有用数值函子来表述牛顿定律，而是证明它们可以用比较谓词来重新表述。例如，菲尔德没有采用诸如“x 的引力势”之类的函子（它被视为具有数值），而是采用了比较谓词，如“x 和 y 之间的引力势之差小于 z 之间的引力势之差”。和w'。依靠一系列表示定理（其与几何中希尔伯特表示定理的作用相同），菲尔德建立了如何从比较谓词“获得”多个数值函子。但为了使用这些定理，他首先展示了如何仅根据比较谓词来制定牛顿数值定律（例如引力场的泊松方程）。结果（Field 1989，第 130-131 页）是以下扩展表示定理。令 N 为仅根据比较谓词表述的理论（不求助于数值函子）。对于任何定义域由时空区域构成的模型S of N，存在：

1-1 时空坐标函数 f（对于广义伽利略变换来说是唯一的）将 S 的时空映射到实数的四元组；

质量密度函数 g（在正乘法变换之前是唯一的）将 S 的时空映射到非负实数区间；和

将时空映射到实数区间的引力势函数 h（直到正线性变换为止都是唯一的）。

此外，所有这些函数都“保留结构”，因为用它们定义的比较关系与 N 中使用的比较关系一致。此外，如果 f、g 和 h 被视为适当函子的表示，则函数形式的牛顿引力理论定律成立。

请注意，在量化时空区域时，菲尔德假设了时空的实质主义观点，根据这种观点，存在未完全占据的时空区域（Field 1980，第 34-36 页；Field 1989，第 36 页）。 171-180）。给定这个结果，数学虚构主义者就可以从涉及N加上数学理论T的前提中得出唯名论的结论。毕竟，由于数学的保守性，这样的结论可以独立于T而获得。扩展表示定理的作用是然后证明，尽管缺乏对数学对象的量化，但通过用函子（如该理论通常表达的那样）或比较谓词（如数学虚构主义者的形式）表述牛顿引力理论，可以精确地确定同一类模型的恩惠）。因此，扩展表示定理确保使用数学的保守性以及适当的唯名论主张（通过比较谓词制定）不会改变原始理论的模型类别：保留相同的比较关系。因此，菲尔德提供的是一种名词化策略，并且由于它减少了本体论，因此它似乎是针对数学的唯名主义立场的有希望的候选者。

数学虚构主义者应该如何对待似乎与具体可观察对象无关的物理理论，例如弦理论？假设这些理论缺乏经验意义，一种可能的反应就是简单地拒绝它们是物理理论，因此它们不是数学虚构主义者需要提供唯名论对应物的理论。换句话说，在这些理论获得相关经验意义之前，数学虚构主义者不必担心它们。这类理论将被归类为数学而不是物理学的一部分。

3.2金属制剂和保守性的配方

但是数学是保守的吗？为了建立数学的保守性，数学虚构主义者使用了金属结果，例如一阶逻辑的完整性和紧凑性（Field 1992，1980，1989）。然后出现问题，即数学虚构主义者是否可以使用这些结果来开发该程序。

在两个关键时刻，菲尔德（Field）利用了金属效果：（a）他以名义上可接受的术语对保守性的概念进行了重新制定（Field 1989，第119-120页； Field 1991），以及（b）在他的名义证明中集合理论的保守性（Field 1992）。这两个结果对现场至关重要，因为它们为数学虚构主义者建立了保守性的适当性。对于（a）解决后者可以在不违反名义主义的情况下提出该概念的解决，并且（b）得出结论，保守性是数学实际上具有的特征。但是，如果这两个结果不是合法的，那么Field的方法就无法脱颖而出。现在，我将考虑在名义上的理由上可以接受这两种金属结果的用途。

3.2.1保守性和紧凑定理

让我从（a）开始。数学虚构主义者依赖于紧凑的定理来以可接受的方式提出保守性的概念，也就是说，没有参考数学实体。如上所述，保守性是根据一致性定义的。但是，这个概念通常是用语义术语（作为适当模型的存在）或证明理论术语（以合适的证明）为例。但是，正如字段所承认的那样，这两个一致性的表述是柏拉图主义者，因为它们取决于抽象对象（模型和证明），因此在名义上是可以接受的。

