数学中的非演绎方法（二）

2.2.2 公理的​​地位

那么，让我们假设，理想化的演绎证明提供了一种安全性：每个步骤的透明性确保了整个论证的有效性，从而保证了如果前提全部为真，那么结论也一定为真。但是在证明过程开始时引入的公理又如何呢？这个问题的传统答案是声称公理的真实性是安全的，因为公理是“不言而喻的”。例如，这当然似乎是欧几里得几何公理的普遍接受的观点。然而，由于各种原因，这种态度在当代数学中并不那么普遍。首先，19世纪初非欧几里得几何的发现表明，表面上的不证自明，至少在平行公设的情况下，并不能保证必然的真理。其次，数学理论及其公理化的范围和复杂性不断增加，使得声称每个公理明显正确的说法变得不太可信。第三，许多数学子领域在很大程度上已经从任何具体模型中抽象出来，这与至少一些数学家对他们所发展的理论采取形式主义态度的趋势是密切相关的。在这种观点看来，公理并不是表达基本真理，而是仅仅为正式博弈提供起始位置。

这种对公理的形式主义态度的滑坡也可以通过弗雷格的逻辑主义来追踪。逻辑主义纲领试图证明数学可以简化为逻辑，换句话说，数学证明可以被证明是由逻辑正确前提的逻辑推论组成。对于弗雷格来说，这些逻辑上正确的前提是其中出现的术语的定义。但这再次提出了如何区分可接受的定义和不可接受的定义的问题。这里的担忧不仅在于我们的公理是否正确，还在于它们是否一致（这是弗雷格自己的系统中著名的陷阱）。一旦不证自明作为公理的“黄金标准”被放弃，无论我们从这里转向形式主义观点还是逻辑主义观点，这都是一个问题。在这两种情况下，必须提供候选公理可接受性的一些其他界限。

那么，一方面是不证自明的高标准，另一方面是“一切皆有可能”的态度，之间是否存在中间立场呢？一个想法（其版本可以追溯到伯特兰·罗素）是调用最佳解释的推理版本。罗素的观点很有道理，即初等算术命题——“2 + 2 = 4”、“7 是素数”等——比人们可能想到的任何逻辑或集合论系统的公理都要不言而喻。想出办法让他们接地。因此，我们不应该将公理视为最不言而喻的，而应该将它们视为是根据它们（集体）系统化、推导和解释基本算术事实的能力来选择的。换句话说，逻辑蕴涵的方向仍然是从公理到算术事实，但证明的方向可能是相反的，至少在非常简单、明显的算术事实的情况下。从我们的集合论公理推导出“2 + 2 = 4”并不会增加我们对“2 + 2 = 4”真理的信心，但事实上我们可以推导出这个先前已知的事实（而不是推导出我们之前已经知道的其他命题）。知道是假的）确实增加了我们对公理真实性的信心。

这里的论证方向反映了最佳解释推理中的论证方向。一旦我们对公理的特定选择有了一定程度的信心，那么论证的方向也可以朝着更传统的方向发展，与证明的演绎推论保持一致。当所证明的定理的真理性先前并不明显时，就会发生这种情况。 Easwaran (2005)、Mancosu (2008) 和 Schlimm (2013) 以不同的方式发展了公理选择的基本解释。例如，曼科苏认为，类似的过程可能是新数学理论发展的基础，这些理论扩展了先前理论的应用领域或本体论。分析这一过程的进一步进展将取决于对数学解释的令人满意的解释，这已成为最近数学哲学文献中相当感兴趣的领域。

Maddy（1988、1997、2001、2011）采用的另一种方法是更详细地研究数学家的实际实践以及他们接受或拒绝不同候选公理的理由。麦迪的主要关注点是集合论的公理，她认为存在各种理论优点，与公理可能拥有的“不证自明”没有直接联系。这些美德是什么，以及它们之间的权重如何，在不同的数学领域可能会有所不同。 Maddy 认为集合论公理的两个核心优点是统一（即它们为决定集合论问题提供了单一的基础理论）和最大化（即它们不会任意限制同构类型的范围）。 Lingamneni (2017) 和 Fontanella (2019) 最近的工作也讨论了集合论中的公理选择问题。

