数学哲学中的唯名论（四）

第二个困难涉及数学领域和非数学领域之间存在结构等价这一主张的认识论地位。我们凭什么知道这种等价成立？有人可能会说，等效性是规范性强加的，以便申请过程能够顺利进行。但这个建议导致了一个两难的境地。要么只是假设我们知道等价成立，并回避了认识论问题（假设其理由是有问题的），要么假设我们不知道等价成立——这就是为什么我们必须强加这个条件——在这种情况下，后者显然是毫无根据的。然而，有人可能会说，这里没有问题，因为我们通过检查所考虑的物质对象的物理理论来建立同构。但问题是，为了制定这些物理理论，我们通常使用数学。问题恰恰在于解释这种用途，即提供对基础的一些理解，根据这些基础，我们知道相关的数学结构与物理结构是同构的。

这些考虑背后的要点已经被经常强调（尽管在不同的背景下）：同构似乎不是捕捉数学结构与世界之间关系的适当条件（例如，参见 da Costa 和 French 2003）。当然，在这个层面上使用同构有一个正确的直觉，这与证明数学应用的合理性有关：同构确实保证了应用的数学结构 S 和代表物质情况的结构 M 是数学上是一样的。问题在于基于同构的表征往往过于强烈。它们要求我们已经将一些数学应用到物质情况中，并且我们了解S和M之间的结构等价性。我们需要的是一个框架，其中相关结构之间的关系弱于同构，但仍然可以支持适用性，尽管要求不那么高（例如，Bueno、French 和 Ladyman 2002）。

4.2 评估：模态结构主义的好处和问题

4.2.1 认识论问题

模态结构主义者部分解决了数学的认识论问题。假设模态结构转换方案适用于集合论，模态结构主义者不需要解释我们如何能够了解数学对象、关系或结构的存在——因为缺乏对这些实体的承诺。然而，他们仍然需要解释我们对相关结构的可能性的了解，因为翻译方案使他们承担了这种可能性。

这里出现的一个担忧是，在实质性数学结构（例如集合论中引用的数学结构）的情况下，了解这种结构的可能性可能需要了解数学的实质性部分。例如，为了知道策梅洛集合论中表述的结构是可能的，我们大概需要知道该理论本身是一致的。但该理论的一致性只能在另一个理论中建立，反过来，另一个理论的一致性也需要建立——而我们面临着倒退。简单地假设所讨论的理论的一致性是任意的，因为如果这些理论实际上是不一致的，给定经典逻辑，一切都可以在其中得到证明。

当然，这些考虑并不能证明模态结构主义者不能发展数学认识论。他们只是认为，为了更全面地解决数学的认识论问题，似乎需要认识论方面的进一步发展。

4.2.2 数学应用问题

同样，数学应用问题也由模态结构主义者部分解决。毕竟，提供了一个解释数学在科学中的应用的框架，并且在这个框架中，可以容纳数学的应用，而无需承诺相应对象的存在。

出现的一个问题（除了上面第 4.1 节末尾已经提到的问题之外）是，与数学虚构主义的情况类似，所提出的框架不允许我们理解数学应用的实际用途。模态结构框架不是解释数学实际上如何应用在科学实践中，而是为了规范实践并免除对数学实体的承诺。但即使该框架成功地完成了后一项任务，从而允许模态结构主义者避免相关的承诺，如何理解数学在科学背景下实际使用的方式的问题仍然存在。提供唯名论语言的翻译方案并不能解决这个问题。数学实践的一个重要方面就被忽略了。

模态结构解释中不可或缺性论证的地位是相当独特的。一方面，论证的结论被破坏了（如果提议的翻译方案通过），因为可以避免对数学对象存在的承诺。另一方面，必要性论证的修订版本可用于促进模态语言的翻译，从而强调模态结构主义者引入的原始模态概念所发挥的不可或缺的作用。这个想法是改变论证的第二个前提，坚持数学理论的模态结构翻译对于我们最好的世界理论是不可或缺的，并得出结论，我们应该在本体论上致力于相应结构的可能性。从这个意义上说，模态结构主义者可以援引不可或缺的论证来支持他们所赞成的翻译方案，从而支持相关结构的可能性，这些结构在修改后的论证的结论中提到。但该论证并不支持数学对象的存在，而只是支持对数学理论的模态结构转化和数学结构的可能性的承诺。