数学虚构主义的方式是避免转移到金属语言上，以表达数学的保守性。这个想法是在对象语言中指出，通过引入逻辑一致性的原始概念：◊a，给定数学理论是保守的说法。因此，如果b是任何句子，则b*是限制b限制为非数学实体的结果，而m1，mn是数学理论m的公理，m的保守性可以通过以下架构表示（field）（字段（field） 1989年，第120页）：

（c）如果◊B，则◊（b*∧M1∧…∧Mn）。

换句话说，如果数学理论与关于物理世界b*的每个一致理论一致，那么它是保守的。

当然，这假设M有限地进行公理化。但是，在数学理论的情况下，我们该如何应用（c），而这些理论是不可有限的（例如zermelo-fraenkel set理论）？在这种情况下，我们无法进行理论的所有公理的结合，因为其中有很多。菲尔德已经解决了这个问题，他最初建议数学虚构主义者可以使用替代定量来表达这些无限的连词（Field 1984）。在本文修订版的后记（Field 1989，第119-120页）中，他指出，只要相关的数学理论和物理理论以紧凑的含量为准，就可以避免替代量化。因为在这种情况下，整个理论的一致性降低到了其每个有限连词的一致性。

但是，此举有三个问题。

在这种情况下使用替代定量的一个关注点涉及替代实例的性质。如果后者事实证明是抽象的，那么如果这种替代实例不仅仅是铭文，那将是这种情况，那么这些替代实例就不可用于名义主义者。如果替代实例是具体的，则名义主义者需要表明其中有足够的东西。

紧凑型定理的陈述涉及设定的理论谈话：让G为一组公式；如果G的每个有限子集一致，则G是一致的。名义主义者如何依靠一个定理，其陈述涉及抽象实体？为了使用该定理，需要进行适当的重新重新制定。

让我们确定可以在不提及集合的情况下重新重新调整此陈述。那么名义主义者可以使用紧凑型定理吗？众所周知，该定理的证据假定了设定的理论。紧凑型定理通常作为一阶逻辑的完整定理的推论，其证明假定为设定理论（例如，Boolos and Jeffrey 1989，第140-141页）。另外，如果要直接证明紧凑性结果，则必须构建适当的G模型，这再次需要设定的理论。因此，除非数学虚构主义者能够为设定理论本身提供适当的名义化策略，否则他们无权使用此结果。换句话说，在现场型名义主义者能够依靠金属效果之前，需要更多的工作。

但是，也许这种批评错过了现场计划的全部内容。正如我们所看到的，字段不需要数学理论m为其使用。仅要求其保守性。因此，如果将m添加到名义主义主张的身体b*中，则不会仅获得B*获得的新名称性结论。换句话说，领域的策略要求的是制定适当的名义主义主体，可以应用数学。对于金属效果的同一点：只要将它们应用于名义主义主张，则田间很好。

此答复的问题在于，它涉及数学虚构主义计划。虚构主义者不能依靠数学的保守性来证明使用保守性本身所需的数学结果（紧凑定理）的使用是合理的。为此，虚构主义者认为保守性的概念在名义上是可以接受的，这正是问题所在。回想一下，野外使用紧凑性定理的动机是重新对保守性进行重新进行，而不必假设抽象实体（即语义和一致性的证明理论所要求的那些）。因此，在这一点上，数学虚构主义者还不能使用保守性的概念。否则，整个程序将不会脱颖而出。我得出的结论是，与数学的任何其他部分类似，也需要名义上获得金属效果。否则出现了名义主义的麻烦。

3.2.2保守性和原始方式

但是，也许数学虚构主义者有出路。如我们所见，田间从逻辑一致性的原始概念上阐明了保守性的概念：◊a。他还指出，该概念与von Neumann-Bernays-Gödel在有限的公理设置理论（NBG）中的模型理论概念有关，尤其与该概念的表述有关。这是通过两个原则完成的（Field 1989，第108页）：

（MTP＃）如果☐（NBG→有一个“ A”模型），则◊a

（ME＃）如果☐（NBG→没有“ A”模型），则¬◊A。

我遵循字段的术语：“ MTP＃”代表模型理论的可能性，而“我＃”代表模型存在。符号“＃”表明，根据字段，这些原则在名义上是可以接受的。毕竟，它们是柏拉图原理的模态替代物（Field 1989，第103-109页）：

