数学哲学中不可或缺的论证（一）

1. 阐明奎因-普特南不可或缺的论点

2.什么是不可或缺？

3.自然主义和整体论

4. 反对意见

5. 论证的解释版本

六、结论

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1. 阐明奎因-普特南不可或缺的论点

奎因-普特南不可或缺的论证引起了广泛关注，部分原因是许多人将其视为数学实在论（或柏拉图主义）的最佳论证。因此，关于数学实体的反实在论者（或唯名论者）需要找出奎因-普特南论证的错误所在。另一方面，许多柏拉图主义者非常依赖这个论点来证明他们对数学实体的信念。这一论点使那些希望对其他科学理论实体（夸克、电子、黑洞等）持实在论态度的唯名论者陷入了一个特别困难的境地。因为通常他们接受类似奎因-普特南论证[2]）的东西作为夸克和黑洞的现实主义的理由。 （这就是奎因（Quine，1980b，第 45 页）所说的在本体论方面持有“双重标准”。）

为了将来的参考，我们将以下面的明确形式陈述奎因-普特南不可或缺的论点：

(P1) 我们应该对所有且仅对我们最好的科学理论不可或缺的实体做出本体论承诺。

(P2) 数学实体对于我们最好的科学理论是不可或缺的。

(C) 我们应该对数学实体有本体论的承诺。

如此表述，该论证是有效的。这迫使人们将注意力集中在两个前提上。特别是，自然会出现一些重要的问题。第一个问题涉及我们如何理解数学不可或缺的主张。我们将在下一节中讨论这个问题。第二个问题涉及第一个前提。它远不如第二个那么不言自明，而且显然需要一些辩护。我们将在下一节中讨论它的防御。然后，我们将提出对该论证的一些更重要的反对意见，然后再考虑奎因-普特南论证在更大的事物方案中的作用——它与其他支持和反对数学实在论的有影响力的论证的关系。

2.什么是不可或缺？

在当前背景下，我们应该如何理解“不可或缺”的问题对于奎因-普特南的论证至关重要，但令人惊讶的是，它很少受到关注。奎因实际上是用我们最好的科学理论的规范形式量化的实体来说话，而不是不可或缺的。尽管如此，关于不可或缺性的争论仍在继续，因此我们最好澄清这个术语。

首先要注意的是，“可有可无”与“可消除性”不同。如果不是这样，每个实体都是可有可无的（根据克雷格定理）。 [3]我们要求一个实体“可有可无”，是因为它是可消除的，并且消除该实体所产生的理论是一个有吸引力的理论。 （也许，更强烈的是，我们要求最终的理论比原来的理论更具吸引力。）我们需要阐明什么才算有吸引力的理论，但为此我们可以诉诸良好科学理论的标准需求：经验上的成功；统一权力；简单;解释力；生育能力等等。当然，对于哪些需求是适当的以及它们的相对权重，将会存在争论，但这些问题需要独立于不可或缺的问题来处理和解决。 （有关这些问题的更多信息，请参见 Burgess (1983) 和 Colyvan (1999)。）

这些问题自然引发了这样的问题：数学在多大程度上是不可或缺的（以及数学在多大程度上承载了本体论承诺）。看来，不可或缺的论点只是证明了相信有足够的数学来满足科学的需要。因此，我们发现普特南谈到“物理学的集合论‘需要’”（Putnam 1979b，第 346 页），而奎因则声称集合论的更高层次是“数学再创造……没有本体论权利”（奎因 1986，第 346 页） .400）因为他们没有找到物理应用。人们可以采取一种限制性较小的路线，并声称集合论的更高层次虽然没有物理应用，但由于它们在数学的其他部分有应用这一事实，确实具有本体论承诺。只要应用链最终在物理科学中“触底反弹”，我们就可以正确地声称整个链条都承载着本体论承诺。奎因本人沿着这些思路证明了一些超限集合论的合理性（奎因 1984，第 788 页），但他认为没有理由超越可构造集合（奎因 1986，第 400 页）。然而，他做出这一限制的理由与不可或缺性论点没有什么关系，因此这一论点的支持者不必在这个问题上站在奎因一边。

3.自然主义和整体论

尽管奎因-普特南不可或缺论证的两个前提都受到质疑，但第一个前提显然最需要支持。这种支持来自自然主义和整体论的学说。

继蒯因之后，自然主义通常被认为是一种哲学学说，即不存在第一哲学，并且哲学事业与科学事业是连续的（Quine 1981b）。蒯因的意思是，哲学既不先于科学，也不优于科学。更重要的是，如此解释的科学（即以哲学作为连续的部分）被认为是世界的完整故事。这一学说源于对科学方法论的深深尊重，并承认这种方法论作为回答有关事物所有本质的基本问题的一种方式，取得了不可否认的成功。正如奎因所说，它的根源在于“顽固的现实主义，自然科学家的坚定心态，除了科学内部可协商的不确定性之外，从未感到任何疑虑”（奎因 1981b，第 72 页）。对于形而上学家来说，这意味着寻求我们最好的科学理论来确定什么存在，或者更准确地说，我们应该相信什么存在。简而言之，自然主义排除了确定事物存在的不科学方法。例如，自然主义出于神秘原因排除了灵魂轮回的信仰。然而，如果我们最好的科学理论要求这一学说的真实性，自然主义不会排除灵魂的转世。 [4]

