笛卡尔的数学（三）

在1619年3月26日给贝克曼的信中，笛卡尔没有详细说明他所指的“新型指南针”。他只是在这封信的早期部分向贝克曼报告，在很短的时间内，他“在我的指南针的帮助下发现了四个引人注目的全新示威”（x，x，154）。幸运的是，有关这些指南针和笛卡尔的演示的更多细节包括在私人私人与私人反射中（约1619– 1620年），其中笛卡尔应用了三种不同的“新指南针”（通常由评论员称为“比例指南针” ”）：（1）将给定角度分为任何数量的相等部分，（2）构建三种类型的立方方程的根，以及（3）描述圆锥部分。在前两种情况下，由于笛卡尔对角度截面和平均比例问题进行处理，他所依赖的指南针被用于生成可以解决手头问题的曲线。



图 1.



图 2.

例如，为了解决角度的问题，笛卡尔首先提出一个包括四个统治者（OA，OB，OC，OD）的仪器，它们在O点O（图1）。然后，我们取四个杆（HJ，FJ，GI，EI），该杆的长度相等

一个

a，并将它们连接到仪器的臂上，使它们距离距离

一个

a从o起，并在点j和I点成对铰链。离开OA静止，我们现在移动OD以改变角度DOA的度量，并遵循点J的路径，我们生成曲线KLM（图2） 。正如笛卡尔所拥有的那样，我们可以通过上述仪器以任何给定的角度构建曲线klm，因为我们分配的角度在KLM的构造中没有作用。一旦构建了曲线KLM，就可以通过一些具有直线和圆圈的基本构造对给定的角度进行三化。在这方面，曲线klm是解决角度三化问题的手段，此外，他的待遇表明，构造可以进一步推广，以便通过他的“新指南”，也可以一个角度。分为4、5或更多相等的部分。 （我从Domski 2009，121借用了对这种结构的处理，这本身归功于BOS 2001，237-239的演讲。）



图3。Mesolabe

当笛卡尔对待构建平均比例的问题时，他采取了类似的方法，在这种情况下，他呼吁他著名的Mesolabe Compass，这是一种在LaGéométrie的第三本书中使用的乐器来解决相同的问题。与1637年一样，该指南针用于构造曲线（图3中的虚线），使我们能够识别任何数量的给定线段之间的平均值。正如他之前的维特（Viète）一样，在私人反射中，笛卡尔使用这种平均比例的构造来识别标准形式的立方方程的根（请参阅BOS 2001，240-45）。

请注意，这些结构说明了笛卡尔在1619年3月26日给Beeckman的信中引用的“单运动”结构：他的新指南针通过指定指定的指定臂的单个运动产生曲线，因此，在其中产生的曲线产生了这种方式符合几何可理解性的标准，即区分几何曲线的标准，这些标准在笛卡尔设想的“全新科学”的简短概述中暗示了。这些动作是由工具完成的，不会威胁到构建曲线的几何状态。 （正如我们在上面看到的那样，维特（Viète 。这个主题将在LaGéométrie的第二本书中重新出现。

此外，我们在笛卡尔的早期工作中发现，对代数和几何形状之间的关系感兴趣，这对于LaGéométrie的第一本书中的几何分析计划至关重要同时代人正在探索几何形状在代数问题上的应用。例如，如上所述，笛卡尔使用平均比例的构造来求解私人反射中的代数方程，在同一文本中，他还对数字和算术操作的几何表示也表现出了兴趣。同样的兴趣再次出现在后来的progymnasmata de solidorum elementis excerpta excerpta excercripto cartesii（对从加利福尼亚州笛卡尔（Descartes）手稿中提取的固体元素进行初步练习，1623年。在五个基本算术操作中（他对待的四个操作是加法，减法，乘法和除法）。

尽管在评论员之间存在一些争议，但在这一1619年至1623年初，关于笛卡尔在代数方面的专业知识水平（比较BOS 2001，245与Sasaki 2003，2003，126），但1628 - 1629年的文本显示，探索了笛卡尔的文本少量时间。两种文本来源特别感兴趣：（1）贝克曼在笛卡尔返回荷兰时在1628年给予和转录的代数标本，以及（2）关于Cubic和Quartic equartic方程的根的构造的文本1629年初。[4]在标本中，笛卡尔为代数提供了一个相当基本的解决问题的程序（或示意图），该程序依赖于二维数字（线和表面）。几个月后，笛卡尔在荷兰在荷兰时撰写的贝克曼（Beeckman）在标本中发现的案文表现出了很大的进步，因为在这些文本中，他呼吁在解决问题的政权中呼吁锥形部分（或固体）。例如，笛卡尔通过圆圈和抛物线的交点构建了两个平均比例（根据BOS 2001，255，他在1625年发现了这一方法。更令人印象深刻的是，在同一时期的不同文本中，笛卡尔提供了一种构建所有实体问题的方法，即解决所有三级和四度方程。

