数学中的非演绎方法（一）

一、简介

1.1 发现与论证

1.2 演绎和形式化

1.3 演绎主义和基础

2. 演绎法的非演绎方面

2.1 非正式性的各个方面

2.1.1 半形式化证明

2.1.2 证明中的缺陷

2.1.3 图表

2.2 论证推导的合理性

2.2.1 规则的合理性

2.2.2 公理的​​地位

2.3 哥德尔的结果

3.替代的非演绎方法

3.1 实验数学

3.2 枚举归纳法

3.3 计算机打样

3.4 概率证明

4. 总结/结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

一、简介

关于数学本体论的哲学观点涵盖了从柏拉图主义（数学是关于抽象对象的领域）到虚构主义（数学是主题不存在的虚构），再到形式主义（数学陈述是根据形式操纵的无意义的字符串）。规则），但对于哪一个是正确的尚未达成共识。相比之下，可以公平地说，对于数学的基本方法论存在一种哲学上公认的观点。粗略地说，数学家的目标是证明各种数学主张，而证明包括从公理对给定主张的逻辑推导。这种观点由来已久。因此，笛卡尔在他的《心灵方向规则》（Rules for the Direction of the Mind，1627-28）中写道，数学命题必须“通过对过程中每一步都有清晰认识的心灵的连续和不间断的行动，从真实和已知的原理中推导出来”。 ”（47）。这种观点的一个重要含义是，至少在理想情况下，数学中没有非演绎方法的空间。例如，弗雷格指出，“在证明可能的情况下，数学的本质总是倾向于证明，而不是通过归纳法进行确认”（1884，2）。 Berry（2016）提供了最新的证明辩护，以促进数学界内共享探究的关键优点。

在哲学文献中，对这一公认观点最著名的挑战也许来自伊姆雷·拉卡托斯 (Imre Lakatos)，他在 1976 年出版的颇具影响力（死后出版）的著作《证明与反驳》中写道：

欧几里得方法论已经发展出了某种强制性的表述风格。我将其称为“演绎主义风格”。这种风格以精心陈述的公理、引理和/或定义列表开始。这些公理和定义常常显得人为且复杂得令人困惑。人们从来不知道这些并发症是如何产生的。公理和定义列表后面是措辞谨慎的定理。这些都承载着繁重的条件；似乎不可能有人能猜到它们。定理后面是证明。

在演绎主义风格中，所有命题都是正确的，所有推论都是有效的。数学被呈现为一组不断增长的永恒不变的真理。

演绎主义风格隐藏了斗争，隐藏了冒险。整个故事消失了，证明过程中定理的连续尝试性表述注定要被遗忘，而最终结果则被提升为神圣的无误性（Lakatos 1976, 142）。

在继续之前，有必要做一些区分，以便集中后续讨论的主题。

1.1 发现与论证

数学活动存在一些非演绎方面的广泛主张似乎相对没有争议。因为这仅仅等于这样一种说法：数学家在做数学时所做的并不是所有事情都是从其他陈述中推导出陈述。正如詹姆斯·富兰克林所说：

数学不能仅仅由猜想、反驳和证明组成。任何人都可以产生猜想，但哪些猜想值得研究呢？ ……哪一个可以通过数学家惯用的方法来证明？ ……在下一次任期审查之前，哪些不太可能给出答案？数学家必须回答这些问题来分配他的时间和精力。 （富兰克林 1987 年，2）

缩小一般主张以使其更具实质性的一种方法是利用“发现的背景”和“论证的背景”之间熟悉的（尽管并非完全没有问题）之间的区别。一方面，这种区别可能允许传统演绎主义观点在面对拉卡托斯的批评时得以维持，因为他认为拉卡托斯所指的是数学发现的背景。在论证的背景下，从公理推导结果可能仍然是正确和完整的故事。数学家对拉卡托斯观点的一些反应就具有这种特征，例如莫里斯·克莱恩在写给拉卡托斯的信中的以下评论：

我确实相信我们需要更多的文献来强调数学的发现方面。正如您所知和您所暗示的那样，所有重点都集中在数学的演绎结构上，并且给学生的印象是从旧结论中推出新结论。 [1]