那么，自然主义给了我们一个理由相信我们最好的科学理论中的实体而不是其他实体。取决于你如何看待自然主义，它可能会也可能不会告诉你是否相信你最好的科学理论的所有实体。我们认为自然主义确实给了我们一些理由相信所有这些实体，但这是可以废除的。这就是整体论脱颖而出的地方：特别是确认整体论。

确认整体论认为理论作为整体得到证实或否定（Quine 1980b，第 41 页）。因此，如果一个理论被实证结果所证实，那么整个理论就得到了证实。特别是，理论中使用的任何数学也都得到了证实（Quine 1976，第 120-122 页）。此外，在证明理论的数学成分的信念时所诉诸的证据与在证明理论的经验部分时所诉诸的证据相同（如果经验确实可以与数学分开的话）。自然主义和整体论结合在一起证明了 P1 的合理性。粗略地说，在 P1 中，自然主义给我们“唯一”，整体论给我们“全部”。

值得注意的是，蒯因的著作中至少有两个整体论主题。第一个是上面讨论的确认整体论（通常称为奎因-迪昂命题）。另一种是语义整体论，它认为意义的单位不是单个句子，而是句子系统（在某些极端情况下是整个语言）。后一种整体论与蒯因著名的对分析综合区别的否认（Quine 1980b）以及他同样著名的翻译论文的不确定性（Quine 1960）密切相关。尽管对于奎因来说，语义整体论和确认整体论密切相关，但有充分的理由区分它们，因为前者通常被认为是高度争议的，而后者被认为相对没有争议。

为什么这对当前的辩论很重要，因为奎因明确援引了有争议的语义整体论来支持不可或缺的论点（Quine 1980b，第 45-46 页）。然而，大多数评论家认为，只有确认性整体论才需要使不可或缺性论证得以充分发挥（例如，参见 Colyvan (1998a)；Field (1989，第 14-20 页)；Hellman (1999)；Resnik ( 1995a；1997）；Maddy（1992）），我的演讲遵循了这一公认的智慧。然而，应该记住，虽然这样解释的论证具有奎因式的风格，但严格来说，它并不是奎因的论证。

4. 反对意见

对于不可或缺性论证有很多反对意见，包括查尔斯·帕森斯（Charles Parsons，1980）担心奎因图景没有解释基本数学陈述的明显性，而菲利普·基彻（Philip Kitcher，1984，第 104-105 页）则担心不可或缺性论证并没有解释为什么数学对于科学来说是不可或缺的。然而，最受关注的反对意见来自哈特里·菲尔德 (Hartry Field)、佩内洛普·麦迪 (Penelope Maddy) 和埃利奥特·索伯 (Elliott Sober)。特别是，菲尔德的名词化方案主导了最近数学本体论的讨论。

Field（2016）提出了一个否定奎因-普特南论证的第二个前提的案例。也就是说，他认为，尽管表面看来，数学对于科学来说并不是不可或缺的。菲尔德的项目有两个部分。首先是认为数学理论不一定是真实的才能在应用中有用，它们只需要保守即可。 （粗略地说，如果将数学理论添加到唯名论科学理论中，则不会产生仅从唯名论科学理论中无法得出的唯名论后果。）这解释了为什么数学可以在科学中使用，但它并没有解释为什么使用它。后者是因为数学使各种理论的计算和陈述变得更加简单。因此，对于菲尔德来说，数学的效用仅仅是实用性的——数学毕竟不是不可或缺的。

菲尔德计划的第二部分是证明我们最好的科学理论可以被适当地命名。也就是说，他试图表明我们可以不需要对数学实体进行量化，并且我们留下的将是相当有吸引力的理论。为此，他满足于将牛顿引力理论的一大片片段名词化。尽管这与表明我们当前所有最好的科学理论都可以被名义化相去甚远，但这肯定不是微不足道的。我们希望，一旦人们看到如何消除典型物理理论中对数学实体的引用，那么该项目似乎可以为其他科学领域完成。 [5]

关于菲尔德计划成功的可能性存在很多争论，但很少有人怀疑其重要性。然而最近，佩内洛普·麦迪指出，如果 P1 是假的，菲尔德的项目可能与数学中的实在论/反实在论辩论无关。

