数学哲学（完结）

但哥德尔希望大型主要公理可解决概述的持续问题。 即使在大型基本公理的背景下，连续的假设也与ZFC无关。 尽管如此，大型基本原则必须设法解决连续假设的限制版本（在肯定的）。 所谓的伍德琳红衣主教的存在可确保在分析中设定可定量的或连续体的大小。 因此，可定定的连续内问题已解决。

近年来，企图一直专注于发现可能是合理的不同类型的原则，这可能尚不决定连续假设（Woodin 2001a，Woodin 2001b）。 从本研究中出现的更一般的哲学问题是以下内容：为了成为一个规定的数学基本公理，必须满足哪些条件？

一些研究人员寻求决定连续的假设认为这是真的; 其他人认为这是假的。 但也有许多设定的理论家和数学哲学家认为，连续的假设不仅仅是ZFC中的不可行，而且绝对不可思议，即它既不可证明（在非正式意识中）也不是讨厌（在这个词的非正式意义上）因为它既不是真实也不是假的。 例如，如果数学宇宙是一个设置的理论多层次，那么就有同样的模型使连续的假设是真正的，同样好的模型，使其成为假，并且没有更多的是（Hamkins，2015）。

5.2分类和多元化

在十九世纪的下半年，Defekind证明了算术的基本公理，恰好是一个模型，并且对于实际分析的基本公理的相同保持。 如果理论有，直到同构，恰好一个模型，那么据说是分类的。 因此，Modulo同构，算术和分析各自具有一个预期的模型。 半个世纪以后Zermelo证明了集合理论的原则是“几乎”的分类或准分类：对于任何两种型号

中号

1

m1和

中号

2

设定理论原则的M2

中号

1

m1是同构的

中号

2

m2，或

中号

1

M1是强烈无法进入的等级的同构

中号

2

m2，或

中号

2

M2是强烈无法进入的等级的同性

中号

1

M1（Zermelo 1930）。 近年来，已经制定了对Zermelo的结论可以加强到完全分类的结果的争论（McGee 1997; Martin 2001），但我们不会在这里讨论这些论点。

与此同时，Löwenheim-skolem定理说，每个具有至少一个具有无限域的模型的一阶正式理论，必须具有与所有无限基数的域具有模型。 由于算术，分析和设定理论的原则更好地拥有至少一个无限模型，因此Löwenheim-Skolem定理似乎适用于它们。 这不是Dedekind的分类定理的紧张局吗？

这一难题的解决方案在于Dedekind甚至没有隐含地与算术和分析基本原则的一阶形式化。 相反，他非正式地使用了二阶形式化。

让我们专注于算术，看看这增加了什么。 算术的基本假设包含感应公理。 在算术的一流形式化中，将其制定为一个方案：对于算术语言的每个第一阶算术公式与一个自由变量，诱导原理的一个实例包括在算术的形式化中。 基本基数考虑表明，没有由一阶公式表达的自然数量无限的性质。 但直观地，似乎诱导原则适用于自然数的所有性质。 因此，在一阶语言中，无法表达数学归纳原则的全力。 出于这个原因，许多数学哲学家坚持认为算法的假设应以二阶语言（Shapiro 1991）配制。 二阶语言不仅包含一个范围的一阶量词，可以在域的元素上，还包含域中的属性（或子集）的二阶量词。 在完整的二阶逻辑中，坚持认为这些二阶量词范围在域的所有子集上。 如果算术原则以二阶语言制定，则Dedekind的论点通过，我们有一个分类理论。 出于类似的原因，如果我们以二阶语言制定真实分析的基本原则，我们也获得了一个分类理论，并且集合理论的二阶制定结果将成为准分类。

蚂蚁REM结构主义以及数学的模态名义主义结构主义解释可以从二阶制定中受益。 如果蚂蚁REM结构主义者希望被PEANO公理机构修复自然数结构，那么她希望以二阶逻辑制定PEANO公理。 莫代尔名义名义的结构主义者希望坚持认为算术的相关具体系统是那些使二阶PEANO公理真实的算法（Hellman 1989）。 同样，实际分析和设定理论。 因此，对二阶逻辑的吸引力显示为隔离数学预期模型的结构主义项目中的最后一步。

