笛卡尔的数学（四）



图7。第一本书中的四行Pappus问题（G，27）

笛卡尔从考虑到三或四行时考虑了问题，从Guicciardini（2009）借用，可以说如下（见图7）：

在适当的位置给出了三到四行，需要找到点C的轨迹，从中绘制三到四行的三或四行，并与给定的每一条线与给定的一条线保持以下条件，以下条件保持：绘制的三条线中的两条矩形[或乘积]应具有与第三平方的给定比率（如果只有三个）或其他两条的矩形[或乘积]（如果有四个）（Guicciardini 2009，54;基于G，22）。

在第一本书中，笛卡尔将他的几何分析应用于Pappus问题的四线案例。他首先将两个给定的线段（长度未知）AB和BC指定为倾斜坐标

x

x 和

y

y分别以解决问题所需的所有其他行都将以

x

x 和

y

Y。[6]然后，通过考虑问题中给出的角度和相似三角形的特性，他根据两个未知数的角度生成了所寻求点C的代数表达

x

x 和

y

y和已知数量

z

z（在哪里

z

Z指定问题中给出的比率）（G，29-30）。

重要的是，笛卡尔在四行情况中使用的分析方法被推广到一般，适用于一般，

n

Pappus问题的N线版本。也就是说，笛卡尔的主张是，无论问题中给出了多少行和角度，都有可能通过他的分析方法，以两个未知数量（以当代的术语，以当代的方式，为了将问题减少到两个未知数中的多项式方程）（G，33）。结果，对于任何

n

pappus问题的N线版本，我们可以通过将不同的值分配给

x

x 和

y

y。正如笛卡尔所说的那样

此外，要确定点C，但是需要一个条件，即，一定数量的线的乘积应等于或（非常简单），应具有给定比率与某些其他的产品的比例线。由于这种情况可以用两个未知数量的单个方程式表示

x

x 或

y

y并从此方程中找到对方的价值。显然，当给出不超过五行时，数量

x

X，不用于表达第一线的X绝不能高于第二个线。

将值分配给

y

是的，我们有

x

2

=

±

一个

x

±

乙

2

x2 =±ax±b2，因此

x

可以通过已解释的方法（用于构建根部）的方法使用标尺和指南针找到X。如果这样，我们应该连续采取该行的无限数量的不同值

y

是的，我们应该获得该行数量的无限值

x

X，因此可以通过绘制所需曲线的不同点（例如C）的无穷大（G，34）。

如上所述所示，笛卡尔分析的结果是，包含所追求点C的曲线可以通过使用标尺和指南针求解为两个未知数中的二级方程的根来构建。然后，他概括了这一结果，并声称可以将可以简化为二级方程的任何问题的解决方案可以由统治者和指南针构建。相反，如果问题降低到三级或四度的方程式，则通过锥形构建点，如果问题降低到第五或第六度的方程高于圆锥形部分”（G，37）。换句话说，笛卡尔的主张是，如果一个问题可以简化为一个不高于六的程度的单一方程，其中未知数量或数量以已知数量表示，那么方程的根可以是由直齿和圆形，或圆锥形或不高于四个的更复杂的曲线构建。基于此结果，笛卡尔建议一种进一步概括并解决的方法

n

N线PAPPUS问题，无论Pappus问题开始有多少个给定的线和角度，都可以将问题减少到方程式，然后点式构造方程的根，即，即pointed点C问题（G，37）。

笛卡尔在这里通过他的几何分析所取得的成就无疑是重要的。他概述了一种解决任何数量给定线路的Pappus问题的方法。但是，关于解决Pappus问题解决的问题仍然持续到第一本书的结尾。如维特（Viète）的分析中，笛卡尔（Descartes）表明，对一般问题的解决方案存在，但是对问题的代数阐述本身并不能说明我们如何几何地构建解决问题的曲线。特别注意，在第一本书中，根部（即，沿着被追踪的曲线点）由直边，指南针，圆锥和高阶曲线构造，以便将包含根的pappus曲线置于点上。但这给我们留下了一个问题：一本书的pappus曲线是合法的几何曲线吗？也就是说，可以解决的曲线

n

Pappus问题的N线版本本身是通过合法的几何方法来构建的？这是第二本书中提出的一个问题，其主要重点是如何制定几何问题的综合或构造。

3.2书第二：曲线和几何综合的分类

LaGéométrie的第二本书题为“关于弯曲线的性质”，并以笛卡尔在“几何”和“机械”曲线之间著名的区别开始。鉴于其对理解LaGéométrie计划的重要性以及这种区别引起了评论员的关注，因此值得仔细研究第二本书的开篇页面中提出的建议。

