数学哲学（一）

1. 数学哲学、逻辑学和数学基础

2.四所学校

2.1 逻辑主义

2.2 直觉主义

2.3 形式主义

2.4 预测主义

3.柏拉图主义

3.1 哥德尔的柏拉图主义

3.2 自然主义和不可或缺性

3.3 贬低柏拉图主义

3.4 贝纳塞拉夫的认识论问题

3.5 丰富的柏拉图主义

4.结构主义和唯名论

4.1 数字不可能是什么

4.2 先物结构主义

4.3 没有抽象实体的数学

4.4 在画画结构主义中

4.5 虚构主义

5.专题

5.1 基础和集合论

5.2 范畴性和多元性

5.3 计算

5.4 数学证明

6. 未来

参考书目

学术工具

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相关条目

1. 数学哲学、逻辑学和数学基础

一方面，数学哲学所关注的问题与形而上学和认识论的中心问题密切相关。乍一看，数学似乎是研究抽象实体。这让人想知道数学实体的本质是什么以及我们如何获得数学实体的知识。如果这些问题被认为是棘手的，那么人们可能会尝试看看数学对象是否能够以某种方式属于具体世界。

另一方面，事实证明，在某种程度上，可以将数学方法应用于有关数学的哲学问题。这样做的背景是数理逻辑，它被广泛地认为包括证明论、模型论、集合论和可计算性理论作为子领域。因此，二十世纪见证了对有关数学本质的根本哲学理论的后果的数学研究。

当专业数学家关心其学科的基础时，他们被称为从事基础研究。当专业哲学家研究有关数学的哲学问题时，据说他们对数学哲学做出了贡献。当然，数学哲学和数学基础之间的区别是模糊的，哲学家和数学家在数学本质相关问题上的互动越多越好。

2.四所学校

十九世纪的一般哲学和科学观倾向于经验主义：理性主义数学理论的柏拉图主义方面正在迅速失去支持。尤其是一度受到高度赞扬的理性直觉观念能力受到了怀疑。因此，提出一种不含柏拉图主义元素的数学哲学理论就成为了一项挑战。在二十世纪的前几十年，发展了三种非柏拉图主义的数学解释：逻辑主义、形式主义和直觉主义。二十世纪初还出现了第四种纲领：预测主义。由于历史条件的限制，其真正的潜力直到20世纪60年代才被发挥出来。然而，它值得与大多数标准当代数学哲学导论中讨论的三个传统流派并列，例如（Shapiro 2000）和（Linnebo 2017）。

2.1 逻辑主义

逻辑主义项目在于尝试将数学简化为逻辑。由于逻辑对于本体论问题应该是中立的，因此这个项目似乎与当时的反柏拉图主义氛围相协调。

数学是逻辑的变相这一观点可以追溯到莱布尼茨。但是，只有在十九世纪阐明了中心数学理论的基本原理（由戴德金和皮亚诺）并且揭示了逻辑原理（由弗雷格），才能认真地尝试详细地执行逻辑主义计划。

弗雷格将其职业生涯的大部分时间投入到试图展示数学如何简化为逻辑（Frege 1884）。他设法从二阶逻辑系统的基本定律中推导出（二阶）皮亚诺算术的原理。他的推导是完美无缺的。然而，他所依赖的一个原则最终证明不是一个逻辑原则。更糟糕的是，这是站不住脚的。所讨论的原理是弗雷格基本定律 V：

{

x

|

F

x

}

=

{

x

|

G

x

}

当且仅当

∀

x

（

F

x

==

G

x

）

,

{x|Fx}={x|Gx} 当且仅当 ∀x(FxeqGx)，

换句话说：Fs 的集合与 Gs 的集合相同，当且仅当 Fs 恰好是 Gs。

在一封写给弗雷格的著名信中，罗素表明弗雷格的第五基本定律存在矛盾（Russell 1902）。这个论证被称为罗素悖论（见 2.4 节）。

罗素本人随后尝试以另一种方式将数学简化为逻辑。弗雷格基本定律 V 表明，对应于数学实体的每个属性，都存在一类具有该属性的数学实体。这显然太过强烈了，因为正是这个结果导致了罗素的悖论。因此罗素假设只有已经被证明存在的数学对象的属性才能确定类别。隐式引用类的谓词用于确定此类是否存在，但并不确定类。因此，获得了属性的类型化结构：地面对象的属性、地面对象的属性和地面对象的类别等等。这种类型化的属性结构决定了数学对象的分层宇宙，从地面对象开始，到地面对象的类，然后到地面对象的类和地面对象的类，依此类推。