4.2.3 统一语义

随着模态算子的引入和所提出的翻译方案，模态结构主义者无法为科学和数学理论提供统一的语义。与前者相反，只有后者需要这样的运算符。事实上，菲尔德认为，如果在科学理论的表述中引用模态算子，那么不仅它们的数学内容，而且它们的物理内容都将被名词化（Field 1989）。毕竟，在这种情况下，该理论不会断言某种物理情况确实如此，而只会陈述这种情况的可能性。

避免这种困难（由于使用模态算子而失去科学理论的物理内容）的一种策略是使用现实算子。通过将此运算符正确地放置在模态运算符的范围内，可以取消所讨论的物理内容的名词化（Friedman 2005）。如果不引入现实算子或一些相关的策略，模态结构主义者是否能够保留所讨论的科学理论的物理内容还不清楚。

但在这种情况下引入现实运算符需要区分唯名论内容和数学内容。 （Azzouni 2011 中认为根本无法做出这样的区分。）否则，无法保证现实运算符的应用不会产生比物理真实更多的结果。

然而，即使引入这样的运算符，在模态结构翻译方案上，数学和科学话语的语义之间仍然存在显着差异。对于前者，与后者相反，不会调用这样的运算符。结果是模态结构主义似乎无法为数学和科学语言提供统一的语义。

4.2.4 从字面上理解数学

考虑到引入模态算子的需要，模态结构主义者并不从字面上理解数学话语。事实上，可能会争论，这就是整个观点！从字面上看，数学话语似乎致力于抽象的对象和结构——模态结构主义者显然想要避免这种承诺。

然而，要点仍然是，为了阻止这种承诺，提供了与实际数学实践并行的论述。鉴于数学实践通常不会调用模态结构主义者引入的模态运算符，因此该论述是“并行的”。对于那些旨在理解数学实践中使用的数学话语的人，以及那些试图识别该实践中妨碍对数学实体的承诺的适当特征的人来说，拟议的翻译将使该目标的实现变得特别困难。

4.2.5 本体论问题

模态结构主义者部分地解决了本体论问题。实施所提出的翻译方案似乎不需要对数学对象或结构的承诺。主要的担忧来自模态运营商的引入。但正如模态结构主义者所强调的那样，这些运算符并不预设可能世界的语义：它们是作为原始术语引入的。

然而，由于数学公理的模态翻译被认为是正确的，所以出现了什么使这些陈述正确的问题。例如，当断言“可能存在满足皮亚诺算术公理的结构”时，是什么导致了这种陈述的真实性？显然，模态结构主义者不会将所讨论的可能性建立在皮亚诺公理的实际真理之上，因为这一举动，在合理的解释上，将需要柏拉图主义。模态结构主义者也不会基于皮亚诺公理的一致性证明的存在来支持相关的可能性。毕竟，任何这样的证明都是一个抽象的对象，在模态结构主义的基础上调用它显然会威胁到整体观点的连贯性。此外，调用这种一致性证明的模态版本会回避这个问题，因为它假设模态运算符的使用已经是合理的。最终，正确解决本体论问题需要的是对模态话语的适当解释。

5. 紧缩唯名论

5.1 通货紧缩唯名论的核心特征

根据紧缩唯名论者的观点，坚持数学理论对于科学是不可或缺的、断言数学和科学理论是正确的以及否认数学对象的存在是完全一致的。我将这种观点称为“紧缩唯名论”，因为它需要非常少的承诺来理解数学（Azzouni 2004），它提出了一种关于真理的紧缩观点（Azzouni 2004，2006），并提倡直接表述数学理论，而不需要要求对其进行重构或重写（Azzouni 1994，2004）。

紧缩唯名论为唯名论提供了一条“便捷之路”，它不需要对数学话语进行任何形式的重新表述，同时又赋予数学不可或缺的地位。尽管数学对象和关系的量化对于我们最好的世界理论是必不可少的，但这一事实并没有提供理由相信相应实体的存在。这是因为，正如 Jody Azzouni 指出的，应该区分两种承诺：量词承诺和本体论承诺（Azzouni 1997；2004，第 127 页和第 49-122 页）。每当我们的理论暗示存在量化的陈述时，我们就会承担量化的承诺。但阿祖尼坚持认为，存在量化不足以实现本体论承诺。毕竟，我们经常对我们没有理由相信存在的物体进行量化，例如虚构的实体。

