亚里士多德与数学（三）

9。幅度的位置和连续性

在柏拉图的学院中，一些哲学家认为，无论是有限的数字（不可分割的线路）还是无限的数字（无限点线）。亚里士多德建立了几何对象的连续性和无限划分的理论。亚里士多德否认这两个概念。然而，他需要说明连续的大小，这也没有这些理论试图避免的悖论。他的帐户的要素主要是在物理IV.1-5和V.1和VI中找到的。亚里士多德的说法与可感知的幅度有关。但是，很明显，他理解这也适用于数学的幅度。

亚里士多德有很多异议，考虑了一个由实际点组成的线（同样，线平面等），包括：

一条线中没有任何点与另一点相邻。

如果一条线是由实际点组成的，那么要移动对象必须完成无限数量的任务的距离（如Zeno的反对运动的论点所建议）

要说一条线由一个无限的潜在点组成，不过是说一条线可以在任何地方分开（带有线刀，有思想等）现实。一条线的连续性在于，该行中的任何实现点都将在每一侧的线段段结合在一起。否则，说出一个潜在的点实际上将两条潜在的线固定在一起是没有意义的。

假设我有一个线路AB并将其切割在C。线AC和CB是不同的。 C是一两个点吗？

C是一个点。

C是其存在或公式（徽标）的两个点。

这仅意味着我们可以对其进行一次或两次或多次对待它。请注意，亚里士多德对连续比例说了同样的话。在A：B = B：C，B中，B是一个级级，但用作两个。

有关更多信息，请参见以下补充文件：

地位的位置和连续性

10。单位（monas）和数字（Arithmos）

10.1背景

希腊数学家倾向于将数量（Arithmos）视为多个单位。如果没有我们深深的概念，也许更好的翻译将是“算”。他们的概念涉及：

一个数字是由一些可数实体（MONAS）构建的。

数字更像是单位的串联，而不是集合。为了与现代数字进行对比，希腊对或两个既不是三重的子集，也不是三重成员。这是三个的一部分。如果我说十头牛饿了，那么我并不是说一套饿了。或指出“集合”的另一种用途，我的12件teaset在一个柜子中，而不是抽象的宇宙中。同样，这十个单元是这20个单元的一部分：



一个（一个单位）通常不是数字（但亚里士多德对此是矛盾的），因为一个数字是多个单位。

至少在对数字的理论讨论中，分数部分不是数字。

换句话说，数字是该系列的成员：2，3，…，其中1个被认为是数字的“开始”（Archê）或数字最少。

在希腊早期数学（5世纪）中，数字由卵石的布置代表。后来（至少在公元前3世纪，它们都以平均分裂的线为代表。

对于亚里士多德和他的同时代人来说，了解数字和算术有几个基本问​​题：

在几何实体和单位的情况下，数学的精确问题相似（请参见第6节）。例如，考虑一下柏拉图对手指不兼容的特征的讨论，以表现出一两件事。亚里士多德在讨论度量的讨论中处理了这个问题（请参阅第10.1节）。

可分离性问题与几何相同（请参阅第6节）。

在几何实体和单位的情况下，数学的多元化问题（第6节）相似，存在一些差异。为了计算“可感知”单位，或者是从抽象中计算的单位（参见第7.1节），需要一些个性化单元的原则，即计算什么，无论是牛还是谓语。亚里士多德说，人们总是可以找到适当的分类（我们可以假设某些分类会相当令人费解，但这充其量是一种美学，而不是逻辑上的问题）。对于单位，将使用相同的原理，使人可以个性化三角形。这就是为什么亚里士多德可以将一个点描述为单位悬挂位置的原因。算术涉及对实体不可分割的研究。

数字的统一问题：这个问题是从柏拉图到胡塞尔的数学哲学。是什么使我们确定为一个数字的统一集合？它不能是单位的物理并置。只是精神规定吗？

亚里士多德似乎并没有为：

重叠问题：什么可以保证当我添加3和5时，正确的结果不是5、6或7，即，这3中的某些单元也不在这5中。

亚里士多德为这些问题提供了三种学术解决方案。如果单位可以将它们计算在一起（例如野外的十头母牛），则是可比的。如果在概念上不可能将它们计算在一起（一个不太直观的概念），则单位是不可比的。

