数学哲学中的唯名论（三）

3.2.3金属制剂和设定理论的保守性证明

我现在应该考虑问题（b）：菲尔德的名义主义证据，证明了设定理论的保守性。让我们确定保守性的概念已经以某种名义上可接受的方式提出。如果菲尔德的证据是正确的，他将证明数学本身是保守的，只要人们假定数学的降低以设定理论。领域如何证明集体理论的保守性？这是一个巧妙的论点，它适应了该领域的柏拉图保守性证明之一（Field 1980）。出于目前的目的，我们无需检查该论点的细节，而只需注意，在关键点，一阶逻辑的完整性用于确定其结论（Field 1992，第118页）。

此举的问题在于，即使数学虚构主义者在不提及数学实体的情况下制定了完整性定理的陈述，该定理的证明也假定为集合（例如，参见Boolos and Jeffrey和Jeffrey 1989，pp。131-140））。 。因此，虚构主义者不会在不破坏其名义主义的情况下使用该定理。毕竟，提供固定理论保守性的名义主义证据的目的是表明，在不求助于柏拉图主义数学的情况下，数学虚构主义者能够确定数学是保守的。菲尔德（Field）为保守性结果提供了柏拉图主义的论点（Field 1980），这是一个明确调用集合理论属性的论点。这个想法是提供柏拉图主义的减少：通过使用柏拉图主义数学，田间试图确定数学是保守的，因此最终是可拨的。与早期策略相反，目标是提供名义主义者可以接受的设定理论的保守性证明。但是，由于名义上的证据依赖于完整定理，因此尚不清楚它实际上是名义主义者。数学虚构主义者应该首先能够在不假定设定理论的情况下证明完整性结果。另外，他们应该为设定理论本身提供名义化策略，然后将其赋予他们使用金属效果的权利。

但是可以说，数学虚构主义者只需要证明完整性定理的集合理论的保守性。现在应该清楚的是，此答​​复完全是乞讨的，因为问题的目的是证明设定理论的保守性。因此，虚构主义者不能假设该结果已经在元纪念碑上建立。

换句话说，如果没有更广泛的名义化策略，该策略允许设定理论本身被命名，那么似乎很难看到数学虚构主义者如何将金属的结果用作其程序的一部分。但是，问题是，至少在田间表达的形式中，数学虚构主义程序可以扩展到设定理论并不明显。因为它仅为科学理论提供了名义化策略，即在科学中使用数学（例如，在牛顿引力理论中）。该方法不能解决数学本身的名义化。

原则上，人们可能会反对，这应该不是问题。毕竟，数学虚构主义者发展其方法的动机集中在一个问题上：要克服不可或缺的论点 - 因此解决了数学在科学中的使用。如前所述，总体策略是为相关科学理论提供名义主义者。

然而，这种反对的问题是，鉴于领域策略的性质，在没有名称集合理论的情况下，不能实现名义科学的任务。因此，需要的是一种更开放的，更广泛的名义主义：一种不仅与科学，而且与Metalogic息息相关。就目前而言，数学虚构主义方法仍然留下了很大的差距。

3.3评估：数学虚构主义的好处和问题

3.3.1认识论问题

鉴于从数学主义的观点上，数学对象不存在，因此我们如何获得知识的问题只是消失。但是另一个问题出现了：是什么区别数学家（谁对数学了解很多）和非医学家（谁没有这种知识）是什么？这里的区别（根据Field 1984）不是关于拥有或缺乏数学知识，而是关于逻辑知识：知道哪些数学定理源于某些数学原理，哪些不是。然后，就解决了认识论问题，只要数学虚构主义者提供了逻辑的认识论。

实际上，需要提供的内容最终是模式的认识论。毕竟，在现场的帐户上，为了避免柏拉图主义对模型或证据的承诺，逻辑后果的概念是从原始的逻辑模态概念来理解的：只要b和b和b和a的否定是不可能的，即，€◊（b∧a）。

但是，如何建立这种不可能的判断？在什么条件下，我们知道他们拥有？在简单的情况下，涉及直接陈述以建立此类判断可能是没有问题的。当调用更多实质性陈述时，就会出现问题。在这些情况下，我们似乎需要大量的数学信息，以便能够确定有关的不可能是否真正存在。例如，考虑建立选择公理的独立性以及从Zermelo-Fraenkel Set理论的公理中的连续假设的困难。在这种情况下，需要构建显着复杂的数学模型，该模型依赖于特殊数学技术来构建它们。在此阶段，数学虚构主义者所要求的是固定理论本身的名义化 - 正如我们所看到的那样，这仍然是我们的。