Maddy 对不可或缺性论证的第一个前提提出了一些严重的反对意见（Maddy 1992；1995；1997）。特别是，她建议我们不应该对我们最好的科学理论不可或缺的所有实体做出本体论承诺。她的反对意见引起人们对调和自然主义与确认整体论的问题的关注。她特别指出，科学理论的整体观在解释科学和数学实践某些方面的合法性时存在问题。鉴于自然主义所推荐的科学实践的高度重视，这些实践大概应该是合法的。重要的是要认识到，她的反对意见在很大程度上与接受自然主义和整体论的奎因学说（用于支持第一个前提的学说）的方法论后果有关。因此，第一个前提因削弱其支持而受到质疑。

马迪对不可或缺论点的第一个反对意见是，工作科学家对经过充分证实的理论组成部分的实际态度各不相同，从相信到宽容，再到彻底拒绝（Maddy 1992，p.280）。重点是，自然主义建议我们尊重工作科学家的方法，但整体论显然告诉我们，工作科学家不应该对其理论中的实体给予如此不同的支持。麦迪建议我们应该站在自然主义一边，而不是整体论。因此，我们应该赞同那些显然不相信我们最好的理论所提出的所有实体的工作科学家的态度。因此我们应该拒绝P1。

下一个问题是从第一个问题开始的。一旦人们拒绝将科学理论视为同质单元，就会出现这样的问题：理论的数学部分是属于已证实理论的真实要素，还是属于理想化的要素。麦迪建议后者。她这样做的原因是，科学家本身似乎并不认为数学理论不可或缺的应用可以表明所讨论的数学的真实性。例如，在水波分析中经常引用水无限深的错误假设，或者在流体动力学中通常做出物质连续的假设（Maddy 1992，第 281-282 页）。这些案例表明，科学家会援引完成工作所需的任何数学知识，而不考虑所讨论的数学理论的真实性（Maddy 1995，第 255 页）。确认性整体论似乎又与实际的科学实践相冲突，从而与自然主义相冲突。麦迪再次站在自然主义一边。 （有关奎因整体论的一些相关担忧，另见 Parsons (1983)。）这里的要点是，如果自然主义建议我们在这些问题上站在工作科学家的态度一边，那么似乎我们不应该认为某些数学的必要性物理应用中的理论作为数学理论真理的指示。此外，由于我们没有理由相信所讨论的数学理论是正确的，因此我们也没有理由相信（数学）理论所提出的实体是真实的。所以我们应该再次拒绝 P1。

麦迪的第三个反对意见是，当数学家试图解决独立问题时，很难理解他们在做什么。这些问题独立于集合论的标准公理——ZFC 公理。[6]为了解决其中一些问题，已经提出了新的候选公理来补充 ZFC，并且已经提出了支持这些候选公理的论据。问题在于，提出的论证似乎与物理科学的应用无关：它们通常是数学内部的论证。然而，根据不可或缺性理论，应该根据新公理与我们当前最好的科学理论的一致性来评估它们。也就是说，集合论学家应该着眼于物理学的最新发展来评估新的公理候选者。鉴于集合论学家不这样做，确认性整体论似乎再次提倡对标准数学实践进行修订，而麦迪声称，这也与自然主义不一致（Maddy 1992，第286-289页）。

尽管 Maddy 并没有以与 P1 直接冲突的方式提出这一反对意见，但它确实说明了自然主义和确认整体论之间的紧张关系。 [7]由于这两者都是支持P1所必需的，因此反对意见间接地对P1产生了怀疑。然而，麦迪支持自然主义，因此用反对意见来证明确认性整体论是错误的。我们将把拒绝确认整体论对不可或缺性论证的影响的讨论留到我们概述索伯的反对意见之后，因为索伯得出了大致相同的结论。

埃利奥特·索伯的反对意见与麦迪的第二个和第三个反对意见密切相关。 Sober (1993) 对数学理论享有我们最好的科学理论所积累的经验支持的说法提出了质疑。从本质上讲，他认为数学理论并没有像明显的经验科学理论一样得到检验。他指出，假设是相对于竞争假设而言得到证实的。因此，如果数学与我们最好的经验假设（如不可或缺理论所声称的那样）一起得到证实，那么必定存在与数学无关的竞争者。但索伯指出，所有科学理论都采用共同的数学核心。因此，由于不存在相互竞争的假设，因此认为数学像其他科学假设一样从经验证据中获得证实性支持是错误的。

