布尔代数数学（一）

1. 定义和简单属性

2.初等代数理论

3. 布尔代数的特殊类

4. 布尔代数的结构理论和基函数

5. 可判定性和不可判定性问题

6.Lindenbaum-Tarski 代数

7. 布尔值模型

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相关条目

1. 定义和简单属性

布尔代数 (BA) 是一个集合

一个

A 与二元运算 + 和

⋅

⋅ 和一元运算

-

−，以及元素 0、1

一个

满足以下定律：加法和乘法的交换律和结合律，加法的乘法和乘法的加法的分配律，以及以下特殊定律：

x

+

（

x

⋅

y

）

=

x

x

⋅

（

x

+

y

）

=

x

x

+

（

-

x

）

=

1

x

⋅

（

-

x

）

=

0

x+(x⋅y)=xx⋅(x+y)=xx+(−x)=1x⋅(−x)=0

通过 BA 的基本示例（由集合组成）可以更好地理解这些定律

一个

集合的子集 A

X

X 在并、交、补运算下闭合

X

X、与成员

∅

∅ 和

X

X. 人们可以很容易地从这些公理中推导出许多基本定律，记住这个例子作为动机。任何 BA 都有自然偏序

≤

≤ 定义为

x

≤

y

x≤y 当且仅当

x

+

y

=

y

x+y=y。这在我们的主要示例中对应于

⊆

⊆。特别重要的是二元 BA，它是通过取集合形成的

X

X 只有一个元素。二元 BA 显示了与初等逻辑的直接联系。两个成员 0 和 1 分别对应于虚假和真实。然后，布尔运算表示析取的普通真值表（用

+

）

+), 连词 (与

⋅

）

⋅) 和否定（与

-

）

−)。一个重要的基本结果是，一个方程在所有 BA 中都成立当且仅当它在二元 BA 中成立。接下来，我们定义

x

⊕

y

=

（

x

⋅

-

y

）

+

（

y

⋅

-

x

）

x⊕y=(x⋅−y)+(y⋅−x)。然后

一个

一个与

⊕

⊕ 和

⋅

⋅ 与 0 和 1 一起形成一个具有恒等式的环，其中每个元素都是幂等的。相反，给定这样一个环，再加上

⊕

⊕ 和乘法，定义

x

+

y

=

x

⊕

y

⊕

（

x

⋅

y

）

x+y=x⊕y⊕(x⋅y) 并且

-

x

=

1

⊕

x

−x=1⊕x。这使得戒指变成了BA。这两个过程是彼此逆的，并且表明布尔代数理论和恒等环理论（其中每个元素都是幂等的）在定义上是等价的。这使得 BA 理论成为代数研究的标准对象。 BA 中的原子是非零元素

一个

a 使得没有元素

乙

乙与

0

＜

乙

＜

一个

0

≤

≤ 以上，

x

+

y

x+y 是最小上界

x

x 和

y

y，和

x

⋅

y

x⋅y 是最大下界

x

x 和

y

y。我们可以概括这一点：

Σ

X

ΣX 是集合的最小上限

X

X 个元素，以及

Π

X

ΠX 是集合的最大下界

X

X 个元素。这些并不存在于所有布尔代数中的所有集合；如果它们确实总是存在，则布尔代数被称为完整的。

2.初等代数理论

一些代数构造对于 BA 具有明显的定义和简单的性质：子代数、同态、同构和直积（甚至是无穷多个代数的直积）。其他一些标准代数结构对于 BA 来说更为特殊。 BA 中的理想是一个子集

我

我在 + 下关闭，成员为 0，这样如果

一个

≤

乙

ε

我

a≤b∈I，则也

一个

ε

我

a∈I.尽管不是很明显，但这与环理论概念相同。滤波器有双重概念（通常在环中没有对应物）。过滤器是一个子集

F

F关闭下

⋅

⋅ ，有 1 作为成员，并且如果

一个

≥

乙

ε

F

a≥b∈F，则也

一个

ε

F

a∈F。超滤器开启

一个

A是一个过滤器

F

F具有以下性质：

0

∉

F

0∉F，且对于任意

一个

ε

一个

a∈A，或者

一个

ε

F

a ∈ F 或

-

一个

ε

F

−a ∈ F。对于任何

一个

ε

一个

a∈A，设

S

（

一个

）

=

{

F

:

F

是超滤器

一个

和

一个

ε

F

}

。

S(a)={F:F 是 A 上的超滤器且 a∈F}。

然后

S

S 是集合子集 BA 的同构

X

所有超滤器中的 X 个

一个

A. 这建立了基本的 Stone 表示定理，并阐明了 BA 作为集合的具体代数的起源。此外，套装

S

（

一个

）

S(a) 可以被声明为拓扑的基础

X

X，这就变成了

X

X 进入完全不连通的紧致豪斯多夫空间。这在 BA 类和此类空间类之间建立了一一对应关系。因此，许多拓扑定理和概念在 BA 理论中被广泛使用，并对 BA 产生影响。如果

x

x 是 BA 的一个元素，我们令

0

x

=

-

x

0x=−x 且

1

x

=

x

1x=x。如果

（

x

(x(0),

……

x

（

米

-

1

）

）

...x(m−1)) 是 BA 的有限元素序列

一个

A，那么子代数的每个元素

一个

生成的

{

x

（

0

）

,

……

,

x

（

米

-

1

）

}

{x(0),…,x(m−1)} 可以写成单项式之和

e

（

0

）

x

（

0

）

⋅

……

⋅

e

（

米

-

1

）

x

（

米

-

1

）

e(0)x(0)⋅…⋅e(m−1)x(m−1) 对于

e

e 在某些函数映射中

米

=

{

0

,

……

,

米

-

1

}

m={0,…,m−1} 变为

2

=

{

0

,

1

}

2={0,1}。这是句子逻辑析取范式定理的代数表达式。一个功能

f

f 来自集合

X

BA 的 X 个生成器

一个

A 转为 BA

乙

B 可以推广为同态当且仅当

e

（

0

）

x

（

0

）

⋅

……

⋅

e

（

米

-

1

）

x

（

米

-

1

）

=

0

e(0)x(0)⋅…⋅e(m−1)x(m−1)=0

总是意味着

e

（

0

）

f

（

x

（

0

）

）

⋅

……

⋅

e

（

米

-

1

）

f

（

x

（

米

-

1

）

）

=

0。

e(0)f(x(0))⋅…⋅e(m−1)f(x(m−1))=0。

这就是西科尔斯基的扩展准则。每个文学士

一个

A可以嵌入到完整的BA中

乙

B 中的每个元素

乙

B 是一组元素的最小上界

一个

一个。

乙

B 是唯一的

一个

A 同构，称为完成

一个

A、如果

f

f 是 BA 的同态

一个

A变成完整的BA

乙

B、如果

一个

A 是一个子代数

C

C，那么

f

f 可以推广为同态

C

C 进入

乙

B. 这是西科尔斯基的可拓定理。适用于布尔代数的另一个通用代数概念是自由代数的概念。这可以针对 BA 进行具体构建。即，免费 BA

κ

κ 是二元离散空间的闭开子集的 BA，提升到

κ

κ 功率。

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