不幸的是，罗素发现他的类型逻辑原理甚至不足以推导出算术的基本定律。除其他事项外，他需要制定一个基本原则，即存在无限的地面物体集合。这很难被视为逻辑原则。因此，将数学简化为逻辑的第二次尝试也失败了。

这些事情持续了五十多年。 1983 年，克里斯平·赖特（Crispin Wright）关于弗雷格自然数理论的书问世（Wright 1983）。在其中，赖特为逻辑主义项目注入了新的活力。他观察到弗雷格对二阶皮亚诺算术的推导可以分为两个阶段。在第一阶段，弗雷格使用不一致的基本定律 V 推导出后来被称为休谟原理的内容：

F 的数量 = G 的数量当且仅当

F

≈

G

F≈G，

在哪里

F

≈

G

F≈G表示F和G一一对应。 （这种一一对应的关系可以用二阶逻辑来表达。）然后，在第二阶段，二阶皮亚诺算术的原理是从休谟原理和公认的二阶逻辑原理推导出来的。特别是，在推导的第二部分中不需要基本法V。此外，赖特推测，与弗雷格第五基本定律相比，休谟原理是一致的。 George Boolos 等人观察到休谟原理确实是一致的（Boolos 1987）。

赖特接着声称休谟原理可以被视为逻辑真理。如果是这样，那么至少二阶皮亚诺算术可以简化为单独的逻辑。因此，一种新形式的逻辑主义诞生了。今天，这种观点被称为新逻辑主义（Hale & Wright 2001）。当今大多数数学哲学家都怀疑休谟原理是逻辑原理。事实上，甚至赖特后来也试图证明这一说法。尽管如此，许多数学哲学家认为，从本体论和认识论的角度来看，通过休谟原理引入自然数是有吸引力的。林尼博认为，由于休谟原理的左侧只是重新雕刻了右侧的内容，因此世界不需要太多的东西就能使休谟原理成为现实。因此，他将自然数和可以以类似方式引入的数学对象称为轻数学对象（Linnebo 2018）。

赖特的著作引起了数学哲学家对基本定律 V 和休谟原理等原理的关注。这些原则称为抽象原则。目前，数学哲学家试图构建抽象原理的一般理论，解释哪些抽象原理是可以接受的，哪些是不可以接受的，以及为什么（Weir 2003；Fine 2002）。此外，在二阶逻辑的弱化版本的背景下，弗雷格的基本定律 V 是一致的。但这些弱背景理论只允许从基本法V中推导出非常弱的算术理论（Burgess 2005）。

2.2 直觉主义

直觉主义起源于数学家 L.E.J. Brouwer (van Atten 2004)，它的灵感来自康德关于物体是什么的观点(Parsons 2008，第一章)。根据直觉主义，数学本质上是一种建构活动。自然数是心智构造，实数是心智构造，证明和定理是心智构造，数学意义是心智构造……数学构造是由理想的数学家产生的，即抽象是由真​​实的偶然、物理限制产生的。生活数学家。但即使是理想的数学家也仍然是有限的。她永远无法完成一个无限的构造，即使她可以完成它的任意大的有限初始部分。这意味着直觉主义坚决拒绝实际（或完成的）无限的存在；在建造活动中只给出了潜在的无限集合。一个基本的例子是各个自然数在时间上的连续构造。

从这些基于人类思维状况（Moore 2001）的关于数学本质的一般考虑，直觉主义者推断出逻辑和数学中的修正主义立场。他们发现非建设性的存在证明是不可接受的。非构造性存在证明是旨在证明具有特定属性的数学实体的存在性的证明，甚至不隐式包含用于生成此类实体的示例的方法。直觉主义拒绝非建设性的存在证明，称其为“神学的”和“形而上学的”。非构造性存在证明的显着特征是它们本质上利用了排除第三原则

φ

∨

Ø

φ

,

ψ∨ψ,

或其等价物之一，例如双重否定原理

Ø

Ø

φ

→

φ

ØØ Ø → Ø

在经典逻辑中，这些原理是有效的。直觉数学的逻辑是通过从经典逻辑中去除排除第三（及其等价物）原理而获得的。这当然会导致数学知识的修订。例如，初等算术的经典理论皮亚诺算术就不再被接受。相反，提出了一种直觉主义算术理论（称为海廷算术），它不包含排除第三原则。虽然直觉初等算术比经典初等算术弱，但差别并不那么大。存在一种简单的句法翻译，可以将所有经典算术定理翻译成可以直观地证明的定理。