无与伦比的单位：形式数字被认为是序数，单位被认为是井井有条的。使这个数字3的原因不是它是三个单元的串联，而是其单位是这一系列单元中的第三个单元。因此，只有前三个单元形成数字三的单元的统一性是错误的。成为普通串联的原因，例如，一群母牛，十头母牛可以按照一系列形式数来计算它们。无与伦比的数字概念缺乏数字作为单位串联的基本概念。

可比/无与伦比的单位：表格数字当然是特殊的。每个都是单位的完整团结。例如，3的形式是三个单位的统一性。由于这是一个统一，因此这三个单位形成这个统一并不是偶然的。他们彼此之间的互相相媲美，因为它们共同构成了三个本身，也许不能单独构想。因此，它们不能成为任何其他形式号码的一部分。我们不能从三个本身中拿出2个单元，并将它们添加到六个本身的4个单元中，以使七个本身的形式数字化。 Myles Burnyeat曾经提出了一个类比，用一系列西装的扑克牌，例如钻石。[1]从ACE（单位）到10的每张卡都包含每张卡上的适当钻石（从1到10），并由其特定卡上的统一。但是，我们并没有从deuce中算出两颗钻石，而是从Trey中算出两颗钻石，而是将每张卡视为完全团结。

可比单位：这些是中间或数学数字（请参阅第6节）。有一个无限数量的单元（足以进行算术），等等。可比较的数字解决了多数问题，但不能解决统一问题。

亚里士多德报告说，某些学者选择了一种无与伦比的或可比/无与伦比的单位来解决统一问题，并引入了可比较的单元作为数学定理的对象，例如，给定一些可比的单元，即使它们可以将它们分为一半，即使它们也可以分为一半，分为两个串联，对应于（参与）同一表单数字。

10.2度量（Metron）

10.2.1背景

希腊人使用了埃及分数系统。除2/3外，所有分数都是现代读者将其视为单位分数的合适部分：1/n。例如，2/5为1/3 1/15（即1/3和1/15的总和）。此外，希腊人像我们一样使用了测量系统，将测量单位分为更精致的度量单位。 1英尺是16个指宽度（英寸）。因此，像我们一样，可以通过进行更精致的措施来消除分数（1、1/2、1/4英尺或1英尺12英寸）。在柏拉图的观察（众议员vii）中，这一措施的特征可以反映在算术中，始终可以消除单位的一部分。

10.2.2亚里士多德的观点

由于亚里士多德（尤其是形而上学X.1-2）在对单位的讨论（因此数字）的讨论下对测量进行了处理，因此事实证明，精度问题成为解决精确度量单位的问题。因此，在这种情况下，离散数量（例如母牛）非常精确，一头牛。在连续数量的情况下，最精确的时间单位是固定恒星（宇宙中最快的事物）移动最小的可感知距离所需的时间。但是，要删除位置或牛Qua单元，即数学单位的点或不可分割的点是精确的。

10.3时间

亚里士多德的时间处理时间（物理IV.10-14）包括一些关于数字最接近的数字的观察结果。亚里士多德将时间定义为变化的数量或计数，然后继续区分两种数字感官，即计算的东西（例如，由牛单元测量的十头母牛，或者按照足部单位测量的十英尺），并通过我们算出的。时间在第一意义上是数字，不是如此多的变化，而是按照一个变化单位所衡量的如此糟糕的变化。亚里士多德阐明了计算（或可计数）与我们计算的区别之间的区别。这五只黑猫（数量为数量）与这五只棕色猫不同，但是它们的数字（我们计算的）是相同的。



但是我们计算的数字是多少？亚里士多德什么也没说，但我们可能会推测，我们算出的五个是对五只黑猫五个以及使五只棕色猫五只五只棕色猫的正式解释。因此，亚里士多德可能会订阅中级和形式数字之间的亚里士多德版本。

亚里士多德的时间讨论也使我们对统一问题有所了解。赋予五个黑猫团结的是，它们可以被视为统一。由此遵循的是亚里士多德，没有任何思想就没有数字。除非存在柜台，否则什么是可数的。

