数学中的非演绎方法（三）

3.3计算机证明

当代工作在实验数学中的一个惊人特征是它是使用计算机完成的。这是否依赖复杂的电子产品使该领域“实验”？如果人们看着专门用于实验数学的当代期刊，书籍和会议上发表的内容，那么印象是所有项目都与计算机紧密联系在一起。例如，似乎没有一篇论文在十多年来的实验数学问题上发表，而这些论文不涉及计算机的使用。数学家倾向于作为实验数学范式提供的示例呢？在这里，数据还不清楚。一方面，一项非正式调查表明，大多数此类示例确实涉及明确使用计算机。另一方面，从计算机时代之前，数学家也想引用一个或多个历史示例来说明据称的子阶级谱系。

将实验数学与基于计算机的数学等同的最大基于实践的挑战是自我风格的实验数学家对自己的新生学科的看法。因为当数学家自觉地反思实验数学的概念时，他们倾向于拒绝说明计算机使用是必要特征的说法。例如，《实验数学》杂志的编辑（在有关期刊范围和性质的“哲学陈述”中）撰写了以下评论：

“实验性”一词是广泛构想的：如今许多数学实验是在计算机上进行的，但其他一些仍然是铅笔和纸的结果，并且还有其他实验技术，例如构建物理模型。 （“目标和范围”，实验性数学 - 请参阅其他互联网资源）

这是数学家Doron Zeilberger的另一段段落，具有类似的风味：

[t]使用铅笔和纸纸，几个世纪以来，所有伟大且不太伟大的数学家都追求了辐射的实验数学…。 （Gallian and Pearson 2007，14）

可以说，将实验性数学与计算机使用息息相关，这与当代实验数学家的所作所为非常吻合，但对他们所说的话不太好。[11]

拟议的特征的第二个问题本质上是哲学上的。考虑另一个与戈德巴赫的猜想有关的实验数学的广泛示例。截至2007年4月，所有甚至1018年的数字均已验证以符合GC，并且该项目（在Oliveira e Silva的指导下）正在进行中。这种大规模的计算任务通常被认为是实验数学的范式示例。而且很明显，计算机在这里起着重要的作用：没有数学家或数学家群体可以希望手工复制1018个计算。

在当前的情况下，主要问题不是基于计算机的数学是“实验性的”，而是（至少有时甚至是非脱机）。从某种意义上说，当然，计算机执行的所有单个计算都是演绎的，或者至少它们与纯粹的外向正式系统的操作同构。当计算机验证GC实例时，此验证将完全推翻。然后，我们可以分开两个不同的问题。首先，这些计算在一些较大的数学论点中起着非脱离作用？其次，我们直接从计算机计算的结果中直接形成的信念？这些问题中的第一个没有打开针对计算机的任何特定的内容，因此倒在上面的第3（b）节中讨论的问题上崩溃了。第二个问题将在下面检查。

Appel和Haken基于计算机基于计算机的四种颜色定理的证明在1976年。在性格中。这是因为这些证据不是先验的，不确定的，不可调查的，也不是人类数学家可检查的。根据Tymoczko的说法，在所有这些方面，计算机证明与传统的“铅笔和纸”证明不同。关于可调查性，Tymoczko写道：

证明是一种可以通过理性代理人进行审查，审查和验证的结构。我们经常说，证明必须是明显的，或者可以手工检查。这是一个展览，是结论的衍生，它不需要外部自身才能令人信服。数学家全面调查了证据，因此得出结论。 （Tymoczko 1979，59）

为了提出论点，假设所讨论的计算机证明是演绎正确的，但在上述意义上也不是可行的。我们决定依靠计算机输出的决定构成一种非脱离方法吗？查看此类示例的一种方法是在演绎方法和我们对该方法结果的非脱离访问之间驾驶楔子。例如，比较专家数学家（具有良好的记录）的特定数学结果。这是“非脱离方法”？[12]