笛卡尔开始参考古代问题的分类，并提供了他对古老数学家如何区分曲线的解释，这些曲线可用于解决几何问题与无法的几何问题的曲线：

古人熟悉几何问题可以分为三类，即平面，固体和线性问题。这相当于说某些问题仅需要圆形和直线才能进行构造，而另一些则需要一个圆锥部分，而另一些则需要更复杂的曲线。但是，我感到惊讶的是，它们没有走得更远，并区分了这些更复杂的曲线的不同程度，也不知道为什么它们称为后一种机械，而不是几何。如果我们说它们被称为机械，因为必须使用某种仪器来描述它们，那么我们必须保持一致，拒绝圆圈和直线，因为如果不使用指南针和统治者，就无法在纸上描述这些圈子和直线，也可以称为工具。因此，这不是因为其他乐器比统治者和指南针更为复杂，因此不太准确，因为如果这是这样必须将它们排除在机械上，那么构造的准确性比几何学更重要。在后者中，仅寻求一个精确的推理，这肯定可以与更简单的行（G，40-44）一样彻底。

笛卡尔意味着术语“机械”和“非地面”在古代数学中是同义词，尽管完全不清楚这是“机械”一词的预期含义。也就是说，鉴于可用的文本证据，尚不清楚曲线将曲线分类为“几何”和“机械”旨在作为关于曲线在几何问题解决方案中使用合法性的规范性主张。它可以像描述性的绰号一样容易阅读，该绰号捕获了构建曲线的不同方式（请参见Molland 1976在此问题上；有关笛卡尔在1619年提议中的描述性和规范的融合，请参见上面的第2.2节。几何科学”。

笛卡尔对古代人的阅读，对于理解自己对几何曲线的特殊解释至关重要的是他在曲线的“建筑准确性”之间提出了区别，他为机械师提供了一个问题，以及“精确性，”他认为这是接受曲线合法几何的唯一要求。

在提出这一主张时，笛卡尔为他的几何曲线概念开辟了一个独特的位置：他放弃了克拉维乌斯在其早期作品中采用的“构造准确性”标准，以使曲线在几何问题解决中可以接受，并且也转发了主张Viète 认为仪器构造的曲线不应被视为几何曲线（见上文第 1.1 节）。正如笛卡尔的演讲所暗示的那样，这两种标准都将力学问题与几何学唯一关心的“推理的准确性”混淆了。因此，在第二本书的继续中，笛卡尔重申，为了确定曲线的几何状态，我们必须将重点放在精确和清晰的推理问题上，特别是曲线是否可以通过精确和清晰的运动来构造的问题上。在提出“两条或多条线可以一条一条地移动，通过它们的交点确定其他曲线”的假设后，笛卡尔解释道，

确实，圆锥曲线从来没有被自由地纳入古代几何学中，而且我不愿意承担更改已被使用的名称；尽管如此，我似乎很清楚，如果我们做出通常的假设：几何是精确的，而力学则不是；如果我们将几何学视为提供所有物体测量的一般知识的科学，那么我们就没有权利排除更复杂的曲线而不是更简单的曲线，只要它们可以被认为是由连续运动所描述的或通过多项连续动议，每项动议完全由之前的动议决定；因为通过这种方式，总是可以获得每个的大小的准确知识（G，43）。

我们从这些评论中看到，几何的精度和精确性与几何学家对可精确追踪的运动的考虑密切相关。也就是说，几何学家使用简单曲线和更复杂的曲线都是合理的，只要这些曲线的构造是通过“精确且准确”的运动进行的。笛卡尔通过展示他在 1619 年首次开发的中索拉贝罗盘，阐明了如何将复杂曲线“想象为由连续运动或多个连续运动所描述的，每个运动完全由之前的运动决定”：