3.3.2数学应用问题

与认识论问题类似，数学的应用问题部分由数学虚构主义者解决。字段提供了不需要数学理论真相的数学应用的说明。正如我们所看到的，这要求数学在相关意义上是保守的。然而，尚不清楚领域是否已经确立了数学的保守性，因为他将非基本理论词汇引入集合理论的公理，这是他尝试证明集体理论保守性的一部分的一部分（Azzouni 2009b，p。 169，注释47;在1998年，2000年，可以找到数学主义计划的其他困难）。 Field与受限制的ZFU，Zermelo-fraenkel设置理论合作，其选择的公理修改为允许尿液，不是设置的对象，但不允许在理解公理中出现任何非设定理论的词汇，也就是说，也就是说，即替代或分离（Field 1980，第17页）。但是，这是一个巨大的限制，因为当实际应用数学时，非设定理论的词汇（当翻译成固定的理论语言）时，必须出现在理解公理中。根据字段的规定，证明未能解决数学实际应用的关键情况。

此外，还不清楚数学虚构主义者提出的名义化计划是否可以扩展到其他科学理论，例如量子力学（Malament 1992）。马克·巴拉格（Mark Ba​​laguer）试图沿着数学主义线条命名量子力学来应对这一挑战（Balaguer 1998）。然而，正如布宜诺（Bueno 2003）所论证的那样，巴拉格的策略与对量子力学的多种解释不相容，尤其是巴斯·范·弗拉森（Bas van Fraassen）的模态解释版本（van Fraassen 1991）。鉴于Balaguer的策略引起了身体上真实的倾向，因此目前尚不清楚它是否与名义主义兼容。结果，量子力学的名义化仍然是数学虚构主义者的主要问题。

但是，即使这些困难都可以解决，尚不清楚数学虚构主义者已经提供了数学应用的描述，使我们能够理解数学理论的实际应用。毕竟，虚构主义者的帐户要求我们通过为其找到合适的名义版本来重写相关理论。鉴于实际的科学实践中从未采用过这种重新审核，因此这使得数学应用的实际过程完全不受影响。虚构主义者没有参与应用程序的实际特征，而是创建了平行的论述，以便为使用数学在科学中的使用提供名义主义的重建。重建充其量表明，数学虚构主义者不必担心数学相对于数学的应用增加了其本体论。但是，问题仍然存在于他们是否可以理解科学中数学的实际使用。这个问题仍然仍然是对数学实践的正确理解至关重要的。

Balaguer版本的虚构主义也出现了类似的困难（请参阅Balaguer 1998的下半年）。 Balaguer依赖于区分应用数学理论的数学和物理内容的可能性：尤其是，这种理论的真实性仅是由于物理事实而存在的，而没有数学的贡献。但是，是否可以在不实施类似现场的名称程序的情况下表征数学和物理内容之间的区别是有争议的。在这种情况下，后者面孔也遇到了同样的困难（Colyvan 2010； Azzouni 2011）。

此外，根据Azzouni（Azzouni 2009b）的说法，为了使科学家使用科学理论，他们需要主张它。在他看来，科学家仅仅认识到科学理论是真实的（或表现出其他理论美德）是不够的。他们要求他们主张理论。特别是，科学家将需要主张名义主义理论。他们不能简单地考虑这样的理论。他们也需要能够主张它（Azzouni 2009b，脚注31、43、53和55，以及第171页）。因此，授予Azzouni这一点的名义主义者需要表明科学家可以主张相关的名义理论，以解决数学应用问题。

3.3.3统一语义

在一个方面，数学虚构主义者为数学和科学话语提供了统一的语义，在另一个方面，它们没有。最初，两种类型的话语都以相同的方式进行评估。电子及其关系使某些量子力学陈述正确；反过来，数学对象及其关系使相应的数学语句正确。碰巧的是，与对量子力学的现实主义解释的电子相反，数学对象不存在。因此，如前所述，存在的数学陈述，例如“无限的质数”是错误的。尽管生存陈述的真实价值分配与数学实践中发现的陈述发生冲突，但至少为数学和科学语言提供了相同的语义。

为了同意通常在数学话语中显示的真实价值分配，数学虚构主义者介绍了一个虚构的操作员：“根据数学理论M………”。但是，这样的操作员会改变数学话语的语义。应用于真正的数学陈述，至少一种柏拉图主义者认为是真实的陈述，结果将是一个真实的陈述，即使是按照数学虚构主义者的说法。例如，从柏拉图主义者和虚构主义的角度来看，“根据算术，有无限的主要数字”的说法是正确的。但是，在这种情况下，数学虚构主义者不再为数学和科学语言提供统一的语义，鉴于后者不涉及虚构的操作员的引入。因此，数学虚构主义者是否能够提供统一的语义，最终取决于是否引入了虚构的操作员。

