笛卡尔的数学（二）

在十六世纪末之前，数学家已经使用代数来分析几何问题，但 Viète 详细信息程序标志着向前迈出了重要一步。一方面，在他 1591 年的 Isagoge [分析艺术导论] 中，该书是作为恢复古代分析的更大项目的一部分（题为恢复数学分析或新代数的书）而提出的，Viète 引入了一种符号：使他能够以一般的方式对待震级。他使用的文字符号（辅音和元音分别取决于方程中的变量是否未知或不确定）通常表示量值，并且不指定它们是算术量值（数字）还是几何量值（例如线段或角度） 。因此，他可以表示一般应用于量值的算术运算。例如，

一个

+

乙

A+B表示两个量值相加，不指定是否

一个

一个和

乙

B 是数字（在这种情况下，加法代表计数过程）或几何对象（在这种情况下，加法代表两条线段的组合）（参见 Viète 1591, 11–27；了解 Viète “新代数”的意义）有关早期现代数学，请参阅 Bos 2001，第 8 章；Mahoney 1973 年，第 2 章；Pycior 1997 年，第 1 章）。

另一方面，Viète 提出的几何问题的代数、符号分析是提供几何解决方案的三步过程中的第一步。这三个阶段是：（1）zetetics，涉及问题的代数分析（或阐述）； (2) 粒子学，它通过诉诸比例理论来澄清量值之间的关系（参见 Giusti 1992 关于比例理论对于 Viète 数学的重要性）； （3）训诂学，它提供了问题的真正的几何解决方案（或证明）。为了更好地理解解经学和训诂学阶段之间的联系（大致对应于古代的分析和综合阶段），请考虑识别两个平均比例的问题。从几何角度来看，问题如下：

给定线段

一个

一个和

乙

乙、找到

x

x 和

y

y 使得

一个

：

x

::

x

：

y

::

y

：

乙

a:x::x:y::y:b，或者换句话说，这样

一个

x

：

x

y

：

y

乙

轴:xy:yb

在维埃特分析的zetetic（分析）阶段，我们遵循帕普斯的指示，通过用变量命名未知数来精确地对待“所寻求的东西，就好像它已经实现一样”。然后，通过假设比例之间的等价性（如 Viète 所做的那样），我们可以求解变量

x

x 和

y

y 并确定

x

x 和

y

y 有以下关系

一个

一个和

乙

乙：

x

2

=

一个

y

x2=ay 且

y

2

=

x

乙

y2=xb。

解 (1) 为

y

是的，我们有

y

=

x

2

/

一个

y=x2/a，代入式(2)，得

y

2

=

(

x

2

/

一个

）

2

=

x

4

/

一个

2

=

x

乙

y2=(x2/a)2=x4/a2=xb，得出：

x

3

=

一个

2

乙

x3=a2b。

解 (2) 为

x

x，我们有

x

=

y

2

/

乙

x=y2/b，代入式(1)，得

x

2

=

(

y

2

/

乙

）

2

=

y

4

/

乙

2

=

一个

y

x2=(y2/b)2=y4/b2=ay，得出：

y

3

=

一个

乙

2

。

y3=ab2。

那么，从代数角度来说，找到两个均值比例的问题可以详细阐述如下：

给定（大小）

一个

一个和

乙

b、问题是求（数量级）

x

x 和

y

y 使得

x

3

=

一个

2

乙

x3=a2b 且

y

3

=

一个

乙

2

y3=ab2。

在这个zetetic分析阶段，几何问题转化为求解标准形式三次方程（即不包含二次项的三次方程）的代数问题。然而，对于 Viète 来说，问题的真正解决方案必须在训诂学阶段提供，它提供了几何构造，从而提供了综合或证明。 [3]正是在这里，neusis 假设提供了找到这样一个解的保证：通过假设 neusis 问题已解决，我们可以构造满足上面两个三次方程的曲线（即，我们可以构造方程的根）从而构造出所寻求的平均比例。换句话说，在 Viète 的程序中，解决需要确定指定三次方程根的代数问题和解决需要构造曲线的几何问题之间存在假定的等价性。我们在他对三等分角的处理中也看到了这一点：解决角三等分问题就是解决两个标准形式的三次方程，Viète 在他对几何问题的代数阐述中揭示了这一点（参见 Bos 2001, 173–176） 。事实上，假设纽西斯假设，我们可以求解任何标准形式的三次方程，并且由于当时已经知道所有四次方程都可以简化为标准形式的三次方程，Viète 通过他的代数结合提供了他 1594 年补编中的几何学是一个程序，可以解决所有可以用三次和四次方程详细阐述的线类问题。