（MTP）如果有“ A”模型，则

（我）如果没有“ a”模型，则¬◊a。

可以说，通过使用这些原则，数学虚构主义者将有权使用紧凑的定理。首先，应该尝试以名义上可接受的方式陈述该定理。不必担心细节太多，让我们出于论点为目的，以下特征会做到：

（compact＃）如果€◊T，则∃fa1，…，[a1∧…∧an），]，

其中t是一个理论，每个AI（1≤i≤n）是一个公式（t的公理）。 “∃fa1…an”的一词应被理解为“有限的许多公式A1…AN”。 （但是，这个量词不是一阶。但是，我不会按要点，即名义主义者似乎需要一个非第一阶量化器来表达典型的一阶逻辑的属性。这只是忧虑之一我们将在此配方中抛弃。）此版本是寄生于以下紧凑型定理的柏拉图式表述的寄生虫：

（紧凑）如果没有t的模型，那么∃fa1，…，以至于没有（a1∧…∧an）的模型。

为了使数学虚构主义者有权使用紧凑的定理，他们必须证明名义主义表述（compact＃）来自柏拉图式的一（紧凑型）。从这个意义上讲，如果后者足够，前者也是如此。更准确地说，必须显示的是（紧凑型＃）遵循（紧凑型）的模态替代。毕竟，由于问题是在名义上的理由上是紧凑定理的合法性，因此从一开始就假设完整的柏拉图式版本将是一个问题。正如我们将看到的，有两种方法可以尝试建立此结果。不幸的是，它们都没有工作：两者都正式不足。

这两个选项以相同的方式开始。假设

（1）€t。

我们必须确定

（2）∃fa1…an-（a1∧…∧an）。

它遵循（1）和（MTP＃）

（3）¬☐（nbg→有一个用于“ t”的模型），

因此

（4）◊（NBG∧没有“ T”模型）。

让我们假设紧凑定理的模态替代：

（compactm）☐（nbg→如果没有“ t”模型，则∃fa1…一个，因此（a1∧…∧AN）没有模型）。

请注意，由于模态替代物是根据模型（而不是原始模态算子）提出的，因此仍然不是数学虚构主义者所需要的。他们需要的是（紧凑＃），但是需要证明他们可以得到它。此时，选项开始分歧。

第一个选项包括从（4）和（compactm）绘制该选项。

（5）◊（∃fa1…一个这样的模型（a1∧…∧an））。

但是，此举存在困难。首先，请注意（5）不等于（2），这是要实现的结果。此外，与（2），（5）相反，用模型理论术语提出，因为它包含了关于某个模型不存在的主张。根据原始概念的一致性概念，所需的是类似的陈述。换句话说，我们需要（5）而不是（5）的名义主义对应物。

但是（5）有一个不错的功能。它是（紧凑型）导致的一种调制公式。而且（5）仅说明没有特定模型的可能性，因此可以说它在名义上是可以接受的。 （如下所述，模态结构主义者提出了一种名义化策略，该策略探讨了这些线路的模式；请参见Hellman（1989）。）但是，领域对这一举动持怀疑态度。在他看来，模态不是本体论的一般代孕（Field 1989，第252-268页）。他的担心之一是，通过允许将模态算子引入一般的名义策略，我们可以调节所考虑的理论的物理内容。但是，由于预计不会产生身体后果，因此这里不必出现忧虑。无论如何，鉴于（5）无法确定需要建立的问题，因此无法解决问题。

第二个选项包括移至（5'）而不是（5）：

（5'）☐（nbg→∃fa1…一个这样的模型（a1∧…∧an））。

请注意，如果建立（5'），我们将解决此问题。毕竟，（me＃）的直接重新加工（即，如果☐（nbg→∃fa1…... a1a1∧…∧An）），那么€◊（a1∧…∧ ），从（5'）和（me＃）遵循

（2）∃fa1…

这是我们需要的结论。这里的问题是（5'）并不遵循（4）和（compactm）。因此，我们无法得出它。

显然，很可能有另一种选择可以建立预期的结论。但是，至少可以说，数学虚构主义者必须提出它，然后才有资格使用金属效果。在此之前，尚不清楚这些结果在名义上是可以接受的。

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