3.3.4.从字面上进行数学

引入小说操作员的直接后果是，数学话语不再是从字面上汲取的。正如刚才指出的那样，没有这样的操作员，数学虚构主义会产生真实价值的非标准归因于数学陈述。但是，随着小说运算符的到位，数学话语的语法被改变了，因此后者无法从字面上进行。

3.3.5本体论问题

本体论问题（数学主义者做出的本体论承诺的可接受性）基本上是解决的。原则上没有对数学对象的承诺。尽管引入了原始的模态概念，但它在数学的名义化中仅具有有限的作用：允许对保守性的关键概念的名义主义表述。但是，正如我们所看到的，没有适当的命名化理论本身，目前尚不清楚数学虚构主义计划是否最终成功。

4。模态结构主义

4.1模态结构主义的主要特征

模态结构主义提供了数学解释的计划，其中包含了两个特征：（a）强调结构作为数学的主要主题，以及（b）通过模态逻辑来解释数学的完全消除对数学对象的参考。 （正如Putnam（1967）提出的，并在Hellman（1989，1996）中开发）。鉴于这些特征，结果方法称为模态结构解释（Hellman 1989，第VII – VIII和6-9）。

该提案还应该满足两个重要要求（Hellman 1989，第2-6页）。首先是数学陈述应该具有真实价值，因此从一开始就拒绝了“乐器主义者”的读数。第二个是：“应该出现合理的说法，即数学实际上适用于物质世界”（Hellman 1989，第6页）。因此，必须检查适用性问题。

为了解决这些问题，模态结构主义者提出了一个一般框架。主要思想是，尽管数学与结构的研究有关，但可以通过仅关注可能的结构而不是实际结构来完成这项研究。因此，模态解释并不致力于实际的数学结构。对它们作为对象的存在或对“构成”这些结构的任何对象都没有承诺。这样，避免了对他们的本体论承诺：唯一的说法是可能的结构是可能的。为了阐明这一点，模态结构解释是基于S5的二阶模态制定的。但是，为了防止对模态操作员的设定理论表征的承诺，Hellman将这些操作员视为原始操作员（1989，第17和20-23页）。

采取了两个步骤。首先是提出适当的翻译方案，说明每个普通的数学陈述s作为假设陈述的椭圆形，即：s将以适当的类型的结构保持。

例如，如果我们正在考虑数字理论陈述，例如Peano算术中阐明的陈述（简称PA），那么我们关注的结构是满足PA公理的“进度”或“ω-序列”。在这种情况下，每个特定语句s要（粗略）翻译为

☐∀X（x是满足PA的公理→s在x中的ω-序列）。

根据此陈述，如果有满足PA的公理的ω序列，则S将保持在其中。这是模态结构解释的假设组成部分（有关详细的分析和精确的配方，请参见（Hellman 1989，第16-24页））。分类组件构成第二步（Helman 1989，第24-33页）。这个想法是假设适当种类的结构在逻辑上是可能的。在这种情况下，我们有

◊∃X（x是满足PA公理的ω序列）。

也就是说，从逻辑上讲，有可能满足PA的公理的ω序列。遵循这种方法，可以在没有本体论成本的情况下提供数学陈述的真相翻译，因为只有假定了所讨论的结构的可能性。

然后，模态结构主义者表明，定理的实践可以在此框架中重新恢复（大致说明，将翻译方案应用于所考虑的定理的原始证明的每一行）。此外，通过使用翻译方案和适当的编码设备，可以说算术，真实分析以及在一定程度上，甚至在名义主义的环境中恢复了算法（Hellman 1989，pp。16-33，44-47，pp。16-33，44-47，和53–93）。特别是“通过使用编码设备，可以在[实际分析]中进行当前物理理论中常见的所有数学，”（Hellman 1989，第45-46页）。但是，作为模态结构主义的赠款，是否以这种方式将设定理论的问题称为命名。毕竟，甚至建立存在许多物体的结构的可能性也不明显。

框架到位后，模态结构主义者就可以考虑适用性问题。主要思想是采用假设成分作为适应数学应用的基础。相关结构是特定科学分支中常用的结构。此时需要考虑两点。

第一个是应用数学陈述的一般形式（Hellman 1989，第 118-124 页）。这些陈述涉及三个关键组成部分：应用数学中使用的结构、应用数学结构的非数学对象以及指定数学结构和非数学对象之间的特定关系的应用陈述。相关的数学结构可以用集合论来表述。让我们将应用上下文中使用的集合论称为 Z。（这是二阶 Zermelo 集合论，它是有限公理化的；我将用 ∧Z 表示 Z 公理的合取。）感兴趣的非数学对象在应用上下文中可以在 Z 中表示为 Urelemente，即非集合的对象。我们将“U”作为Z的结构中包含某些感兴趣的非数学对象作为Urelemente的陈述。最后，“A”是应用的陈述，描述Z的相关数学结构之间的特定关系以及 U 中描述的非数学对象。所涉及的特定关系取决于所讨论的情况。我们现在可以提出应用数学陈述的一般形式（Hellman 1989，第 119 页）：