在对拉卡托斯产生重大影响的波利亚的作品中也可以找到类似的段落：

通过研究解决问题的方法，我们看到了数学的另一面。是的，数学有两个面孔：它是欧几里得的严谨科学，但它也是别的东西。以欧几里得方式呈现的数学似乎是一门系统的、演绎的科学，但正在形成的数学似乎是一门实验的、归纳的科学。 (Pólya 1945, vii) [原文斜体]

相反，为了对熟悉的演绎主义立场提出真正的挑战，反诉需要是非演绎方法在数学结果的论证中发挥作用（Paseau 2015）。因此，本次调查的其余部分将主要关注合理性背景。[2]

1.2 演绎和形式化

这里不详细分析推导。就目前的目的而言，这一概念将被认为是相当简单的，至少在原则上是这样。演绎是任何语句序列，其中每个语句都源自某些初始语句集（前提）或序列中的先前语句。然而，确实需要解决的一个问题是演绎和形式化之间的关系（例如，参见 Azzouni 2013）。

论证可以是演绎性的，而不是正式的。尽管演绎的范式案例确实倾向于出现在高度形式化的系统中，但这并不是必需的。 “所有大于 2 的偶数都是合数； 1058大于2； 1058是偶数；因此 1058 是复合的”是一个非常好的推论，尽管没有被形式化。因此，与讨论这些问题时有时假设的相反，数学实践的所有非正式方面都是非演绎性的，这一点并不正确。

另一方面，形式逻辑的发展与提供一种用于呈现（和评估）演绎数学推理的清晰语言密切相关。事实上，正如约翰·伯吉斯（John Burgess）在他的著作（1992）中所说，现代经典逻辑在很大程度上是作为数学推理（尤其是证明）的基础而发展起来的。 19世纪数学严谨性的增强被正确地视为弗雷格著作引发的逻辑革命的原因，而不是结果。在伯吉斯看来，逻辑是描述性的：它的目标是构建推理的数学模型。经典逻辑构成了经典数学证明的理想化描述。

区分给定数学证明的非正式元素与不可形式化元素（如果存在任何此类事物）也可能很重要。 [3]在第 4 节中，这个问题将结合数学推理中图表的使用来讨论。

1.3 演绎主义和基础

除了形式逻辑的发展之外，演绎主义的另一个方面是它对“基础”的强调。其原因是从公理到定理的过渡原则上是简单的，因为这是一个逻辑推导的问题。事实上，这种转变并不涉及任何特殊的数学内容。因此，注意力转移到演绎过程的起点，即公理。如果这些公理本身就是一些更基本理论的定理，那么这种对安全起点的追求可以通过更基础的数学理论的层次结构向下追求。

不可否认的是，在 20 世纪的大部分时间里，数学基础问题一直是数学哲学家关注的焦点。当然，这并不是因为诸如集合论之类的基础领域是哲学家认为发生演绎的唯一数学领域，而是因为——如上所述——专注于演绎特别强调证明的起点。即使那些同情这种对基础问题的关注的人也可能承认数学实践的许多领域因此被忽视。问题是，在这个过程中，如果有的话，哲学兴趣会丢失什么。

2. 演绎法的非演绎方面

2.1 非正式性的各个方面

2.1.1 半形式化证明

正如上面1.2中提到的，演绎主义风格的一个特征是范式数学证明完全用某种适当的形式语言（例如，具有恒等式的一阶谓词逻辑）来表达。这使得给定证明的有效性可以很容易地、实际上是机械地确定。但当然，数学家传播和发表的证明中很少有（如果有的话）具有这种形式。对于数学家来说，证明的范围从完全非正式到详细和精确，每个（或几乎每个）空白都被填补。然而，即使是详细和精确的证明也很少纯粹用逻辑语言表达；相反，它们是普通语言、数学和逻辑符号和术语的混合体。

有时，以演绎主义传统写作的哲学家听起来好像这是一个相当微不足道的观点；事实上，这似乎是一个相当微不足道的问题。这只是数学家手头上有一个“翻译方案”的问题，但没有用纯逻辑写出证明以使其更容易理解和阅读。事实上，如何将给定的证明转化为形式逻辑往往并不明显。此外，目前尚不清楚将非正式证明“翻译”为正式语言的概念是否一定是看待这种情况的正确方法。斯图尔特·夏皮罗 (Stewart Shapiro) 在他 1991 年出版的《没有基础主义的基础》一书的开头基本上提出了这一观点，他写道：