目前对数学哲学中的二阶逻辑的吸引力决不是无助的。 第一次反对意见是二阶逻辑的本体论承诺高于一阶逻辑的本体论承诺。 毕竟，使用二阶逻辑似乎致力于抽象对象的存在：课程。 为了响应这个问题，Booleos阐述了对二阶逻辑的解释，避免了对抽象实体的这种承诺（Boolecos 1985）。 他的解释在没有调用课程的情况下，在多元表达式方面阐述了二阶量词的真实条款。 例如，表格的二阶表达

∃

x

f

（

x

）

∃xf（x）被解释为：“有一些（一阶对象）x，使它们具有属性f”。 这种解释称为二阶逻辑的复数解释。 它是争议的多个和套装数的数学使用与套件（LINNEBO 2003）之间存在实际差异。 然而，很明显，对二阶逻辑的复数解释的吸引力将诱人的结构主义的名义版本。

对二阶逻辑的第二反对反映可以追溯到奎因（Quine 1970）。 这种反对意见指出，完整二阶逻辑的解释与设定理论问题有关。 这已经表明了二阶逻辑的大多数法班，采用了作为其公理之一的首选公理版本。 但更令人担忧的是，二阶逻辑与集合理论的深层问题有不可分割的逻辑，例如连续的假设。 对于诸如意图描述无限收集物体的算术等理论，即使是基本的问题，作为二阶量词范围的基数的问题，也相当于连续性问题。 此外，事实证明，如果连续的假设持有（Boolecos 1975），则存在一个句子是二阶逻辑事实。 我们已经看到连续性问题独立于目前已接受的集合原则。 许多研究人员认为它绝对是真实的无价值。 如果这是如此，那么在二阶无限模型的非常概念中存在固有的不确定性。 而许多当代的数学哲学家采取后者不需要确定真理价值。 因此，据说，（无限）全部二阶逻辑模型的非常概念本质上是不确定的。

如果一个人不想吸引全额二阶逻辑，那么还有其他方法可以确保数学理论的分类。 一个想法是利用量子在一定阶层和二阶量词之间的中间的量子。 例如，可以将“有限地许多X”视为原始量化。 这将允许一个到例如，构建算术的分类公理化。

但确保数学理论的分类不需要引入更强的量词。 另一种选择是将算法计算性的非正式概念作为原始概念（Halbach＆Horsten 2005; Horsten 2012）。 Tennenbaum的定理指出，所有一阶模型的PEANO算法在其中添加和乘法是可计算的功能，彼此同构是同性的。 现在我们的加法和乘法的操作是可计算的：否则我们永远无法学习这些操作。 然后，这是另一种方式，我们可以将我们的算术原则的预期模型隔离。 然而，对此账户可能指出，例如，似乎无法以这种方式确保实际分析的预期模型的分类。 对于对实际分析原则的模型进行计算，我们没有扮演Tennenbaum定理的角色的定理。

如果接受算术谓词集合的某个开放性，则可以获得用于算术的种类的分类定理，而无需超出一阶逻辑的界限并且不吸引到非正式的可计算概念。 假设有两个数学家，a和b，谁都在自己的独立形式中断言一阶的peano-axioms。 此外，A和B还考虑哪些谓词的谓词是开放式结束的，并且愿意接受其他的诱导方案为真实。 然后A和B有必要说服自己既有成种形式描述的同构结构（寄宿1990b）。 此类参数称为内部分类参数。 他们在数学的Contemogy哲学中得到了广泛的争论：例如（2019年按钮和Walsh）。

许多人对数学哲学哲学的哲学利用持怀疑态度持怀疑态度持怀疑态度，以哲学讨论我们一贯的数学理论，拥有许多结构不同的模型，并采取所有或许多模型彼此相提并论。 正如我们在先前的子部分所见，所设定的理论多层次视图是一个案例，因此设定了理论潜在主义。 但是，人们可以进一步进一步，捍卫任何一致的数学理论描述一个独立的数学宇宙，而且没有比任何其他理论更真实（Linsky＆Zalta 1995，Bueno 2011）。

这些理论属于一系列称为数学多元化的观点，这是数学哲学中越来越突出的主题。 从历史上看，这种观点的星座在希尔伯特和卡纳帕的工作中有根源。 在与Frege的辩论中，希尔伯特坚持认为，一致性足以进行数学理论有主题（Resnik 1974）; Carnap认为，在替代的大规模理论（框架）之间的选择最终永远不会超过一个务实的物质（Carnap 1950）。