3.4概率证明

数学方法本质上是概率的，有一个很小但正在增长的数学方法的子集。在理由的背景下，这些方法并不意味着它们的结论，而是确定结论是真实的（通常是可准确的）很高的可能性。对这些方法的哲学讨论始于Fallis（1997，2002），而Berry（2019）是对辩论的有用贡献。

一种类型的概率方法可以链接到对实验数学的早期讨论，因为它涉及从字面意义上进行实验。这个想法是利用DNA的处理能力有效地创建一台大规模平行的计算机，以解决某些原本棘手的组合问题。其中最著名的是“旅行推销员”问题，其中涉及确定是否有可能通过单向箭头连接的图的节点进行一些可能的路线，从而完全访问每个节点一次。 Adleman（1994）展示了如何使用DNA链来编码问题，然后可以使用不同的化学反应将其剪接和重组。在过程结束时某些较长的DNA链的外观对应于通过图的发现溶液路径。在不再发现DNA链的情况下，最清楚地考虑了概率考虑。这表明没有透过图的路径，但是即使正确执行了实验，这里的支撑也无法完全确定。因为有一个解决方案的可能性很小，但是在实验开始时，任何DNA链都无法编码​​它。

数学中也存在概率方法，这些方法在上述意义上不是实验性的。例如，有复合材料（即非prime）数字的属性，可以证明其数字的一半小于给定的复合数字的一半。如果随机选择小于n的各种数字，并且没有一个与n的关系，那么n几乎可以肯定是Prime。可以精确计算此处的概率水平，并且可以通过选择更多的“证人”数字来测试，并可以根据需要将其提高。

请注意，这些概率方法包含大量纯粹的演绎推理。确实，在第二个例子中，n为.99的概率纯粹是演绎的。尽管如此，数学界仍有普遍的共识，这种方法不是可接受的替代品来证明结论的演绎证明。 Fallis（1997，2002）认为，这种拒绝是不合理的，因为一些概率方法可以将其指出为有问题的概率，这是数学社区确实接受的一些证据。法利斯的重点是将真理作为数学的关键认识目标。但是，数学家对概率方法不满意的主要原因是，他们并没有解释为什么他们的结论是正确的，这似乎是合理的。此外，伊斯瓦兰（Easwaran）反对法利斯（Fallis）认为，有一个财产，他称其为“可转让性”，即缺乏概率的证据和可接受的证据（Easwaran 2009; Jackson 2009）。 Fallis（2011）是对其中一些异议的答复。

另一方面，在某些情况下，即使没有伴随的解释，索赔的裸露真理或虚假也很重要。例如，人们可以想象一个重要而有趣的猜想（例如Riemann假设）正在考虑，并且使用了一种概率方法来表明某些数字很可能是对其的反例子。猜测数学社区对这种情况的反应是什么，这很有趣。会尝试证明RH CEASE吗？它会一直持续到构建反例的严格演绎证明吗？

4。摘要 /结论

目前尚不清楚为什么人们应该期望数学中使用的各种非落下方法具有除非脱落性以外的任何实质性特征。哲学家在发现中关注非脱离推理的作用经常说话，好像有一些统一性要找到（例如，Lakatos的证据和反驳的字幕是“数学发现的逻辑”。非脱离方法的数组是多种多样的。

当代数学哲学家的工作正在继续在新方向上推动对非脱离数学方法的研究。感兴趣的领域是“数学自然种类”，以及这种概念是否可以用来以数学推理的方式使用类比（Corfield 2004 [其他互联网资源]）。正在研究的另一个领域是启发式原则在数学中的推定作用。 （这项工作的大部分追溯到Pólya（1945）。

在所有这些辩论中，背景问题涉及每种特定非脱离方法在数学合理性实践中起着至关重要的作用的程度。这个问题在本地和全球层面出现。在地方层面上，证明给定结果合理的特定推理可能是不可避免的，但结果也可以由其他一些纯粹的扣除推理确定。在全球范围内，我们对某些数学主张的唯一理由是无效的。我们对非脱离方法的使用程度是由于实践中的局限性而非原则上的限制仍然是进一步研究的问题。

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