布尔代数数学（二）

3. 布尔代数的特殊类

布尔代数有许多特殊类别，它们对于 BA 的内在理论和应用都很重要：

原子 BA，上面已经提到过。

无原子 BA，被定义为没有任何原子的 BA。例如，任何无限自由的 BA 都是无原子的。

完成上面定义的 BA。这些对于集合论的基础特别重要。

区间代数。这些是从线性有序集导出的

（

L

,

<

）

(L,<) 与第一个元素如下。取子集的最小代数

L

L 包含所有半开区间 [

一个

,

乙

）

a,b) 与

一个

一个在

L

土地

乙

垃圾桶

L

L 或等于

无穷大

无穷大。这些 BA 可用于 Lindenbaum-Tarski 代数的研究。每个可数BA与区间代数同构，因此可数BA可以通过指示有序集来描述，使得其与相应的区间代数同构。

树代数。树是一个部分有序的集合

（

时间

,

<

）

(T,<) 其中任何元素的前驱集合都是良序的。给定这样一棵树，我们考虑以下子集的代数

时间

T 由该形式的所有集合生成

{

乙

:

一个

≤

乙

}

{b:a≤b} 对于某些

一个

一个在

时间

T。

超原子 BA。这些 BA 不仅是原子的，而且每个子代数和同态图像都是原子的。

4. 布尔代数的结构理论和基函数

布尔代数的许多更深入的理论，讲述它们的结构和分类，可以根据为所有布尔代数定义的某些函数来表述，并以无限基数作为值。我们定义了这些基本功能中的一些更重要的功能，并陈述了一些已知的结构事实，大部分都是用它们来表述的

细胞性

c

（

一个

）

BA 的 c(A) 是成对不相交元素集合的基数

一个

一个。

一个子集

X

BA的X

一个

A 是独立的，如果

X

X 是它生成的子代数的一组自由生成器。的独立性

一个

A 是独立子集的基数至上

一个

一个。

一个子集

X

BA的X

一个

A 稠密于

一个

A 如果每个非零元素

一个

A 是

≥

≥ 的非零元素

X

十、

π

π-权重

一个

A 是密集子集的最小基数

一个

一个。

两个元素

x

,

y

x,y 的

一个

A 无可比性，如果两者都不是

≤

≤ 另一个。子集基数的至高

X

X 的

一个

由两两不可比较的元素组成的是以下的不可比较性

一个

一个。

一个子集

X

X 的

一个

如果 A 中没有元素，则 A 是冗余的

X

X 位于由其他子代数生成的子代数中。

关于元胞性的一个重要事实是 Erdős-Tarski 定理：如果 BA 的元胞性是奇异基数，那么实际上存在一组具有该大小的不相交元素；对于细胞结构常规限制（不可访问），有反例。每个无限完备BA都有一个与代数大小相同的独立子集。每个无限 BA

一个

A 有一个不可比的冗余子集，其大小为

π

π-权重

一个

A. 每个区间代数都具有可数独立性。超原子代数甚至没有无限独立的子集。每个树代数都可以嵌入到区间代数中。仅具有恒等自同构的 BA 称为刚性 BA。存在刚性完备BA，也存在刚性区间代数和刚性树代数。

最近，人们研究了许多最小-最大类型的基函数。例如，小独立性是无限最大独立集的最小尺寸；小细胞性是无限统一划分的最小尺寸。

5. 可判定性和不可判定性问题

Tarski 的一个基本结果是布尔代数的基本理论是可判定的。即使具有杰出理想的布尔代数理论也是可判定的。另一方面，具有杰出子代数的布尔代数理论是不可判定的。可判定性结果和不可判定性结果都以各种方式扩展到一阶逻辑扩展中的布尔代数。

6.Lindenbaum-Tarski 代数

一个非常重要的构造是与某些逻辑中的句子相关的布尔代数的构造，它延续到许多逻辑和除布尔代数之外的许多代数。最简单的情况是句子逻辑。这里有句子符号，以及由它们组成更长句子的常见连接词：析取、连词和否定。给定一组

一个

该语言的句子 A，两个句子

s

沙

t

t 等效于模

一个

当且仅当它们之间的双条件是以下逻辑结果

一个

A. 等价类可以制成 BA，使得 + 对应于析取，

⋅

⋅ 连词，并且

-

− 否定。任何 BA 都同构于这种形式之一。对于一阶理论，人们可以做类似的事情。让

时间

T 是一阶语言的一阶理论

L

L.我们称之为公式

φ

和

ψ

ψ 等价，前提是

时间

⊢

φ

↔

ψ

T⊢ψ↔ψ。句子的等价类

φ

ψ 表示为 [

φ

ψ]。让

一个

A 是该等价关系下所有等价类的集合。我们可以做

一个

通过以下定义将 A 转化为 BA，这些定义很容易证明：

[

φ

]