正如哲学的到处都是，这里有分歧：对于数学真理是一种不可撤销的使用相对概念，看（Koellner 2009b），以及蒸馏，参见（沃伦2015）的批评。 一些通过进一步迈出一步，并争论所有不一致的数学理论应该被视为真实（在相对的意义上）来对数学多元化作出反应。 此外，一些在不一致的意义上微不足道的数学理论通常被认为是与许多古老的一致的理论一样有价值：“历史上，有三个[作者知识]数学理论对此产生了深远的影响数学和逻辑，发现是微不足道的。 克罗尔的天真集面理论，弗雷格的正式逻辑理论和教会的正式数学逻辑理论。 所有三个都对后续数学的谴责“（朋友2013，第294页）。

5.3计算

直到公平地，最近，计算的主题在数学哲学中没有得到很多关注。 这可能部分原因在于，在数量理论的希尔伯特式公理化中，在PEANO算术中降低了计算。 但近年来这种情况发生了变化。 似乎与数学实践中计算的重要性增加，对计算概念的哲学思考将在未来几年中占据数学哲学中的更加突出的位置。

教堂的论文占据了可计算性理论的中央处。 它说，可以通过图灵机来计算自然数上的每种算法上可计算功能。

作为一个原则，教会的论文有一个有点好奇的地位。 这似乎是一个基本原则。 一方面，原理几乎普遍认为是真实的。 另一方面，很难看出如何在数学上证明。 原因是其前所未有的包含非正式概念（算法计算性），而其结果包含纯数学概念（图灵机可计算性）。 数学证明只能连接纯粹的数学概念 - 似乎。 接受的观点是我们教会论文的证据是准经验。 试图找到令人信服的对教会的论文的反击来扼杀。 独立地，已经进行了各种建议，以在数学上捕获自然数上的算法上可计算的功能。 已经提出了已经提出了一般递归，赫尔邦-Gödel可计算性，Lambda可定义的概念。 但这些数学概念都结果等同。 因此，要使用意大利人术语，我们积累了教会论文真实性的外在证据。

Kreisel很久以前指出，即使论文无法正式证明，可能仍然可以从严格但非正式的直观概念分析（Kreisel 1967）中获得内在证据。 Kreisel在非正式严格中致电这些练习。 Sieg的详细奖学金揭示了精美的文章（TITE 1936）构成了刚性算法计算性直观概念的这种分析的精美示例（SIEG 1994）。

目前，在计算领域和计算哲学领域中最积极的调查科目似乎是以下情况。 首先，已经投入能量在除了自然数以外的结构上开发算法计算的理论。 特别地，已经努力获得关于各种结构上的算法计算的教会论文的类似物。 在这方面，近几十年来制定了对实数的有效计算理论（Pour-El 1999）的实质性进展。 其次，已经尝试阐明人类算法可计算的计算概念。 这里特别感兴趣的一个区域是量子计算面积（Deutsch等人。2000）。

5.4数学证明

我们对正式证明和正式可释放的概念，它们与算法可计算性的联系以及这些概念所受的原则。 例如，我们知道，正式系统的证明是可计算的令人令人令人令人令人令人令人令人令人令人令人谈应的，并且声音（足够强烈）正规系统的可加素受到哥特的不完整定理。 但是在数学期刊中发现它的数学证据不是逻辑学的意义上的正式证明：它是一个（严谨）的非正式证明（MyHill 1960，Detlefsen 1992，Antonutti 2010）。

首先，而在正式系统中可提供的句子的集合总是可算起的，而我们少了解非正式可简化概念的延伸。 卢卡斯（Lucas 1961），后来的Penrose（PenRose 1989,1994）认为，在任何给定的正规系统中都有非正式的数学证明额外销售。 但他们的论点被广泛被视为不受保人。 BenaCerraf争论卢卡斯和PenRose，不能被排除在内，有一个正式的制度

时间

T这样实际上，数学证明与可加速度相一致

时间

虽然我们无法知道它确实（Benacerraf 1967）。 其他人认为，非正式数学可证明的概念甚至没有足够的问题，因为它的延伸是可计算地令人愉快的，以便有一个明确的答案（Horsten＆Welch 2016）。