2.3 哥德尔的结果

毫无疑问，数学中演绎方法最臭名昭著的局限性是源于哥德尔结果的不完备性。尽管这些结果仅适用于足够强大以嵌入算术的数学理论，但自然数（及其扩展到有理数、实数、复数等）作为数学活动焦点的中心地位意味着其含义是广泛的。

哥德尔著作的确切含义也不应该被夸大。量词的顺序很重要。哥德尔表明，对于任何一致的、递归公理化的形式系统 F，对于算术来说足够强大，存在可以用纯算术语言表达但在 F 中无法证明的真理。他没有证明存在在 F 中无法证明的算术真理。任何正式系统。尽管如此，哥德尔的结果确实给数学演绎理想的一个版本的棺材敲下了一些重要的钉子。对于所有数学来说，不可能有一个单一的、可递归公理化的形式系统，它是（a）一致的，（b）纯粹演绎的，以及（c）完整的。应对这一困境的方法之一是探索数学中非演绎论证方法的选择。

3.替代的非演绎方法

3.1 实验数学

非演绎方法在经验科学中的作用是显而易见的并且相对没有争议（卡尔·波普尔）。事实上，科学论证的规范模式是后验的和归纳的。经验科学之所以成为经验科学，是因为观察，尤其是实验所发挥的关键作用。因此，在对数学中的非演绎方法进行调查时，一个自然的起点就是观察“实验数学”这一流派的兴起。在过去 15 年左右的时间里，出现了期刊（例如《实验数学杂志》）、研究所（例如埃森大学实验数学研究所）、学术讨论会（例如罗格斯大学实验数学讨论会） ，以及专门讨论这一主题的书籍（例如，Borwein 和 Bailey 2003 和 2004）。后面这些作者还在 Borwein 和 Bailey (2015) 中论证了实验数学在更广泛的数学实践中的重要性，而 Sorensen (2016) 则对实验数学提供了更广泛的历史和社会学分析。

在数学和经验知识途径之间传统二分法的背景下，“实验数学”这个术语充其量似乎是矛盾的，而充其量是彻头彻尾的自相矛盾。一个自然的建议是，实验数学涉及进行数学实验，其中“实验”一词应尽可能按字面意思解释。这是 van Bendegem (1998) 采用的方法。根据 van Bendegem 的说法，实验涉及“操纵物体，……在‘真实’世界中建立过程，并……观察这些过程的可能结果”（Van Bendegem 1998，172）。他的建议是，初步掌握数学实验可能是什么的自然方法是考虑这种范式意义上的实验如何产生数学后果。

van Bendegem 引用的一个例子可以追溯到 19 世纪比利时物理学家 Plateau 在最小表面积问题上所做的工作。通过从电线中构建各种几何形状并将这些电线框架浸入肥皂溶液中，高原能够回答有关最小表面界定各种特定形状的特定问题，并且最终 - 制定了一些总结此类表面配置的一般原则。 [6]理解此示例中发生的事情的一种方法是，物理实验（将电线​​框架浸入肥皂解决方案中）产生的结果与某些类别的数学问题直接相关。这种表征实验数学的方式的主要缺点是它过于限制。 Van Bendegem引用的类型的例子极为罕见，因此，这种数学实验对实际数学实践的影响只有充其量只能受到非常有限的限制。此外，数学家在谈论并做到实验数学时会想到的，这不仅仅是这种字面的实验感。

对于“数学实验”的最字面读物，这么多。一种可能更富有成果的方法是用类比或功能术语进行思考。换句话说，也许“实验性数学”被用来标记在数学中起作用的活动，就像实验在经验科学中的作用相似。因此，数学实验可能与文字实验具有某些特征，但没有其他功能（Baker 2008； McEvoy 2008，2013； Sorensen 2010； Van Kerkhove 2008）。在进行这一分析线之前，简要查看案例研究可能会有所帮助。

Borwein和Bailey（1995b，第4章）的最近两本书之一，实验数学中当前工作的一个很好的例子出现了。如果基本n（任何给定长度）的每个数字序列（在基本N的基础N膨胀中）同样发生，则据说基本n中的实际数字是正常的。如果每个基数正常，则数字是绝对正常的。考虑以下假设：

猜想：每个非理性代数数都是绝对正常的。

Borwein和Bailey使用一台计算机计算为10,000个小数位数的十进制数字，将正整数的正方根和立方根根跃小于1,000，然后对这些数据进行了某些统计测试。