尽管此期间的某些结果与1637年LaGéométrie提出的解决问题的程序有关，但Rabouin（2010）指出，尚不清楚笛卡尔是否发现了使用1637年应用的技术发现了他的解决方案方法（Rabouin 2010，456）。因此，拉布因敦促我们抵制笛卡尔早期数学作品的某种标准阅读，从1619年的“全新科学”到LaGéométrie的突破性计划，有线性和目的论的进展，例如，在Sasaki 2003年，特别是156-176）。根据拉布因的说法，直到1630年代初期，笛卡尔就解决了Pappus问题 - Bos还考虑了笛卡尔成熟数学研究的“关键催化剂”（BOS 2001，283） - 制作一门新的几何科学，基于曲线和问题的新分类。在拉布因（Rabouin）之后，正是在他的数学职业生涯的这一点上，笛卡尔更清楚地看到代数方程式和几何形状的相互作用对于解决几何问题解决的一般计划可能是多么重要。

3。LaGéométrie（1637）

1631年下半年，荷兰数学家戈利斯（Golius）敦促笛卡尔考虑解决Pappus问题的解决方案。与占据了笛卡尔早期研究的几何问题不同，Pappus问题是一个基因座问题，即，根据BOS的术语，其解决方案需要构建曲线的解决方案“ Pappus Curve”，其中包括所有满足关系所指明的关系的观点在问题中。一般而言，Pappus问题始于给定数量的线，给定数量的角度，给定比率和给定段，任务是确定曲线，使得曲线上的所有点都满足了与指定的关系给定比率。例如，在最基本的两行Pappus问题中（图4），我们得到了两行

(

L

1

,

L

2

）

（L1，L2），两个角度

(

θ

1

,

θ

2

）

（θ1，θ2），比率

β

β。我们指定

d

1

D1是一个点之间的倾斜距离

磷

P 和

L

1

L1这样

磷

P创建

θ

1

θ1与

L

1

L1，我们指定

d

2

D2是一个点之间的倾斜距离

磷

p在飞机上，

L

2

L2这样

磷

P创建

θ

2

θ2与

L

2

L2。问题是找到所有要点

磷

p这样

d

1

：

d

2

=

β

D1：D2 =β。在这种情况下，所有寻求的要点

磷

p将沿着两条直线，右侧一条线

L

1

L1，另一个位于

L

1

L1。 （有关BOS的一般问题的介绍，请参见图5。）



图4。两行Pappus问题

在该集合中，Pappus为问题的三行版本和四行版本提供了解决方案（即，我们以三个或四个给定的线和角度开始的问题的版本）以及Apollonius对六行情况的解决方案，这取决于他的锥形理论和构建点源的区域的转变（Pappus，118-123）。但是，Pappus不对待一般

(

n

（n-line）案例，这是解决方案笛卡尔（Descartes）在1632年实现的进步，这是在LaGéométrie发表的一种解决方案，他声称，与古代人不同，他找到了一种成功“确定，描述，[和[和[和[和）的方法]解释[Pappus问题]问题涉及更多线时所需的线的性质”（G，22）。正如笛卡尔（Descartes）在1632年向梅尔森（Mersenne）报告的那样，他在没有代数的帮助下找不到他的一般解决方案：

我必须承认，我花了五到六个星期才能找到解决方案（解决Pappus问题）；如果其他人发现它，我不会相信他对代数不了解（1632年4月5日到梅尔森；在I，244； CSMK，37）。



图5。一般的Pappus问题（来自BOS 2001，图19.1，273）

给定：一行

L

我

李在飞机上，

n

n角

θ

我

θi，一个比率

β

β，线段

一个

一个。有一个

磷

p在飞机上，让

d

d是倾斜的距离

磷

P 和

L

我

李这样

磷

P创建

θ

我

θi与

L

我

李.

问题：找到点的轨迹

磷

p使以下比率等于给定比率

β

：

β：

对于3行：

(

d

1

）

2

（D1）2：

d

2

d

3

D2D3

对于4行：

d

1

d

2

D1D2：

d

3

d

4

D3D4

对于5行：

d

1

d

2

d

2

D1D2D2：

一个

d

4

d

5

AD4D5

对于6行：

d

1

d

2

d

3

D1D2D3：

d

4

d

5

d

6

D4D5D6

一般来说，

均匀

2

k

2K线数：

d

1

……

d

k

D1…DK：

d

k

+

1

……

d

2

k

DK+1…D2K

不平衡

2

k

+

1

2K+1行数：

d

1

……

d

k

+

1

D1…DK+1：

一个

d

k

+

2

……

d

2

k

+

1

ADK+2…D2K+1

根据BOS的说法，对普通帕普斯问题的考虑“提供了[笛卡尔]，在1632年，对几何境界有了新的有序构想，并塑造了他对结构和正确几何方法的信念”（Bos 2001，283） 。我们对问题对笛卡尔的几何方法的影响的最佳证据是LaGéométrie本身：在LaGéométrie中，Pappus问题对位置感到骄傲，因为Descartes详细介绍了他的“几何计算”，并展示解决几何问题。这是在第一本书中对待的，正如笛卡尔解释了他的几何分析的那样，然后在第二本书中再次提供了笛卡尔提供的综合，即几何演示，是他解决Pappus问题的解决方案