11。数学和假设的必要性

对于亚里士多德来说，通常认为数学解释在自然研究中没有作用，尤其是在生物学中。最重要的是，这一概念是已故文艺复兴时期的抗胆汁素质的产物，他们试图在自己的机制和学术主义之间汲取最大的鸿沟。数学在两者中都起着至关重要的作用。数学进入生物学解释的主要方式是通过假设的必要性：

如果x具有特征y（对x有益），那么z是事实的特征。

z可能是由数学事实确定的约束。例如，天生的动物没有奇数的脚。因为如果一个人的脚奇数，它会笨拙地行走，否则脚将必须具有不同的长度（de incessuanimalium 9）。要看到这一点，请想象一个带有海拔高度的同学三角形。

12。无限（Apeiron）

亚里士多德（Aristotle）在数学和物理学领域拒绝了无限的拒绝，但一些显着的例外。他这样定义了：

无限的是总是有可能在外面带东西。

这个概念中隐含的是一系列无休止的幅度，可以通过将幅度（无限分区）或向其添加幅度（无限加法）来实现。这就是为什么他认为无限解释的无限解释是为什么它是不确定的，并且涉及潜在的切割或加入（参见第7.5节）。

亚里士多德认为，在大幅度的情况下，不可能存在无限的幅度和无限的幅度。实际上，他认为宇宙的大小是有限的。他还同意Anaxagoras的观点，鉴于任何范围，可能会较小。因此，他允许在不同意义上有无限的幅度。由于始终可以分割一个幅度，因此一系列分裂是无休止的，无限也是如此。这是一种潜力，但绝不是实际的无限。对于每个部门，可能存在。同样，由于始终可以添加比整个宇宙不断较小的幅度小的有限幅度，因此另外还有一个潜在的无限。该系列也永远不需要结束。例如，如果我添加一个脚板，然后少于半英尺，然后少于四分之一，依此类推，添加的总量将永远不会超过两英尺。亚里士多德声称，数学家永远不需要任何其他关于无限的概念。

但是，由于亚里士多德认为宇宙没有开始，而且是永恒的，因此过去有很多天数。因此，在幅度的情况下，他对实际无限的拒绝似乎并没有扩展到时间的概念。

有关更多信息，请参见以下补充文件：

无限的亚里士多德

13。亚里士多德和数学历史的证据

正如哲学家通常所做的那样，亚里士多德引用了当代数学中的简单或熟悉的例子，尽管我们应该记住，即使是我们在欧几里得（Euclid）元素中发现的基本几何形状也将是高级研究。数学上的平均教育本来是基本的算术操作（可能称为Logistikê）和计量学的几何（给定一个图的某些维度，以找到其他维度），例如在埃及也教过。亚里士多德有时会暗示这种数学，但是他的大多数示例来自我们与希腊联系在一起的数学，从给定的数字和规则中构造数字的构造，并且证明了人物具有某些属性，具有某些属性，即某些属性，以及具有某些属性的数字的“发现”，或证明某些类别的数字具有某些属性。如果我们仔细参加他的例子，我们甚至可以看到学院所教的基本几何形状的新兴图片。在补充剂中，他最喜欢的命题中有二十五个（列表并不详尽）。

亚里士多德还提出了一些真正有问题的数学主张。他对当代作品一无所知吗？他为什么忽略他那个时代的一些巨大问题？有什么理由应该期望亚里士多德，例如参考锥形部分吗？尽管如此，亚里士多德确实从事了一些原始和困难的数学。当然，在这个亚里士多德，比他的导师柏拉图更活跃的数学家。

有关更多信息，请参见以下补充文件：

亚里士多德和希腊数学

词汇表

首先给出标准的英语翻译，并在介绍其他更惯用的翻译。希腊语是括号。

a这个（tode ti）

通过删除，通过删除，取走（听音）抽象（听点）

Axiom（Axiôma）

常见的概念（koinêennoia）

定义（Horismos），（Horos）

假设（hupothesis）

无限（Apeiron）

可理解的物质（noêtikêhulê）

中间体（Ta Metaxu）;还有数学（taMathêmatika）

一切（kata pantos）

本身本身（Kath Hauto）本身

本质上的事故本身或本质上的后果（Kath’Hautosembebêkôs）

假期（论文）

假设（aitêma）

qua，从方

替代（HUPO）

单位（MONAS）

环球（Katholou）

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。