笛卡尔的数学（一）

一、笛卡尔数学研究的背景

1.1 曲线的构造和几何问题的求解

1.2 几何分析与代数

2.笛卡尔的早期数学研究（约1616-1629）

2.1 文本和来源

2.2 问题与建议

3.《几何》（1637）

3.1 第一卷：笛卡尔的几何分析

3.2 第二册：曲线分类与几何综合

3.3 笛卡尔几何微积分的张力和局限性

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一、笛卡尔数学研究的背景

当笛卡尔的数学研究在十七世纪初开始时，数学家们正在努力解决有关几何证明的适当方法的问题，特别是确定满足精确和严格的几何标准的曲线的标准，从而可以在数学中使用这些曲线。解决几何问题。 1588 年，康曼迪诺 (Commandino) 出版了帕普斯文集 (Pappus’s Collection)（公元四世纪初）的拉丁文译本，这些问题给数学家们带来了更多的紧迫感。在该集中，帕普斯诉诸古代几何实践，因为他提供了关于如何解决几何问题的规范性主张。早期现代读者特别关注帕普斯的建议，即（1）数学家应如何构造几何证明中使用的曲线，以及（2）几何学家应如何在解决几何问题中应用分析和综合的方法。曲线的构建将在下面的 1.1 节中进行处理，分析和综合将在下面的 1.2 节中进行。

1.1 曲线的构造和几何问题的求解

帕普斯关于构造几何曲线的正确方法的主张是根据古代几何问题的分类来表达的，他在该集的第三卷中对此进行了著名的描述：

古人说几何问题有三种，有的叫平面，有的叫立体，有的叫线；那些可以用直线和圆的周长解决的问题被正确地称为平面，因为解决这些问题所用的线都起源于平面。但是，必须通过在构造中假设一个或多个圆锥截面来解决的此类问题被称为立体问题，因为对于它们的构造，必须使用立体图形（即圆锥体）的表面。还有第三种，称为线状。因为在它们的构造中，除了刚才提到的那些之外，还假定了其他线条，这些线条具有不稳定且可变的起源，例如螺旋线，以及希腊人称之为 tetragonizousas [“方形制作”] 的曲线，我们称之为“quandrantes”，并且贝壳状和西索状，它们具有许多令人惊奇的特性（Pappus 1588，III，§7；翻译自 Bos 2001，38）。

我们在上面的评论中注意到，帕普斯对几何问题的分类基于解决问题所需的曲线的构造：如果一个问题是通过直尺和圆规可构造的曲线来解决的，那么它是平面的；如果问题是通过圆锥曲线可构造的曲线来解决的，则该问题是固体的；如果一个问题是通过一条需要更复杂构造的曲线（具有“不稳定且可变的原点”）来解决的，那么它就是线状的。尽管关于如何对几何问题进行分类的看似简单的指示，帕普斯的文本中对于所谓的实线和类线问题（需要构建二次曲线和更复杂的曲线（例如螺旋线）的问题）是否是数学问题仍然含糊不清。事实上可以通过真正的几何方法来解决。也就是说，对于早期现代数学家来说，存在着歧义，因此存在一个悬而未决的问题，即无法通过直尺和圆规构造解决的问题是否符合严格的几何标准。 （有关直尺和圆规作图在希腊数学中的特殊地位，请参阅 Heath (1921) 和 Knorr (1986)。有关希腊数学历史发展的有用概述，请参阅 Merzbach 和 Boyer (2011) 等经典著作以及第 1 卷克莱恩（1972）。）

几个例子将有助于阐明这里的利害关系。将给定角度平分的问题算作平面问题，因为正如欧几里得在几何原理 I.9 中详细描述的，为了构造将给定角度分成两个相等部分的线段，我们（通过圆规）构造三个相等的圆半径，然后（用直尺）将角的顶点与圆相交的点连接起来（Euclid 1956，卷 I，264–265）。请注意，为了生成解决方案，曲线用于构造一个给出问题解决方案的点，即通过构造圆，我们确定了一个可以平分曲线的点。 （在处理轨迹问题时，例如帕普斯问题，所构造的曲线本身就是问题的解决方案。请参阅下面的第 3 节。）另一方面，三等分角度的问题被认为是类似线的问题问题，因为它的解决方案需要构造曲线，例如螺旋线，而直尺和圆规无法构造这些曲线。也许在类似线的问题中最著名的是化圆为方的问题。对于那些认为这个问题可以解决的人来说，解决方案需要构造一条曲线，例如四边形，这是古人为了解决这个问题而提出的曲线（这就是曲线得名的原因）。当然，这种曲线的生成是可以描述的；阿基米德在他的《螺旋》的定义 1 中描述了螺旋的生成，帕普斯在《集合》的第四册中描述了四边形的生成。然而，这些描述被认为“更复杂”，正是因为它们超出了直尺和圆规构造生成的曲线的交点。例如，根据阿基米德的说法，螺旋是通过围绕给定点均匀移动线段，同时追踪本身沿着线段均匀移动的点的路径来生成的。而且，根据帕普斯的说法，四边形是由两条线段的匀速运动生成的，其中一条线段围绕给定圆的中心移动，另一条线段穿过圆的象限。 （参见 Bos 2001, 40-42，了解这两种构造的详细信息。）同样，圆锥曲线的构造被认为更加复杂：构造圆锥曲线的公认技术之一需要以指定方式切割圆锥体，这再次超出了对直尺和圆规可构造的相交曲线的考虑。