为了产生本体论承诺——即承诺给定对象的存在——需要满足存在的标准。当然，存在各种可能的标准（例如因果效力、可观察性、检测的可能性等）。但阿祖尼所青睐的标准（他认为这是已被集体采用的标准）是本体论独立性（2004，第 99 页）。存在的是本体论上独立于我们的语言实践和心理过程的事物。关键是，如果我们只是通过语言实践或心理过程编造出一些东西，那么我们就没有必要致力于相应对象的存在。通常，我们会抵制任何此类承诺。

根据本体论独立性标准，心理过程本身是否存在？也许有人会说，大多数心理过程确实存在，至少是我们经历的心理过程，而不是我们编造的心理过程。毕竟，独立性标准背后的动机是，那些我们刚刚在口头上或心理上编造出来的东西并不存在。头痛或相信现在我面前有一台笔记本电脑是我没有编造的心理过程。因此，看来至少这些心理过程确实存在。相比之下，想象、欲望和希望是我们创​​造的过程，因此它们并不存在。然而，在这些情况下，该标准的潜在动机似乎与该标准的实际制定所蕴含的内容有所不同。因为该标准坚持“我们的语言实践和心理过程”的本体论独立性。由于头痛和信念本身就是心理过程，因此它们在本体论上可能并不独立于心理过程。因此，它们不存在。这意味着，如果按照规定应用该标准，则不存在心理过程。出于类似的原因，根据紧缩唯名论者的说法，小说、精神内容和制度也不存在，因为它们都是依赖于我们的语言实践和心理过程的抽象对象（Azzouni 2010a，2012）。

当然，奎因确定了量词和本体论的承诺，至少在我们最好的世界理论不可或缺的对象的关键情况下是如此。这些对象是那些无法通过释义消除的对象，当我们整理相关理论（使用一阶逻辑）时，我们必须对其进行量化。根据蒯因的标准，这些正是我们在本体论上所致力于的对象。阿佐尼坚持认为我们应该抵制这种认同。即使我们最好的理论中的对象是不可或缺的，即使我们对它们进行量化，这也不足以让我们在本体论上致力于它们。毕竟，我们量化的对象可能在本体论上依赖于我们——依赖于我们的语言实践或心理过程——因此我们可能只是编造了它们。但是，在这种情况下，显然没有理由相信它们的存在。然而，对于那些在本体论上独立于我们的物体，我们致力于它们的存在。

事实证明，在阿佐尼看来，数学对象在本体论上依赖于我们的语言实践和心理过程。因此，尽管它们对于我们最好的世界理论来说可能是不可或缺的，但我们在本体论上并不致力于它们。因此，通货紧缩唯名论确实是唯名论的一种形式。

但数学对象在什么意义上依赖于我们的语言实践和心理过程呢？从某种意义上说，某些原则的纯粹假设对于数学实践来说就足够了：“通过简单地写下一组公理，可以从无到有地创建一个数学主题及其伴随的假设”（Azzouni 2004，p.127）。在实践中，纯粹的假设必须满足的唯一额外限制是数学家应该发现由此产生的数学有趣。也就是说，相关数学原理得出的结果不应该是显而易见的，并且它们应该是可计算处理的。因此，考虑到数学中纯粹的假设（基本上）就足够了，数学对象没有认知负担。这样的物体，或“假设”，被称为超薄（Azzouni 2004，p.127）。

紧缩唯名论者区分本体论承诺和量词承诺的相同举措也被用来区分对 F 的本体论承诺和断言“存在 F”的真实性。尽管科学中使用的数学理论是（被认为是）正确的，但这并不足以让我们相信这些理论所假设的对象的存在。毕竟，根据紧缩唯名论者的观点，F可能确实存在，但要在本体论上致力于F，就需要满足存在的标准。正如阿佐尼指出的：

我将真正的数学陈述视为字面上的真实；我放弃了试图表明这种真正的数学陈述对于经验科学来说并不是必不可少的，然而，尽管如此，我可以将数学术语描述为根本不指代任何东西。如果没有蒯因的标准来腐蚀它们，存在主义陈述对于本体论来说是无辜的。 （Azzouni 2004 年，第 4-5 页。）

在通货紧缩唯名论的图景中，本体论承诺并没有以任何特殊的方式在自然（甚至正式）语言中表示出来。我们只是不会宣读科学学说的本体论承诺（即使它们经过适当的管理）。毕竟，如果没有蒯因的本体论承诺标准，对给定对象（以一阶语言）的量化或关于此类对象的真实主张的表述都不会导致后者的存在。