这个示例的一些引人注目的特征可能表明实验数学的更一般表征。首先，从证据到假设的途径是通过列举诱导的。其次，它涉及计算机的使用。在下面的内容中，将依次检查这两个功能。

3.2枚举诱导

克里斯蒂安·戈德巴赫（Christian Goldbach）在致欧拉（Euler）写的一封信中，猜想所有甚至大于​​2的数字都是两个素数的总和。[7]在接下来的两个半世纪中，数学家无法证明戈德巴赫的猜想。但是，已经证实了数十亿个示例，并且数学家之间似乎达成共识，认为猜想很可能是正确的。以下是部分列表（截至2007年10月），显示了所有偶数数字已被检查并显示符合GC的数量级。

边界日期作者

1×103 1742 Euler

1×104 1885 DESBOVES

1×105 1938 PIPPIPP

1×108 1965 Stein＆Stein

2×1010 1989年格兰维尔

1×1014 1998 DESHOUILLERS

1×1018 2007 Oliveira＆Silva

尽管自1960年代初以来，还促进了数字计算机的大量积极的GC积极实例，并有助于数字计算机的速度快速提高，但尚未找到GC的证据。不仅如此，很少有数字理论家乐观地认为郊游中有任何证据。菲尔兹奖牌获得者艾伦·贝克（Alan Baker）在2000年的一次采访中说：“在没有重大突破的情况下，我们不太可能进一步证明GC。不幸的是，没有那么大的想法。”同样在2000年，出版商Faber和Faber向2000年3月20日至2002年3月20日在2002年3月20日证明GC的任何人提供了1,000,000美元的奖励，并确信他们的钱相对安全。

使这种情况特别有趣的是，数学家长期以来一直对GC的真相充满信心。 Hardy＆Littlewood声称，早在1922年，“没有合理怀疑该定理是正确的”，而Echeverria在最近的一篇调查文章中写道：“数学家对GC的真相的确定性是完整的”（Echeverria 1996年，42）。此外，对GC真相的信心通常与归纳证据明确相关：例如，G.H.哈迪将支持GC真相的数值证据描述为“压倒性的”。因此，可以得出结论，数学家对GC的信念的理由是列举的归纳证据。

数学案例的一个独特特征可能会影响列举诱导的正当性力量是秩序的重要性。属于给定数学假设（至少在数字理论中）的实例是本质上的，此外，该顺序的位置可能对所涉及的数学属性产生至关重要的差异。正如弗雷格（Frege）所写的，关于数学：

[t]地面[]不利于归纳；因为这里没有任何统一性在其他领域可以使该方法具有高度的可靠性。 （弗莱格，算术基础）

弗雷格然后继续引用莱布尼兹（Leibniz），他认为幅度的差异会导致数字之间的各种其他相关差异：

偶数数字可以分为两个相等的部分，一个奇数不能；三个和六个是三角形，四个和九个是正方形，八个是立方体，等等。 （弗莱格，算术基础）

弗雷格还明确比较了归纳的数学和非数学环境：

在普通的归纳中，我们经常充分利用这样的主张，即空间和每个时刻的每个立场本身和其他所有时刻一样好。 …数字序列中的位置不是空间中的位置的冷漠问题。 （弗莱格，算术基础）

正如弗雷格（Frege）的说法所表明的那样，支持反对在数学中使用列举归纳的论点的一种方法是通过某种不均匀性原则：在没有证据的情况下，我们不应该期望数字（一般而言）共享任何有趣的属性。因此，确定财产的某些特定号码没有理由认为第二个，任意选择的号码也将拥有该财产。[8]而不是休ume建议的统一原则是地面归纳的唯一途径，而是完全相反的原理！从这一原则中，列举诱导是不合理的，因为我们不应该期望（有限的）自然数量的样本表示普遍特性。

对于GC和所有其他诱导数学诱导的情况，一个可能更严重的问题是我们正在研究的样本是有偏见的。首先，请注意，在重要意义上，GC的所有已知实例（实际上所有可能知道的实例）都是小小的。

从非常实际的意义上讲，没有大量数量：任何明确的整数都可以说是“小”。的确，无论您写下多少位数字或塔楼，只有比您的候选人小的自然数量有限的自然数，而无限的自然数量更大（Crandall and Pomerance 2001，2）。