尽管维埃特的程序非常强大，但对于实践数学家来说仍然存在问题。我们是否应该像 Viète 所敦促的那样，接受纽西斯公设“并不困难”，从而将其作为几何学的基本构造原则？我们是否应该跟随 Viète 的说法，声称其他在几何中具有显着解决问题能力的曲线（例如螺旋线和四边形）不是合法的几何曲线，因为它们无法通过 neusis 构造？此外，维埃特在代数和几何之间建立的联系也存在疑问。特别是对于笛卡尔来说，存在这样的问题：用方程表达的代数问题的解和需要构造曲线的几何问题的解之间是否可以建立更深层次、更基本的联系。然而，笛卡尔在研究几何和代数问题十多年后，直到 1630 年代初才完全解决这些问题。

2.笛卡尔的早期数学研究（约1616-1629）

2.1 文本和来源

基于《方法论》（1637）第一部分中的自传叙述，笛卡尔描述了他在“欧洲最著名的学校之一”时学到的东西（AT VI，5；CSM I，113），人们普遍认为，笛卡尔最初的数学研究是在他还是拉弗莱什学院的学生时开始的。他在《话语》中报告说，当我们年轻的时候，他的数学研究包括一些几何分析和代数（AT VI，17；CSM I，119），他还提到他“喜欢数学，因为数学的确定性和准确性”其推理不证自明”（AT VI，7；CSM I，114）。然而，1637 年的自传素描中没有提及具体的文本或数学问题。因此，我们依靠信件中的评论来了解笛卡尔在拉弗莱什数学研究的更具体细节，这些评论强烈表明克拉维乌斯是笛卡尔最早（也许甚至是最初）数学研究的关键人物。例如，在 1646 年 3 月约翰·佩尔 (John Pell) 写给查尔斯·卡文迪什 (Charles Cavendish) 的一封信中，我们有充分的理由相信，大约1616 年，当笛卡尔在拉弗莱什 (La Fleche) 读书时，他读了克拉维乌斯的《代数》(1608)。佩尔在报道同年早些时候在阿姆斯特丹与笛卡尔的会面时特别写道，“[笛卡尔]说，除了 30 多年前阅读的克拉维代数之外，他没有其他代数老师”（引自 Sasaki 2003, 47；参见AT IV, 729–730 和 Sasaki 2003, 45–47 了解该信的其他相关部分）。此外，在 1629 年 11 月 13 日写给梅森的信中，笛卡尔提到了克拉维乌斯注释版《欧几里得几何原理》的第二版（1589 年），其中，如上所述，克拉维乌斯提出了他的四边形的逐点构造，并使用曲线来求解化圆为方的问题（AT I，70-71；信中提到克拉维乌斯的部分在 Sasaki (2003), 47 中翻译）。根据 Sasaki（2003），可以合理地得出结论，笛卡尔至少知道克拉维乌斯的教科书《几何实践》（1604），该教科书被纳入拉弗莱什数学课程的一部分。 （参见 Sasaki 2003，第二章，关于克拉维乌斯对 1600 年代初耶稣会学校数学课程的影响和纳入。）

尽管我们对笛卡尔在拉弗莱什学习的数学的证据还很粗略，但我们相当肯定，当笛卡尔于 1618 年在荷兰布雷达遇见艾萨克·贝克曼时，他正式开始进入早期现代数学的辩论。笛卡尔探索了将数学应用于自然哲学的成果，并讨论了与物理数学有关的问题。正是在这一时期，笛卡尔为贝克曼撰写了《音乐纲要》，其中他讨论了数学在音乐中的应用，并且还讨论了自由落体定律。 （比较 Koyré 1939, 99–128 和 Schuster 2013，第 3.5 章关于笛卡尔在早期文本中对自由落体的处理。有关笛卡尔在此期间光学物理数学研究中对因果知识的追求的讨论，请参见 Schuster 2013 ，第 3.6 章。）

除了对应用数学有共同兴趣之外，贝克曼和笛卡尔还讨论了几何和代数方面的纯数学问题，笛卡尔对此类问题的兴趣一直延续到 1628 年至 1629 年，当时他旅行结束后回到荷兰与贝克曼会面。途经德国、法国和意大利。我们对笛卡尔在这十一年期间在纯数学方面取得的成就的理解依赖于以下来源：

1619 年写给贝克曼的五封信，贝克曼将其抄录在他的日记中。贝克曼的日记于 1905 年被找回，并在大约 35 年后由德瓦尔德出版，分为 4 卷，以下简称贝克曼（1604-1634 年）。这些与笛卡尔数学相关的信件的摘录包含在 AT X 中。（有关我们如何获得这些信件的更多详细信息，请参阅 Sasaki 2003, 95–96。）