在二十世纪的前几十年，数学界的部分人同情对经典数学的直觉主义批评及其提出的替代方案。当人们清楚地认识到在高等数学中，直觉主义的替代方案与经典理论有很大不同时，这种情况发生了变化。例如，直觉数学分析是一个相当复杂的理论，它与经典数学分析有很大不同。这挫伤了数学界对直觉主义项目的热情。尽管如此，布劳威尔的追随者直到今天仍在继续发展直觉数学（Troelstra & van Dalen 1988）。

2.3 形式主义

大卫希尔伯特同意直觉主义者的观点，即自然数在数学中是基础。但与直觉主义者不同的是，希尔伯特并不将自然数视为心理构造。相反，他认为自然数可以被视为符号。严格来说，符号是抽象对象。尽管如此，符号的本质是它们可以由具体物体体现，因此我们可以将它们称为准具体物体（Parsons 2008，第一章）。也许物理实体可以扮演自然数的角色。例如，我们可以采用 | 形式的具体墨水痕迹。为数字0，具体实现的墨迹||成为数字 1，依此类推。希尔伯特认为，高等数学能否以同样简单甚至具体的方式直接解释，充其量是值得怀疑的。

与直觉主义者不同，希尔伯特不准备对现有的数学知识体系采取修正主义立场。相反，他对高等数学采取了工具主义立场。他认为高等数学只不过是一种形式上的游戏。高阶数学的陈述是未经解释的符号串。证明这样的陈述只不过是根据固定规则操纵符号的游戏。在希尔伯特看来，“高等数学游戏”的意义在于证明初等算术的陈述，这些陈述确实有直接的解释（Hilbert 1925）。

希尔伯特认为，对于经典皮亚诺算术的可靠性，或者至少对于它的一个子系统，即原始递归算术（Tait 1981）的可靠性，是没有合理怀疑的。而且他认为，每一个可以绕道高等数学证明的算术命题，也可以直接在皮亚诺算术中证明。事实上，他强烈怀疑初等算术的每一个问题都可以由皮亚诺算术的公理来决定。当然，在某些情况下，用算术解决算术问题实际上是不可能的。数学史表明，通过高等数学“绕道”有时可以得到比同一陈述的任何纯算术证明更短且更深入的算术陈述证明。

希尔伯特意识到，尽管有些模糊，他的一些信念实际上可以被视为数学猜想。对于高等数学或初等算术的形式系统中的证明来说，它是一个有限的组合对象，它可以通过模编码被视为自然数。但在 20 年代，将证明编码为自然数的细节尚未完全被理解。

根据形式主义观点，高等数学形式系统的最低要求是它们至少是一致的。否则，每个初等算术陈述都可以在其中得到证明。希尔伯特还（再次模糊地）看到，高等数学系统的一致性意味着该系统至少在算术上部分是健全的。因此，希尔伯特和他的学生着手证明诸如数学分析标准假设的一致性之类的陈述。当然，此类陈述必须在数学的“安全”部分（例如初等算术）中得到证明。否则，证明不会增加我们对数学分析一致性的信心。幸运的是，原则上似乎可以做到这一点，因为归根结底，一致性语句又是模编码的算术语句。因此，准确地说，希尔伯特和他的学生着手证明经典皮亚诺算术中数学分析公理的一致性。该项目被称为希尔伯特计划（Zach 2006）。事实证明，事情比他们预想的要困难。事实上，他们甚至没有成功证明皮亚诺算术中皮亚诺算术公理的一致性。

然后库尔特·哥德尔证明了皮亚诺算术中存在不可判定的算术语句（Gödel 1931）。这被称为他的哥德尔第一不完备性定理。这对于希尔伯特的纲领来说并不是一个好兆头，但它留下了一种可能性，即高等数学的一致性不是这些不可判定的陈述之一。不幸的是，哥德尔随后很快意识到，除非（上帝禁止！）皮亚诺算术不一致，否则皮亚诺算术的一致性独立于皮亚诺算术。这是哥德尔第二不完备性定理。哥德尔不完备定理被证明普遍适用于所有足够强但一致的递归公理化理论。它们共同意味着希尔伯特的计划失败了。事实证明，高等数学不能用纯粹工具性的方式来解释。高等数学可以证明算术句子，例如一致性陈述，这是皮亚诺算术无法企及的。