在该集合中，帕普斯没有对二次曲线和“更复杂”的曲线是否符合几何构造的严格标准以及它们是否在几何领域中被认可给出明确的结论。就二次曲线而言，他依靠阿波罗尼乌斯的评论并报告了这些曲线对于某些问题的综合（或证明）的有用性（Pappus，116）。然而，声称一条曲线有用与声称它可以通过适当的几何方法构建有很大不同（我们将在下面更清楚地看到）。此外，就四边形而言，帕普斯在《文集》第四册中阐述了曲线的描述，然后立即着手识别对曲线描述的常见反对意见，例如，在定义中存在一个小原则曲线，但没有评论这些反对意见是否可以克服。因此，尽管古人知道二次曲线和其他复杂曲线可以用来解决悬而未决的问题，但早期现代数学家并不清楚古人是否认为这些解决方案是真正的几何解决方案。换句话说，从帕普斯的收藏中并不清楚这些曲线是否可以用于解决几何问题，因此，是否可以解决实体问题（例如确定给定线段之间的平均比例）或线状问题（例如三等分角度）并化圆为方）有真正的几何解决方案。

因此，在科曼迪诺翻译的该集出版后，早期现代数学家更加关注这些曲线是否以及为什么应该用于解决几何问题的问题。螺旋线和四边形在此类讨论中很突出，因为如上所述，它们可以用来解决一些更著名的突出几何问题，即角三等分和化圆为方。 [2] 例如，克里斯托夫·克拉维乌斯在他的《欧几里得几何原理》第二版和扩展版（1589 年）（首次出版于 1574 年）以及他的《几何实践》（1604 年）中讨论了四边形的地位。克拉维乌斯接受了对帕普斯在文集中详细描述的四边形的反对意见，提供了他认为的“真正的几何”曲线构造，这将使其在解决几何问题和解决化圆问题中的使用合法化尤其。他的构造是逐点的：我们从圆的象限开始（如帕普斯的描述），但克拉维乌斯不是依靠均匀移动的线段的交点来描述曲线，而是首先识别平分线段之间的交点象限和平分象限弧的线段。也就是说，我们识别出可由直尺和圆规构造的线段的几个交点，然后，为了生成四边形，我们连接沿所寻找的曲线均匀分布的（任意多个）交点。因此，要根据克拉维乌斯方法构造四边形，我们仍然超出了基本的直尺和圆规构造（在这种情况下连接点不能像平分的情况那样用直尺完成），但不需要考虑符合帕普斯建造要求的线条。 （参见 Bos 2001, 161–162 了解 Clavius 对四边形的构造，并与 Pappus 在 Bos 2001, 40–42 上的构造进行比较。有关笛卡尔对 Clavius 逐点构造的评估，请参见下面的 3.3 节。）

根据 Clavius 1589 年的评论，这种四边形的点式构造是对 Pappus 提供的四边形构造的改进，因为它更准确：由于点式构造允许人们识别沿曲线的任意多个点，因此可以用更大的比必须考虑两条移动线的交点的精度。为了支持他的观点，克拉维乌斯将他对四边形的逐点构造与“伟大的几何学家”阿波罗尼乌斯提出的圆锥曲线的逐点构造联系起来，并声称“除非有人想拒绝阿波罗尼乌斯提出的整个圆锥曲线学说，因为它是无用的和非几何的” ，“人们被迫接受我们目前对[四边形]的描述，认为它完全是几何的”（引自 Bos 2001, 163）。然而，在他后来的《几何实践》（1604）中，克拉维乌斯调整了他对四边形和二次曲线的评估。他认为，这些更复杂的曲线可以通过提供更高精度的逐点方法来构建，但由此生成的曲线不再呈现为绝对几何的。相反，它们被表现为“更准确”、“更容易”和“以某种方式”几何化（Bos 2001, 164-5）。

弗朗索瓦·维特（François Viète）在他的《几何增补》（1593）中还解决了几何学中的突出问题，这些问题可以通过曲线来解决，而直尺和圆规无法构造这些问题。他声称，通过采用所谓的纽西斯问题可以解决的假设，至少可以通过适当的几何方法来解决一些此类问题。也就是说，他假设给定两条线，一个点

氧

O，和一段

一个

a、可以画一条直线

氧

O 两条线相交的点

一个

一个和

乙

乙使得

一个

乙

=

一个

AB=a（Bos 2001, 167–168）。在补充中，Viète 表明，一旦我们接受 Neusis 问题是可解的这一基本几何假设，那么我们就可以通过合理的几何手段来解决三等分给定角度和构造两条给定线之间的两个平均比例的问题段。具体且重要的是，我们生成这些解决方案而不必依赖二次曲线或高阶曲线的构造，例如螺旋线或四边形（Bos 2001, 168）。