这本身并不构成对不可或缺论点 P1 的反对，正如 Sober 很快指出的那样（Sober 1993，第 53 页），尽管它确实构成了对奎因关于数学是经验科学一部分的总体观点的反对。与麦迪的第三个反对意见一样，它给了我们一些拒绝确认整体论的理由。这些反对意见对 P1 的影响取决于你认为确认性整体论对该前提的重要性。当然，如果确认性整体论被拒绝，P1 的大部分直观吸引力就会受到削弱。无论如何，面对索伯或麦迪的反对，接受不可或缺性论点的结论就是坚持这样的立场：至少可以允许对没有经验支持的实体进行本体论承诺。这即使不是完全站不住脚的，也肯定不符合奎因-普特南最初论证的精神。

5. 论证的解释版本

麦迪和索伯反对整体论的论点导致了对不可或缺论点的重新评估。如果与蒯因相反，科学家不接受我们最好的科学理论的所有实体，那么我们将何去何从？我们需要制定何时现实地对待假设的标准。关于不可或缺性论证的争论在这里发生了有趣的转变。科学实在论者至少接受那些有助于科学解释的最佳科学理论的假设。根据这种思路，我们应该相信电子，不是因为它们对于我们最好的科学理论是不可或缺的，而是因为它们以一种非常具体的方式不可或缺：它们在解释上是不可或缺的。如果数学能够以这种方式证明对科学解释的贡献，那么数学实在论将再次与科学实在论并驾齐驱。事实上，这是当代大多数关于不可或缺性论证的讨论的焦点。核心问题是：数学是否有助于科学解释？如果是，它是否以正确的方式做到这一点。

周期性蝉案例中可以找到数学如何被认为具有解释性的一个例子（Yoshimura 1997 和 Baker 2005）。北美魔蝉的生命周期为 13 或 17 年。一些生物学家提出，拥有这样的素数生命周期具有进化优势。质数生命周期意味着魔蝉可以避免竞争、潜在的捕食者和杂交。这个想法非常简单：因为素数没有重要的因素，所以很少有其他生命周期可以与素数生命周期同步。因此，Magicicadas 有一个有效的回避策略，在某些条件下，它会被选择。虽然所提出的解释涉及生物学（例如进化论、竞争和捕食理论），但解释的一个关键部分来自数论，即关于素数的基本事实。 Baker（2005）认为这是对生物学事实的真正数学解释。文献中还有其他所谓数学解释的例子，但这仍然是讨论最广泛的，并且是数学解释的典型代表。

关于这个案例的问题集中在数学是否真的有助于解释（或者它是否仅仅代表生物学事实，而真正进行解释的正是这些事实），所谓的解释是否根本是一种解释，以及是否所讨论的数学以正确的方式参与到解释中。最后，值得一提的是，尽管最近对数学解释的兴趣源于对必要性论点的争论，但数学解释在经验科学中的地位也因其本身而引起了人们的兴趣。此外，这样的解释（有时称为“数学外解释”）很自然地导致人们通过诉诸进一步的数学事实（有时称为“数学内解释”）来思考对数学事实的解释。当然，这两种数学解释是相关的。例如，如果某个数学定理的解释依赖于解释性证明，那么该定理在经验领域的任何应用都会产生一个表面上的情况，即对所讨论的经验现象的完整解释涉及内部-该定理的数学解释。由于这些和其他原因，这两种数学解释近年来引起了数学哲学家和科学哲学家的极大兴趣。

六、结论

目前尚不清楚上述批评对不可或缺性论证的损害有多大，也不清楚该论证的解释版本是否仍然存在。事实上，争论非常活跃，最近有许多文章专门讨论这个话题。 （参见下面的参考书目注释。）与这场辩论密切相关的是柏拉图主义是否还有其他像样的论证的问题。如果像一些人认为的那样，不可或缺性论证是柏拉图主义唯一值得考虑的论证，那么如果它失败了，数学哲学中的柏拉图主义似乎就破产了。相关的是其他支持和反对数学实在论的论点的地位。无论如何，值得注意的是，不可或缺性论证是主导数学本体论讨论的少数论证之一。因此，重要的是不要孤立地看待这一论点。

反对数学实在论的两个最重要的论点是柏拉图主义的认识论问题——我们如何获得因果惰性数学实体的知识？ （Benacerraf 1983b）——以及将数字简化为集合的不确定性问题——如果数字是集合，那么它们是哪些集合（Benacerraf 1983a）？除了必不可少的论点之外，数学实在论的另一个主要论点诉诸对所有话语统一语义的渴望：数学和非数学都一样（Benacerraf 1983b）。当然，数学实在论很容易应对这一挑战，因为它以与其他领域完全相同的方式解释数学陈述的真实性。 [8]然而，唯名论如何提供统一的语义还不是很清楚。

最后，值得强调的是，即使不可或缺性论证是柏拉图主义唯一好的论证，但该论证的失败并不一定认可唯名论，因为后者也可能得不到支持。然而，公平地说，如果对不可或缺性论证的反对意见持续存在，那么柏拉图主义最重要的论证之一就被削弱了。这将使柏拉图主义的基础变得相当不稳定。

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