考虑线 AB、AD、AF 等，我们可以假设通过仪器 YZ 来描述它们 [图 8]。该仪器由几根铰接在一起的尺子组成，YZ 沿着线 AN 放置，角度 XYZ 的大小可以增大或减小，当其侧面在一起时，点 B、C、D、E、F、 G、H，均与A重合；但随着角度的增大，在 B 点与 XY 成直角固定的标尺 BC 会向 Z 方向推动始终以直角沿 YZ 滑动的标尺 CD。同理，CD推动DE，DE沿YX滑动，始终平行于BC； DE 推 EF； EF推FG； FG推GH，以此类推。因此，我们可以想象有无数个标尺，每个标尺都推动另一个标尺，其中一半与 YX 形成相等的角度，其余的与 YZ 形成相等的角度。

现在，随着角度 XYZ 的增加，B 点描绘出曲线 AB，该曲线是一个圆；而其他标尺的交点，即点D、F、H则描述了其他曲线AD、AF、AH，其中后者比第一条更复杂，并且比圆更复杂。尽管如此，我看不出为什么对第一个圆的描述不能像对圆的描述那样清晰明确地构思，或者至少像对圆锥曲线的描述一样清晰。或者为什么第二个、第三个或任何其他可以这样描述的东西不能像第一个那样清楚地设想：因此我看不出为什么它们不应该以同样的方式用于解决几何问题（G，44-47）。[7]



图 8. 中索拉贝

有几点值得强调。首先，笛卡尔展示了由他的指南针生成的更复杂的曲线，这些曲线是通过运动来描述的，这些曲线可以像构造更简单的圆所需的运动一样“清晰明确地构思”。由于其构造所需的清晰且独特的运动，这些曲线是合法的几何曲线。也就是说，与笛卡尔构造几何曲线的一般准则一致，这些复杂的曲线可以用于解决几何问题。其次，我们看到，尽管笛卡尔注意区分几何学和力学的关注点，但他并没有回避通过仪器来构造曲线。尽管仪器结构是机械结构，但它们仍然可以产生几何曲线，正是因为仪器的运动是“清晰明确”的。运动是由仪器产生的，并不会使所得曲线成为非几何曲线。 （有关 La Géométrie 中仪器使用的更多信息，请参阅 Bos 1981。）

同样，按照笛卡尔的标准，非几何曲线是需要更复杂、不太清晰和独特的运动来构造的曲线。他解释说：

古代几何学家拒绝接受比圆锥曲线更复杂的曲线的真正解释可能在于，他们最先注意到的曲线恰好是螺旋线、四边形和类似的曲线，它们确实属于这些曲线。仅适用于力学，并且不属于我认为应该包含在此处的曲线，因为它们必须被视为由两个单独的运动所描述，而这两个运动的关系不允许精确确定（G，44）。

笛卡尔明确地将螺旋线和四边形命名为那些曲线，其构造“必须被设想为由两个独立的运动所描述，而这两个运动的关系不允许精确确定”。后来在第二卷中，他澄清了为什么这些描述未能被清晰明确地构思：

几何学不应该包括像弦一样的线，因为它们有时是直的，有时是弯曲的，因为直线和曲线之间的比率是未知的，我相信人类无法发现，因此没有基于这些比率的结论可以被认为是严格和精确的（G，91）。

鉴于这些评论，螺旋线、四边形和“像弦的线”的根本问题在于，它们的构造需要考虑圆和直线之间的比率或关系。考虑一下螺旋。正如我们在上面看到的，它的构造涉及两种匀速运动，即点沿线段的匀速直线运动和线段绕点的匀速圆周运动。必须同时考虑这两个运动，以便移动点的路径能够描述螺旋，而对于笛卡尔来说，这才是最终的问题。人类思维可以同时思考直线和圆周运动，但无法达到满足精确和严格的几何标准所需的清晰度和清晰度。 （这一主张并非没有问题，这将在下面的 3.3 节中讨论。有关笛卡尔构造几何曲线的准则与 Pascal 提出的观点的比较，请参见 Jesseph 2007。）