其次，没有关于标准的符合符合条例作为数学证据的协议。 根据可能被称为接收的视图，对陈述的数学参数

p

P如果参数允许称情的数学家将其转化为正式扣除，则P构成非正式数学证明

p

P通常接受的数学公理（Avigad 2021）。 然后可以将非正式的数学证据成为衍生指示器

p

p（Azzouni 2004）。 但近年来，收到了数学证据标准的视图已经受到攻击。 例如，已经争辩说，非正式数学证据中的原因内部，直到达到逻辑上正确和非椭圆的一阶推导，可以是无限的过程（RAV 1999，第14-15页）。 其他人正在安装辩护所接受的观点，因此目前有一种关于这些问题的热闹辩论（Tatton-Brown即将到来，Di Toffoli 2021）。

过去几十年目睹了第一次出现的数学证明，其中电脑似乎发挥重要作用。 四色定理是一个例子。 它说，对于每张地图，彩色国家只需要四种颜色，使得没有两个具有共同边界的国家接受相同的颜色。 本定理在1976年证明（Appel等人1977）。 但证明区分了计算机验证的许多情况。 这些计算机验证太长，不能被人类双重检查。 四种颜色定理的证明在多大程度上提出了关于这个问题的争论，计算机辅助证明作为真正意义上的证据。

收到的视图具有它的数学证明产生了先验的知识。 然而，当我们依靠计算机生成一部分证明时，我们似乎依靠计算机硬件的正常运行以及计算机程序的正确性。 这些似乎是经验的因素。 因此，人们旨在得出结论，计算机证明产生准经验知识（Tymoczko 1979）。 换句话说，通过计算机证明的出现，证据的概念已经失去了纯粹的先验品格。 相比之下，培训认为，由于我们依赖于我们接受计算机证明的经验因素，而不是参数中的房屋，毕竟计算机证明可能会产生先验的知识（Burge 1998）。 （伯格后来撤回了本声明：见（培训2013，第31页）。）

6.未来

在二十世纪，数学哲学的研究主要围绕着数学对象的性质，管理它们的基本法以及我们如何获得关于他们的数学知识。 这些是与传统的形而上学和认识论问题密切相关的基本问题。

在二十世纪下半叶，科学哲学的研究在很大程度上妨碍了基础问题。 相反，与科学知识和科学理解的增长有关的哲学问题变得更加中心。 早在20世纪70年代，有声音认为，应该在数学哲学中进行类似的注意转变。 Lakatos启动了对数学概念演变的哲学调查（Lakatos 1976）。 他认为，数学概念的内容大致走动了以下方式。 数学家制定了一个深刻的猜想，但无法证明它。 然后发现针对猜想的校长。 作为响应，仪表中的一个或多个中央概念的定义以这样的方式改变，即至少消除了反例。 仍然无法证明如此修改的猜想，逐步出现新的反征。 修改一个或多个中央概念的定义的步骤再次又一次地应用，直到找到猜想的证据。 Lakatos称这个程序概念伸展。 近几十年来，Lakatos的数学概念变化模型已被修订和精致（Mormann 2002）。

几十年来，认为数学的哲学应该采取历史，社会学转向，仍然限于数学哲学中的一个有点边缘思想。 然而，近年来，这种新的数学实践的反对一方面的数学运动，另一方面是数学的哲学，正在软化。 与数学实践有关的哲学问题，数学理论的演变和数学解释和理解变得更加突出，并且与来自数学哲学的传统主题（Mancosu 2008）有关。 在未来几年内，这种趋势无疑会持续下去。

例如，让我们缩写返回计算机证明的主题（参见第5.3节）。 数学家在面对计算机证据时经历的不适的来源似乎是如此。 一个“好”的数学证明应该做的事情不仅仅是说服我们一定的陈述是真实的。 它还应该解释为什么有问题的陈述持有。 这是通过参考经常链接不同数学域（Menders 1989）之间的深度数学概念之间的深层关系来完成的。 到目前为止，计算机证明通常只采用相当低的数学概念。 他们在自己开发深刻的概念时令人惊奇地弱势，并且难以将概念与不同数学领域联系起来。 这一切都会导致我们刚刚刚刚开始获得其应得的注意：数学理解是什么？

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