完整逻辑的语言至少部分是普通自然语言片段的数学模型，例如英语，或者可能是用数学中使用的表达式增强的普通语言。后者可称为“数学的自然语言”。为了强调或避免混淆，完整逻辑的语言有时被称为“形式语言”。

作为一种数学模型，逻辑语言与其对应的自然语言之间始终存在差距。模型和模型之间的契合度可以是好是坏，可以是有用的也可以是误导性的，无论出于何种目的。 （夏皮罗 1991 年，3）

另一种情况是，正式和非正式语言提供了表达数学定理和证明的不同方式。正式语言不用于“翻译”，因此不需要根据非正式证明中表达的内容进行衡量。相反，它提供了自己的、可以说是优越的资源，用于在专门为此目的而设计的精确而严格的环境中表达数学陈述的内容。无论采用哪种方式来描述数学的正式和非正式表述之间的关系，仍然有两点。首先，演绎数学论证——由数学家产生、传播和建立的论证——可以是正式的，也可以是非正式的。其次，在某种正式系统的背景下，更容易明确地评估此类论证的演绎有效或无效。

还值得注意的是，除了正式和非正式的证明之外，拉卡托斯还主张第三类证明，他称之为“准正式”。拉卡托斯写道：

在我看来，认为非正式证明只是不完整的正式证明似乎犯了与早期教育家所犯的错误相同的错误，当时他们假设孩子只是一个微型成年人，他们忽视了对儿童行为的直接研究，而倾向于对儿童行为进行直接研究。基于与成人行为的简单类比的理论。 （拉卡托斯 1980 年，63）

2.1.2 证明中的缺陷

上面关于向理想证明过渡过程中“每个空白都被填补”的讨论掩盖了这样一个事实，即证明中“空白”的概念本身就需要进一步澄清。一方面，定义证明差距的最直接的方法（如下所示）仅适用于完全正式的系统。

间隙是证明中的任何一点，其中所写的行不能通过应用系统的正式有效且明确声明的推理规则来遵循先前行（连同公理）的某些子集。

任何规则都是系统明确规定的推理规则的条件的原因是因为我们想为有缺陷但有效的证明腾出空间。例如，“2 + 2 = 4，因此素数有无穷多个”是一个有效的论证，但显然它的前提和结论之间存在很大差距。另一方面，尽管上述定义仅适用于形式证明，但无间隙和形式并不总是同时存在。因此，传统的三段论如：“所有人都会死；苏格拉底是一个人；因此苏格拉底是会死的”是无间隙非正式证明的一个例子。将间隙（和无间隙）概念扩展到非正式证明的一种方法是通过基本数学推论的概念，换句话说，这种推论“被数学界接受为可用于证明而无需任何进一步的论证”（法利斯 2003 年，49）。

无论我们最终如何描述差距，不可否认的是，数学家提出的大多数实际证明都存在差距。 Don Fallis 在他的（2003）中提出了一种证明缺口的分类法：

推理差距

“每当数学家想到的特定命题序列（作为证明）不是证明时，数学家就留下了推理空白”（Fallis 2003, 53）。

酶切间隙

“只要数学家没有明确地陈述他所想到的命题的特定序列，他就留下了一个思维空白”（Fallis 2003, 54）。 [4]

未跨越的差距

“当数学家没有试图直接验证他所想到的命题序列中的每个命题（作为证明）是否可以通过基本的数学推论从该序列中的先前命题得出时，他就留下了未跨越的空白”（法利斯2003 年，56-7）。

除了这项分类学工作之外，法利斯还主张这样的哲学论点：证明中的差距不一定是坏事。在上述（iii）的基础上，他引入了普遍未跨越的差距的概念，换句话说，数学界的任何成员都没有弥合的差距。法利斯声称，这种差距并不罕见，并且至少某些包含这些差距的时间证明在合理的背景下被数学家接受。 Andersen (2018) 最近的工作证实了这一观点。