在提出几何曲线的构造标准之后，笛卡尔发展了几何构造和这些曲线的代数表示之间的新颖联系。笛卡尔在第一本书中详细介绍了如何使用代数来建立几何问题的解决方案，而在第二本书中，笛卡尔提出了代数和几何之间更强的联系，并著名地声称任何合法的几何曲线都可以用方程表示：

我可以在这里给出几种追踪和构思一系列曲线的其他方法，每条曲线都比前面的任何一条曲线都复杂，但我认为将所有这些曲线组合在一起然后按顺序对它们进行分类的最佳方法是认识到这一事实我们可以称之为“几何”的曲线上的所有点，即那些允许精确测量的曲线，必须与直线上的所有点具有明确的关系，并且这种关系必须用单一方程（G，48）。

然后，他根据相应方程的阶数对这些“几何”曲线进行分类，并声称：

如果[曲线]方程不包含比两个未知量的矩形[乘积]更高次的项，或一个的平方，则该曲线属于第一类也是最简单的类，仅包含圆，抛物线，双曲线和椭圆；但当方程包含一个或多个三次或四次项时，在两个未知量之一或两者中（因为它需要两个未知量来表达两点之间的关系），该曲线属于第二类；如果方程包含一个或两个未知量的第五次或第六次项，则曲线属于第三类，依此类推（G，48）。

稍后在第二卷中也提出了同样的观点，其中笛卡尔强调“无论我们如何设想要描述的曲线，只要它是我所说的几何曲线之一”，总是有可能找到一个方程来确定所有曲线点 (G, 56)。他重申，几何曲线可以根据其方程进行分类，但也指出，在特定类别中，曲线的简单性应根据构造所需的运动进行排序。例如，虽然圆与椭圆、双曲线和抛物线属于同一类，但后者的曲线“同样复杂”，而圆“显然是一条更简单的曲线”，因此在构建问题时更有用（ G，56）。 （参见 Manders 2008, 77，讨论莱布尼茨和蓬塞莱对笛卡尔用来表示几何曲线的代数形式与这些曲线的空间图解表示之间的联系的不满。）

正如在第一本书中一样，笛卡尔使用帕普斯问题来说明他的几何微积分的力量，在第二本书中，他的目的是展示他的曲线代数分类如何使“证明[他]已经给出的解决方案变得容易”帕普斯问题”（G，59）。这里的具体目标是确定解决一般帕普斯问题的曲线是合法的几何曲线，即表明帕普斯曲线满足他刚刚提出的几何构造的精确和严格的标准。笛卡尔在第二卷中对帕普斯问题的讨论如下：

现在对曲线进行了一般分类，我很容易证明我已经给出的帕普斯问题的解决方案。首先，我[在第一本书中]已经表明，当只有三或四条线时，用于确定所需点的方程是二阶方程。由此可见，包含这些点的曲线[即帕普斯曲线]必须属于第一类，因为这样的方程表达了第一类曲线的所有点与固定直线的所有点之间的关系。当给定线不超过 8 条时，方程至多是双二次方程，因此得到的 [Pappus] 曲线属于 II 类或 I 类。当给定线不超过 12 条时，方程为六次方程或更低，因此所需曲线属于 III 类或更低类别，其他情况依此类推 (G, 59)。

正如上面的段落所示，笛卡尔在第二本书中确立了帕普斯曲线属于他指定的几何曲线的指定类别，其中帕普斯曲线属于的类别取决于问题中给出的线数，因此，问题简化的方程的阶数。例如，当笛卡尔在第二本书中处理四行帕普斯问题时，他表明，通过改变问题已简化为的二次方程的系数（通过第一本书的分析），我们可以构造一个圆、抛物线、双曲线或椭圆 (G, 59–80)。也就是说，他证明了解决四线问题的帕普斯曲线要么是一个圆，要么是一个圆锥曲线，他将这些非常“几何”的曲线归为第一类。

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