Cogitations privatae（私人反思），可以追溯到大约。 1619–1620 年，莱布尼茨于 1676 年复制。该文本包含在 AT X 中。（有关我们如何获得该文本的更多详细信息，请参阅 Bos 2001, 237, Note 17 和 Sasaki 2003, 109。）

《Progymnasmata de Solidorum elementis》是一部几何学著作，其历史可追溯至 1623 年左右，莱布尼茨于 1676 年部分复制。帕斯夸莱·约瑟夫·费德里科 (Pasquale Joseph Federico, 1982) 将其翻译成英语，皮埃尔·科斯塔贝尔 (Pierre Costabel, 1987) 将其翻译成法语。

笛卡尔在 1628 年回到荷兰后送给贝克曼的一般代数样本。它由贝克曼在他的日记中以标题《代数笛卡尔样本 quoddam》转录，可以在 Beeckman（1604-1634）的第三卷中找到。

1629年初，贝克曼（Beeckman）在代数上的一些文本。这些文本由贝克曼（Beeckman）在1629年2月的日记中转录，可以在贝克曼（Beeckman）第四卷（1604– 1634年）中找到。

1630年代，笛卡尔写了几封信，其中笛卡尔指的是他在1618-1629期间完成的一些数学研究。

看一下这些数学作品中发现的一些问题和建议将有助于将笛卡尔置于他的早期现代数学背景下，还将有助于强调这一时期的结果，这些结果与与公开书中的开头书籍有着重要的联系。 1637年LaGéométrie。为了清楚这些联系，下面的简短叙述强调了1618-1629期间关于（1）几何曲线和合法几何结构的标准的提议，以及（2）代数和几何形状之间的关系。

2.2问题和建议

1619年写给贝克曼（Beeckman）的最著名信的历史可以追溯到当年3月26日。在这封信中，笛卡尔宣布了他的计划，阐述了“全新的科学[Scientia penitus nova]，通过该科学，可以解决所有可以提出的所有问题，通常可以解决任何数量，通常可以解决”（在X，156） 。当他详细阐述这项新科学的发展时，笛卡尔澄清说，他对离散和连续数量的问题（分别是算术和几何形状）的解决方案将取决于手头问题的性质。正如他所说的

[在这项新科学中]每个问题都将根据其本质的性质解决，例如，在算术中，有些问题是通过理性数字解决的，其他问题只能通过Surd [Indrational]数字解决，而其他问题最终可以想像但无法解决。因此，我也希望表明连续数量可以通过直线和圆圈解决一些问题。其他弯曲线只有其他曲线，但是，这是由单个运动引起的，因此可以用新型的指南针绘制，我认为，这与绘制圆圈的常见相比，这同样是确切的和几何的。最后，其他可以通过未从属于彼此的不同动作产生的曲线来解决的其他方法，曲线肯定只是想象中的，例如众所周知的Quadratrix。我无法想象至少可以通过这种行为无法解决的任何东西，尽管我希望能够以此或没有其他方式解决哪些问题可以解决哪些问题，因此几乎没有任何东西可以在几何形状中找到。当然，这是一项无限的任务，而不是一个人。令人难以置信的雄心勃勃；但是我已经通过科学的黑暗混乱看到了一些灯光，我认为所有最厚的黑暗都可以消除（在x，156-158； CSMK 2-3； Sasaki 2003，102）。

我们在笛卡尔关于几何形状的言论中注意到，他提出的“全新科学”将为解决问题提供详尽的分类，其中他的三个类别都由解决方案所需的曲线确定。这表明，笛卡尔的三类几何问题与帕普斯的三个类之间的重要重叠，回忆起解决方案所需的曲线类型分开：平面问题可以通过直edge和指南针解决，圆锥形和线路的实心问题可以解决。 - 像更复杂的曲线一样的问题，这些曲线具有“不稳定和可变的起源”。但是，就笛卡尔强烈表明，为其解决方案需要“假想”曲线的问题没有合法的几何解决方案，因此它们的分类之间也存在显着差异。也就是说，正如算术的某些问题“可以想像但无法解决”一样，在几何形状中也是如此，还有一类问题需要曲线“当然只有虚构”，即由“不同的动作”，“不同的动作”产生的曲线因此，从适当的意义上讲，这不是几何的。在这方面，笛卡尔正在从Pappus的描述性分类转变为将几何曲线与非地形曲线区分开的规范性分类，从而区分了具有合法几何解决方案的问题与没有的问题。同样重要的是，我们在笛卡尔的信中看到了他通过吸引构造曲线所需的动议来扩大合法几何结构范围的尝试。具体而言，正如我们在上面的段落中看到的那样，笛卡尔依赖于他的“新型指南针”的“单个动作”，[他所说]这是同样精确和几何的……比用于绘制圆圈的普通的指南针……标出具有合法几何解决方案的新的问题。

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