目前一项活跃的工作领域是自动校样检查，它揭示了迄今为止尚未认识到的各种差距。专门设计的计算机程序用于检查以适当的形式语言提供的证明的有效性。到目前为止，主要重点不是发现新结果，而是检查已建立结果的证明状态。 George Gonthier 使用这种方法验证了四色定理的证明 (Gonthier 2008) 和群论中奇数阶定理的证明 (Gonthier et al. 2013)，Thomas Hales 验证了乔丹曲线定理的证明（黑尔斯，2007）。在每种情况下，都会发现并遍历许多间隙。这种形式验证还可以揭示隐藏在普通数学论证内容中的其他信息。 Georg Kreisel 将这个一般过程描述为“展开证明”，而 Ulrich Kohlenbach 最近创造了“证明挖掘”这一术语。关于上述方法，Avigad 写道

...证明论方法和见解可以在...自动推理和形式验证领域使用。自二十世纪初以来，人们已经认识到，普通的数学论证可以用形式公理化理论来表示，至少在原则上是这样。然而，即使是最基本的数学论证也很复杂，使得大多数形式化在实践中都不可行。计算证明助手的出现开始改变这一点，使得形式化日益复杂的数学证明成为可能。 ......这些方法还可以用于验证普通数学证明的更传统的任务，并且特别适用于证明依赖于过于广泛而无法手动检查的计算的情况。 （阿维加德 2007 年，7）

然而，Delariviere 和 Van Kerkhove（2017）指出，虽然计算机方法可能在证明验证中发挥着越来越重要的规则，但尚不清楚此类方法是否可以在促进数学理解方面发挥相应的核心作用。

2.1.3 图表

非正式证明的另一个方面是图表的作用，这是最近哲学文献中重新关注的主题（Giaquinto 2007；Shin & Lemon 2008）。毫无争议的是，证明——尤其是在几何方面，而且在从分析到群论的其他领域——通常都附有图表。一个问题是，这些图表是否在从给定证明的前提到结论的推理链中发挥着不可或缺的作用。乍一看，似乎存在三种可能的情况：

这些图表在证明中不发挥实质性作用，仅作为其所处理主题的各个方面的“说明”。

实际上，不使用图表就很难（甚至不可能）掌握证明，但这种必要性是心理上的，而不是逻辑上的。

图表在证明的逻辑结构中起着至关重要的作用。

关于图解推理的最初浪潮集中在欧几里得的《几何原本》上，部分原因是这部作品的中心地位和历史重要性，部分原因是它经常被视为演绎方法的典型例子（例如，参见《Mumma》） 2010）。如果要素中的部分或全部图表属于上述选项（iii），则删除所有图表将使许多证明无效。这就提出了进一步的问题：是否可以识别和分析一种独特的图解形式的推理，如果可以的话，是否可以在纯粹的演绎系统中捕获它。任何拟议的严格化的一个困难是“泛化问题”：与特定图表相关的证明如何泛化到其他情况？这与在形式上区分给定图表的基本特征和巧合特征的问题交织在一起。

最近关于图表在证明中的作用的工作包括捍卫图表证明有时可以完全严格的立场（Azzouni，2013），以及在几何以外的数学实践领域探索基于图表的推理（de Toffoli 和贾迪诺，2014；德托弗里，2017）。

2.2 论证推导的合理性

即使我们将注意力限制在论证的背景上，演绎证明只有从安全的起点出发并且推理规则保持真理时才能产生分类知识。我们对这两个条件成立的信心是否也可以纯粹演绎地建立？这些条件将依次考虑。

2.2.1 规则的合理性

从某种意义上说，为某些受青睐的推理规则给出演绎论证似乎非常简单。例如，可以证明，如果肯定取件的应用的前提为真，那么结论也必定为真。问题（至少是潜在的）是，此类理由通常利用了他们试图证明的规则。在上述情况下：如果 MP 应用于真实前提，则结论为真； MP适用于真实场所；因此结论是正确的。 Haack (1976) 和其他人争论了这里的循环是否是恶性的。一个关键的考虑因素是是否可以为无效规则给出类似的“理由”，例如 Prior 的“tonk”引入和消除规则，也具有使用规则来证明自身合理性的这一特征。 [5] （一个密切相关的问题可以追溯到刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）和他的经典（1895）论文。）

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