Neusis 假设是 Viète 解决问题的有力工具：通过假设 Neusis 问题可以解决，他将可接受的几何构造的范围扩展到直尺和圆规之外。然而，关于这一假设作为公设的可接受性的问题仍然存在，因为维埃特没有详细说明 neusis 问题的构造，而只是声称 neusis 假设对他的读者来说应该不难接受。在做出这一假设时，他与古代几何学家截然不同，对古代几何学家来说，纽西斯问题只能通过直尺和圆规无法构造的曲线来解决。例如，帕普斯（Pappus）将纽西斯（neusis）的构造变成了固体问题，并在《集合》第四卷中通过圆锥曲线解决了它，尼科梅德斯（Nicomedes）将纽西斯（neusis）的构造变成了线状问题，并设计了西索曲线（cissoid）来解决它。 （关于 Pappus 的解决方案，请参见 Bos 2001, 53-54；关于 Nicomedes 的解决方案，请参见 30-33。另请参见 Pappus 1986, 112-114，关于将神经痛分类为已解决问题。）

尽管如此，根据维埃特的说法，如果一个问题不能通过neusis解决，那么合法性问题仍然存在。例如，螺旋线和四边形（分别由阿基米德和帕普斯用来平方圆的曲线）都不能以与纽西斯相同的明显且“不困难”的方式构建。维埃特似乎承认四边形的逐点构造，例如克拉维乌斯提出的，实际上比曲线的其他构造更精确，但是维埃特声称，这种更高的精度并不能使其作为真正几何的地位合法化。事实上，这种精确的描述依赖于仪器，因此也依赖于机械艺术，因此不是几何学的。此外，Viète 声称，一般来说，不是由曲线相交构成的曲线，例如阿基米德螺旋线，“没有以真正知识的方式描述”（Bos 2001, 177）。因此，就像四边形一样，这些曲线不是合法的几何图形，这使得化圆为方的问题成为 Viète 的一个悬而未决的问题。

1.2 几何分析与代数

维埃特解决几何问题的计划具有额外的意义：通过采用可以解决纽西斯问题的假设，维埃特能够将几何构造与他对几何问题的代数分析联系起来，并表明三次方程具有真正的几何解（即，可以通过考虑相交的几何曲线来构造三次方程的根）。 Viète 的程序很好地说明了早期现代数学中代数与几何问题解决的融合，此外，还很好地说明了解释帕普斯在集合中关于数学家应如何在几何问题解决中应用分析和综合方法的主张的一种有影响力的方式。

如上所述，帕普斯关于《文集》中分析（解析）和综合（合成）双重方法的言论受到了早期现代读者的广泛关注。正如他关于几何曲线构造的评论一样，他的讨论中也存在含糊之处，这引发了对该方法及其在几何问题中的应用的不同解释。以下是帕普斯在《文集》第七册中声称的分析和综合的一部分：

现在，分析是一条从人们所寻求的东西（就好像它是通过其后果而建立的）到通过综合而建立的东西的道路。也就是说，在分析中，我们假设所寻求的东西就好像它已经实现一样，并寻找它所遵循的事物，并再次寻找在此之前发生的事物，直到通过以这种方式回归，我们遇到其中的一些事物那些是已知的，或者占据第一原则的地位。我们将这种方法称为“分析”，就好像说阿那帕林裂解（向后还原）。在综合中，通过逆转，我们假设分析中最后获得的东西已经实现，并且现在按照自然顺序设置之前遵循的先例，并将它们相互拟合，我们达到了结果构建所寻求的东西。这就是我们所说的“综合”（Pappus，82-83）。

帕普斯在这里提供的一些指令看起来很简单。数学家首先假设所追求的东西就好像它已经实现一样，直到通过分析，她得到了已知的东西。然后，数学家反转步骤，通过综合，“按自然顺序”提出从已知到所寻求的推论。然而，帕普斯的讨论存在歧义。也许最重要的是，尚不清楚反转分析步骤如何能够提供所陈述问题的证明或综合，因为分析的推论依赖于条件（如果

x

x，那么

y

）

y) 而逆转需要双条件

(

x

(x 当且仅当

y

）

y) 实现综合（参见 Guicciardini 2009, 31-38 了解有关帕普斯言论的进一步解释问题；有关文艺复兴时期的分析和综合的更多信息，请参见经典的 Hintikka 和 Remes 1974、Otte 和 Panza 1997 以及 Panza 2007 中的论文） 。尽管存在歧义，但对于维埃特和其他早期现代数学家来说，讨论中有一个非常重要的特征：帕普斯明确表示，古人有一种可以使用的分析方法，许多早期现代数学家试图将这种古代方法与现代数学方法结合起来。他们使用的几何分析的代数方法。

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