∀X∀f ((∧Z & U)X (εf) → A)。

在先行词中“(∧Z & U)X (εf)”是用相对于二阶变量 X 的所有量词写出 Zermelo 集合论公理的结果的缩写，替换每次出现的隶属符号 ' ε' 与两位关系变量'f'。根据应用的数学陈述，如果存在满足Zermelo集合论Z的公理合取的结构，其中包括U中引用的一些非数学对象，则A将在该结构中成立。应用语句A表达问题中的关系，例如物理系统与某些集合理论结构之间的同构或同态。这是一个假设的组成部分，被解释为表达某些数学结构（表述为 ∧Z 的结构）和世界上研究的实体（Urelemente）之间存在哪些关系。

第二个考虑因素更详细地考察了所研究的物理（或材料）对象与数学框架之间的关系。这些是“综合决定”关系（Hellman 1989，第 124-135 页）。更具体地说，我们必须确定在应用数学陈述之前，非数学对象之间的哪些关系可以作为指定“实际物质情况”的基础（Hellman 1989，p.129）。模态结构主义的建议是考虑综合理论T′的模型。该理论包含并链接了应用数学理论的词汇（T）和所讨论的综合词汇（S），直观地固定了实际的物质情况。假设 T 在同构之前决定了一种特定类型的数学结构（例如包含 Z），并且 T' 是 T 的扩展。在这种情况下，如果满足以下条件，所提出的“综合基础”就足够了：以下条件成立：

令 a 为 T′ 的（数学上）标准模型的类，并令 V 表示 T′ 的完整词汇表：然后 S 在 iff 中确定 a 中任意两个模型 m 和 m′ 的 V，以及它们之间的任何双射 f域中，如果 f 是 S 同构，那么它也是 V 同构。 （Hellman 1989，第 132 页。）

当然，在这种情况下引入同构是为了适应所研究领域的（应用）数学部分和非数学部分之间结构的保存。这在关键情况下成立，其中 f 的综合属性和关系（S-同构）的保留导致整体理论 T' 的解析应用数学关系（V-同构）的保留。应该指出的是，“综合”结构并不意味着“捕获”所讨论的数学理论的完整结构，而只是其应用部分。 （回想一下，赫尔曼从应用数学理论 T 开始。）

这可以用一个简单的例子来说明。假设有限多个物理对象显示线性顺序。我们可以通过定义从这些对象到自然数初始段的函数来描述这一点。模态结构主义者的综合决定条件所要求的是，对象之间的物理排序单独捕获了该函数及其对对象提供的描述。并未声称因此捕获了完整的自然数结构。该示例还提供了上述应用数学陈述的说明。 Urelemente（非集合的对象）是所讨论的物理对象，相关的数学关系是同构，数学结构是具有通常线性顺序的自然数段。

在模态结构概念上，通过在数学结构（部分）和代表物质状况的结构之间建立适当的同构来应用数学。这个过程是合理的，因为这种同构建立了数学和非数学水平（相关部分）之间的结构等价性。

然而，该提议面临两个困难。第一个涉及（应用）数学领域和非数学领域之间结构等价的本体论地位。如果其中一些结构涉及“物质”对象，我们有什么理由可以声称所考虑的结构在数学上是相同的？当然，鉴于结构等价是通过同构建立的，物质对象已经用结构术语表述了——这意味着一些数学已经应用于所讨论的领域。换句话说，为了能够表示数学的适用性，赫尔曼假设某些数学已经被应用。这意味着数学适用性的纯粹数学表征（通过结构保留）本质上是不完整的。应用程序的第一步，即材料域的数学建模，不能也不可能被容纳，因为那里不涉及同构。事实上，考虑到根据假设，该域没有用数学术语表达，因此没有定义同构。

可能有人会说，模态结构解释不需要（应用的）数学结构和描述物质情况的数学结构之间的同构。该解释只需要整体理论T'的两个标准模型之间的同构，它将数学理论T和材料域的描述S联系起来。请注意，这只会将难度提高一级。为了使 T' 扩展应用数学理论 T 并提供 T 和实际情况之间的联系，T' 的模型尤其必须是 T 和 S 的模型。因此，如果模态如果结构主义者的综合决定论得到满足，T′的两个模型之间的同构将决定S和T模型之间的同构。这样，描述物质状况的结构与应用数学产生的结构之间仍然需要同构。

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