所有这一切并不意味着形式主义的终结。即使面对不完备性定理，数学是形式系统科学的主张也是一致的。

这一观点的一个版本是由 Curry 提出的（Curry 1958）。根据这种观点，数学由一系列没有解释或主题的形式系统组成。 （柯里在这里为元数学做了一个例外。）相对于形式系统，我们可以说一个陈述是正确的，当且仅当它在系统中是可导的。但从根本上讲，所有数学系统都是平等的。相对于另一种系统，最多可能有一些务实的原因来选择一种系统。不一致的系统可以证明所有陈述，因此毫无用处。因此，当发现一个系统不一致时，必须对其进行修改。这只是哥德尔不完备定理的一个教训：足够强的一致系统无法证明其自身的一致性。

对于库里的形式主义立场，存在着一种典型的反对意见。事实上，数学家并不认为所有表面上一致的形式系统都是同等的。例如，他们中的大多数人不愿意承认，在算术系统中，表达皮亚诺算术一致性的算术句子是可推导的，而不是其否定是可推导的，这种偏好最终可以用纯粹实用的术语来解释。许多数学家希望坚持认为，某些形式系统的感知正确性（不正确性）最终必须通过它们正确（不正确）描述某些主题这一事实来解释。

Detlefsen 强调，不完备性定理并不排除在实践中用于解决数学家感兴趣的算术问题的高等数学部分的一致性可以通过算术建立（Detlefsen 1986）。从这个意义上说，即使希尔伯特对所有高等数学的工具主义立场最终站不住脚，某些东西也许可以从火焰中被拯救出来。

艾萨克森（Isaacson，1987）还尝试挽救希尔伯特计划的一部分。他捍卫了这样的观点，即在某种意义上，皮亚诺算术可能毕竟是完整的（Isaacson 1987）。他认为皮亚诺算术中不可判定的真实句子只能通过高阶概念来证明。例如，皮亚诺算术的一致性可以通过归纳到超限序数来证明（Gentzen 1938）。但序数的概念是一个集合论的概念，因此是非算术的概念。如果证明算术一致性的唯一方法必须使用可以说属于高阶数学的概念，那么算术一致性即使可以用皮亚诺算术语言表达，也是一个非算术问题。由此概括，人们可能会怀疑希尔伯特的猜想，即每个算术问题都可以根据皮亚诺算术的公理来决定，是否仍然是正确的。

2.4 预测主义

正如前面提到的，预测主义通常不被描述为流派之一。但只是由于偶然的原因，在第二次世界大战到来之前，预测主义并没有上升到其他学派的显赫水平。

预测主义的起源在于罗素的著作。根据庞加莱的提示，他对罗素悖论做出了以下诊断。罗素悖论的论证定义了满足以下条件的所有数学实体的集合 C

Ø

x

ε

x

Øx ∈ x。然后论证继续询问 C 本身是否满足这个条件，并得出一个矛盾。

庞加莱-罗素对此论证的诊断指出，该定义根本没有挑选出集合：不可能通过隐式引用 S 本身的条件来定义集合 S。这就是所谓的恶性循环原理。违反恶性循环原则的定义被称为谓语。集合的合理定义仅指独立于定义的集合而存在的实体。这样的定义称为谓语。正如哥德尔后来指出的那样，柏拉图主义者会发现这种推理路线缺乏说服力。如果数学集合独立于定义行为而存在，那么目前还不清楚为什么不能存在只能直接定义的集合（Gödel 1944）。

所有这些导致罗素发展了简单的和分支的类型理论，其中建立了句法限制，使得命令式定义不合时宜。在简单类型论中，定义公式中的自由变量范围涵盖要定义的集合不属于的实体。在分支类型理论中，还要求定义公式时的绑定变量的范围不包括要定义的集合。 2.1节指出，罗素的类型论不能被视为数学对逻辑的还原。但即使除此之外，人们很早就观察到，特别是在分支类型理论中，形式化普通的数学论证太麻烦了。

当罗素转向分析哲学的其他领域时，赫尔曼·韦尔开始了预测主义事业（Weyl 1918）。与庞加莱一样，外尔并不认同罗素将数学简化为逻辑的愿望。从一开始，他就发现在实践中不可能采用分支类型理论。韦尔发展了一种介于直觉主义和柏拉图主义之间的哲学立场。他认为自然数的集合是毫无问题的。但是自然数的任意子集的概念并没有被认为是在数学直觉中立即给出的。只有那些由算术（即一阶）谓词确定的子集才被认为是谓词可接受的。

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