n

N线，一个依靠“几何”和“机械”曲线之间的著名区别的演示，该曲线开始了这部分作品。

3.1一书第一：笛卡尔的几何分析

一本书的一本书是LaGéométrie的题为“仅需要直线和圆圈的构造问题”，正是在这本开头的书中，笛卡尔详细介绍了他的几何分析，并描述了如何将几何问题阐述为代数。在这方面，我们在第一本书中发现的是类似于维特（Viète）在1594年的几何补充中对几何问题的代数阐述，因为他解释了训ege的阶段。也就是说，笛卡尔的分析方法取决于符号和形式主义的创新以及几何和算术的合并，这使他超越了维特的分析，对笛卡尔对梅森的评论充满了信任，他在lagéométrie中为他的梅尔森（LaGéométrie）提供了一些信任。几何开始是从Viète停止的地方开始的（1637年12月，在I，479； CSMK 77-79; CSMK 77-79;参见Macbeth 2004，以讨论Viète的“分析艺术”与Descartes在几何学中使用分析的关系之间的关系）。

一本书是从代数操作的几何解释开始的，我们在上面看到的是，笛卡尔已经在他的数学研究的早期已经探索过。但是，正如Guicciardini恰当地描述的那样，我们在1637年提出的是“巨大的创新”。一方面，笛卡尔提供了对根提取的几何解释，因此可以处理五个算术操作（与在他的早期工作中进行的加法，减法，乘法和分裂的四个操作相反）。另一方面，更重要的是，他的待遇依赖于对算术操作的解释，根据这些解释，这些操作被认为是在线细分市场上的封闭操作。传统上，例如两个部分的产物

一个

×

乙

A×B被解释为矩形，但对于笛卡尔来说，该产品被解释为一个段。这使笛卡尔可以将几何问题转换为方程（包括产品，例如

一个

×

乙

）

a×b）并将方程式的每个项视为类似的类似。最后，笛卡尔使用了新的指数符号，因为他在第一本书中列出了多个术语的方程式，而这种符号取代了传统的现代现代代数的传统cossic符号，使笛卡尔可以拧紧代数和几何形状，更具体地，更具体地，更具体地说。通过几何分类的方程式的代数表示曲线的代数表示和所述问题的几何解（正如我们将在第3.2节中更清楚地看到）。

笛卡尔通过对五个基本算术操作的新几何解释进行了描述，他描述了如何在几何分析的阶段如何给出对几何问题的代数解释：

然后，如果我们希望解决任何问题，我们首先假设解决方案已经实现了，并为所有对其构建需求的行命名，即那些未知的人以及已知的人的名字。然后，不区分未知线和未知线，我们必须以任何自然地显示这些线之间关系的难度来揭示困难，直到我们发现有可能以两种方式表达单个数量。这将构成一个方程式，因为这两个表达式之一的术语共同等于另一个条款（g，6-9）。

我们注意到，笛卡尔分析的关键是在问题中没有区分已知数量和未知数：两种数量均已授予变量（通常，通常，

一个

,

乙

,

c

……

a，b，c…用于已知数量和

x

,

y

,

z

……

x，y，z…对于未知数量），因此，我们将未知数对待，就像已经找到了它们的值一样。或者，正如笛卡尔所说的那样，我们“假设解决方案已经影响”。然后，任务是将问题减少到一个方程式（以当代的术语，两个未知数中的多项式方程），该方程以已知数量表示未知数量或数量。例如，采取以下问题：[5]

给定一个包含点C的线段AB（见图6），问题是生产AB到D，以使产品AD

×

×db等于CD的平方。让AC

=

一个

= A，CB

=

乙

= b，和bd

=

x

= x，产生广告

=

一个

+

乙

+

x

= A+B+X和CD

=

乙

+

x

= b+x。因此，找到BD的问题使AD

×

×DB =（CD）

2

2在代数上等同于查找

x

x使得：

(

一个

+

乙

+

x

）

×

(

x

）

=

(

乙

+

x

）

2

（a+b+x）×（x）=（b+x）2。或者，解决

x

X，问题是找到

x

x，给定

一个

一个和

乙

,

x

=

乙

2

/

(

一个

b，x = b2/（a -

乙

）

b).



图 6.

在此示例中，我们正在处理一个确定的问题，即存在有限数量的解决方案的问题，因此我们可以将问题减少到单个方程式，该方程以已知数量表示未知数量。但是，正如笛卡尔指出的那样，还有一些不确定的问题，涉及无限数量的解决方案。 （诸如Pappus问题之类的基因座问题是这样的，因为该解决方案包括沿曲线的无限多点。）笛卡尔指示我们指示“我们可以任意选择已知长度行对于没有方程式的每个未知线”（g，9），即，我们将未知线设置为具有陈述值的斜坐标。然后，我们生成几个方程，以一个或多个已知数量来表达未知数量，并同时求解方程。这正是笛卡尔在第一本书中对待Pappus问题时采取的方法。

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