+

[

ψ

]

=

[

φ

∨

ψ

]

[

φ

]

⋅

[

ψ

]

=

[

φ

∧

ψ

]

-

[

φ

]

=

[

Ø

φ

]

0

=

[

F

]

1

=

[

时间

]

[ψ]+[ψ]=[ψ∨ψ][ψ]⋅[ψ]=[ψ∧ψ]−[ψ]=[ψψ]0=[F]1=[T]

每个 BA 都同构于 Lindenbaum-Tarski 代数。然而，这些经典 Lindenbaum-Tarski 代数最重要的用途之一是描述它们的重要理论（通常是可判定理论）。对于可数语言，这可以通过描述它们的同构区间代数来完成。一般来说，这可以提供对理论的全面了解。一些例子是：

理论同构于区间代数

(1)本质上不可判定的理论

问

问：有理数

(2) 文学学士

氮

×

氮

N×N，正整数的平方，按字典顺序排序

(3) 线性阶次

一个

×

问

A×Q 按反字典顺序排序，其中

一个

A 是

氮

氮

NN 按照通常的顺序

(4) 阿贝尔群

（

问

+

一个

）

×

问

(Q+A)×Q

7. 布尔值模型

在模型论中，我们可以在任何完整的 BA 中取值，而不是在二元 BA 中取值。这种布尔值模型理论是在 1950 年至 1970 年左右发展起来的，但此后就没有进行过太多研究。但一个特例是集合论的布尔值模型，它处于当前集合论研究的前沿。它实际上形成了看待科恩强制结构的等价方式，并且具有一些技术优点和缺点。从哲学上讲，它似乎比强迫概念更令人满意。我们在这里描述这个集合论案例；那么为什么只考虑完整的 BA 就变得显而易见了。设B为完整的BA。首先我们定义布尔值域

V

（

乙

）

V(B)。普通的集合论宇宙可以被识别为

V

V(2)，其中 2 是 2 元素 BA。该定义是通过超限递归来实现的，其中

α

,

β

α,β 是序数词并且

λ

λ 是极限序数：

V

（

乙

,

0

）

=

∅

V

（

乙

,

α

+

1

）

=

{

f

:

多姆

（

f

）

⊂

V

（

乙

,

α

）

和

范围

（

f

）

⊂

乙

}

V

（

乙

,

λ

）

=

⋃

β

<

λ

V

（

乙

,

β

）

。

V(B,0)=∅V(B,α+1)={f:dom(f)⊂V(B,α) 和范围(f)⊂B}V(B,λ)=⋃β<λV （B，β）。

在哪里

多姆

（

f

）

dom(f) 是函数的域

f

f 和

范围

（

f

）

range(f) 是函数的范围

f

f.这

乙

B值宇宙是真类

V

（

乙

）

V(B) 是所有这些的并集

V

对比。接下来，通过对有充分根据的集合进行相当复杂的超限递归来定义集合论公式的值，并将布尔值域的元素分配给其自由变量：

∥

x

ε

y

∥

=

Σ

t

ε

多姆

（

y

）

∥

x

=

t

∥

⋅

y

（

t

）

∥

x

⊆

y

∥

=

∏

t

ε

多姆

（

x

）

-

x

（

t

）

+

∥

t

ε

y

∥

∥

x

=

y

∥

=

∥

x

⊆

y

∥

⋅

∥

y

⊆

x

∥

∥

Ø

φ

∥

=

-

∥

φ

∥

∥

φ

∨

ψ

∥

=

∥

φ

∥

+

∥

ψ

∥

∥

∃

x

φ

（

x

）

∥

=

Σ

一个

ε

V

（

乙

）

∥

φ

（

一个

）

∥

。

‖x∈y‖=Σt∈dom(y)‖x=t‖⋅y(t)‖x⊆y‖=∏t∈dom(x)−x(t)+‖t∈y‖‖x= y‖=‖x⊆y‖⋅‖y⊆x‖‖ψ‖=−‖ψ‖‖ψ∨ψ‖=‖ψ‖+‖ψ‖‖∃xψ(x)‖=Σa∈V(B )‖ψ(a)‖。

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