在他 1994 年的书中，阿祖尼并没有致力于唯名论，因为唯名论通常需要重构数学语言——正如上面所讨论的，数学虚构主义（Field 1989）和模态结构主义（Hellman）确实都是这种情况。然而，在 Azzouni 提出的提案中，没有实施或不需要这样的重建（Azzouni 1994）。事实上，数学对象在如何了解数学真理方面不发挥作用，这一事实清楚地表达了一种唯名论态度——Azzouni 明确地表达了这种态度。得到认可（Azzouni 2004）。

通货紧缩唯名论的提议很好地表达了一个应该认真对待的观点。与其他版本的唯名论相反，它的显着好处是旨在从字面上理解数学话语。

5.2 评估：通货紧缩唯名论的好处和问题

在本文讨论的唯名论观点中，通货紧缩唯名论是最接近解决（或者在某些情况下，解决）用于评估唯名论提案的五个问题的观点。除了从字面上理解数学语言的问题和本体论问题可能存在的例外之外，所有剩余的问题都得到了明确且成功的解决。我将依次讨论它们。

5.2.1 认识论问题得到解决

鉴于数学对象的抽象性质，紧缩唯名论者如何解释数学知识的可能性？在这个版本的唯名论中，这个问题就消失了。数学知识最终是从数学原理中获得的。鉴于数学对象不存在，它们在如何了解数学结果方面不起任何作用（Azzouni 1994）。所需要的是通过证明来建立相关的数学结果。证明是数学知识的源泉。

也许有人会争辩说，某些数学陈述是已知的，但没有相应的证明。考虑在证明哥德尔不完备性定理时引用的哥德尔句子：该句子是正确的，但无法在所考虑的系统中得到证明（如果后者是一致的）。我们了解哥德尔句子吗？显然我们是这样做的，尽管事实上该句子在所讨论的系统中是不可推导的。因此，这里涉及的知识与在给定系统中可以证明的知识不同。

在我看来，紧缩唯名论者毫无问题地理解我们对哥德尔句子的了解。这是一种直观的知识，从相关句子的陈述中产生。要知道这句话是真的，所需要的就是正确理解它。但这并不是数学结果通常的建立方式：它们需要被证明。

根据阿祖尼的说法，只要我们能够将句法不完整的系统（例如皮亚诺算术）嵌入到一个更强的系统中，在这个系统中，原始系统的真值谓词出现并且哥德尔句子被证明，我们就知道哥德尔句子（ Azzouni 1994，第 134-135 页；Azzouni 2006，第 89 页，注 38，最后一段和第 161-162 页）。

显然，该解释并没有将数学知识变成容易获得的东西，因为通常情况下，确定某个结果是否来自一组给定的公理并不是一件简单的事情。部分困难源于这样一个事实：一组重要公理的逻辑结果往往是不透明的：需要大量的工作来建立这样的结果。鉴于数学知识的非平凡性，这是应该的。

5.2.2 解决数学应用问题

紧缩唯名论者提出了各种考虑，认为应用数学的成功并不存在真正的哲学问题（Azzouni 2000）。一旦特别关注蕴含的不透明性——在提供证明之前，我们无法看到各种数学陈述的后果——许多所谓的数学成功应用中的惊喜就会消失。归根结底，所谓的数学应用问题——理解数学如何能够成功地应用于物理世界——是一个人为设计的问题，而不是一个真正的问题。

Colyvan 捍卫了相反的观点（Colyvan 2001b），坚持认为数学在科学中的应用确实提出了一个真正的问题。他特别认为，数学的两个主要哲学说明，菲尔德的数学虚构主义和奎因的柏拉图主义现实主义，无法解释这个问题。因此，他得出的结论是，这个问题在数学哲学中跨越了现实主义/反现实主义的辩论。通缩的名义主义者会坚持认为，即使在一个问题上，最终所讨论的是一个特殊的问题，即使这是一个问题，也是现实主义者和反现实主义者对数学的同样面临的问题。

这并不意味着数学的应用是一个简单的问题。纯数学和应用数学常见的问题。

理解数学实际应用方式的方式的问题是通缩名称主义明确地解决的问题，仔细研究了数学应用不同模型的中心特征和局限2004））。

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