当然，简单地抱怨所有GC的实例都是有限的。毕竟，每个数字都是有限的，因此，如果GC的所有有限数字都比GC保持简单。[9]但是我们可以隔离更极端的小感觉，这可能被称为小型。

定义：一个正整数，n是微小的，以防万一我们可以使用普通十进制表示法（包括（非艾n）指数的数字范围内，我们可以写下数字范围。

迄今为止，GC的经过验证的实例不仅很小，而且很小。而且，众所周知，虽然虽然公认的是含糊不清的定义，但虽然是含糊不清的。例如，考虑质量密度的对数估计值（即，小于给定n的数字比例的比例）已知是足够大的n的低估。令N*为对数估计值太小的第一个数字。如果Riemann假设是正确的，那么可以证明N*的上限（第一个偏压数）为8×10370。尽管数字令人印象深刻，但根据上述定义，它仍然是微小的。但是，如果Riemann假设比我们最著名的n*上的上限（第二个串数）为10↑10↑10↑10↑3。[10]在此处表示“箭头”符号的必要性告诉我们，这不是一分钟。因此，该结果的第二部分，尽管公认的是以不可能的结果为条件（即rh的虚假性），这意味着有一个属性持有所有微小数字，但并不适用于所有数字。小型性可以有所作为。

在GC的真实情况下，数字理论家拥有的似乎有信心呢？ Echeverria（1996）讨论了坎托出版物在1894年就goldbach分区函数的价值表G（n）扮演的重要作用，n = 2至1,000（Echeverria 1996,29–30）。分区函数衡量给定（偶数）数字表示为两个素数的总和的不同方式的数量。因此，g（4）= 1，g（6）= 1，g（8）= 1，g（10）= 2等。将焦点转移到分区函数上，与数学家对GC的信心的急剧增加一致。从康托尔的工作中可以看出的是，随着氮的增加，g（n）倾向于增加。请注意，在这种情况下，GC等于什么是G（n）永远不会采用值0（对于任何大于2的n）。数据对分区功能的压倒性印象是，对于某些大n，GC极不可能失败。例如，对于100,000订单的数字，总有500种不同的方式来表达每个数字作为两个素数的总和！

但是，这些结果纯粹是启发式的。康托尔（Cantor）出版其价值观表（被Echeverria描述为GC研究的“第二阶段”）之后的三十年来，已经进行了许多尝试寻找G（n）的分析表达的尝试。如果可以做到这一点，那么证明该分析函数永远不会采用值0（Echeverria 1996，31），可能会相对简单。到1921年左右，人们对找到这种表达的机会的悲观主义导致了重点的改变，而数学家开始将注意力引导到试图寻找G（n）的下限。至少到目前为止，这也没有成功。

因此，对分区功能的考虑并未使GC更接近。但是，它确实使我们能够对上一节的论点进行有趣的转折。该图表明，GC最难的测试用例可能发生在最小的数字中。因此，GC的电感样品有偏见，但与GC的机会有偏见。数学家对GC真理的信心并不是纯粹基于列举的归纳。分区函数所采用的值表明，GC的正实例的样本确实是有偏见的，并且有偏见的样本并不是一般规则的大量支持。但是在这种特殊情况下，偏见的性质使证据更强烈，而不是更弱。因此，有可能认为枚举归纳是不合理的，同时同时同意数学家可以根据可用证据相信GC。 （请注意，这里有一个微妙的平衡要维持，因为分区函数的行为的证据本身是非脱离的。但是，对于g（n）的印象很可能会因某些越来越多的分析功能而在下面限制，这并不是基于枚举。诱导本身，因此理由 - 虽然非脱落 - 但不是圆形的。）

尽管基于单个案例研究，但上述讨论的结果是，数学家不应该（总体上不应该在数学主张的正当化中，都不应（总体上）对枚举本身的重视。 （在多大程度上列举归纳在发现新的假设中起作用，或者选择了数学家决定进行的开放问题是一个单独的问题，这是一个单独的问题，在这里尚未解决。部分：

列举诱导不应增加对普遍数学概括（无限领域）的信心。

列举归纳不是（一般而言）导致数学家对这种概括的结论的真实性更有信心。

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