笛卡尔的数学（五）

3.3 笛卡尔几何微积分的张力和局限性

那么，笛卡尔分两个阶段展示了一般帕普斯问题的解决方案。在第一本书中，他提供了对该问题的代数分析，在第二书中，他声称提供了综合（或证明），即解决一般问题的曲线是符合他规定的几何精确性和精度标准的合法几何曲线。随着这两个阶段的完成，笛卡尔在《几何学》发表六个月后向梅森声称，他对一般帕普斯问题的处理证明了他解决几何问题的新方法是对其前辈方法的改进：

我不喜欢说自己的好话，但是因为很少有人能够理解我的《几何》，而且既然你希望我告诉你我自己对它的看法，我认为我应该这样做告诉你，它就是这样，我不想改进它。在光学和气象学中，我只是试图表明我的方法比通常的方法更好；然而，在我的几何学中，我声称已经证明了这一点。从一开始，我就解决了一个根据帕普斯的证词，古人没有一个能够解决的问题；可以说，没有一个现代人能够解决这个问题，因为他们没有人写过关于这个问题的文章，尽管他们中最聪明的人已经试图解决帕普斯在同一地方提到的其他问题。古人已经解决了这一问题（To Mersenne，1637 年 12 月末；AT 1, 478；CSMK，77-78）。

尽管笛卡尔对解决帕普斯问题充满信心，但围绕他在第二卷中对一般问题的综合也存在一些问题。

如上所述，笛卡尔试图通过他的综合来确定，按照他自己规定的标准，解决帕普斯问题的曲线是“几何的”，也就是说，帕普斯曲线是可以通过真正构建所需的“精确且精确”的运动来构建的。几何曲线。然而，笛卡尔是否证明了这一点还不清楚。即使在第二本书中解决基本的四线帕普斯问题时，笛卡尔在构造解决该问题的帕普斯曲线时（在本例中为圆、抛物线、双曲线和椭圆），也没有诉诸明显清晰的运动。相反，他依赖于阿波罗尼乌斯的圆锥曲线理论，该理论要求在平面上的指定点切割圆锥体，并且正如博斯所说，这种构造圆锥曲线的阿波罗技术“并不是一种立即呈现给人们的构造方法”。具体来说，由于当时的数学家并不清楚需要在平面上定位圆锥体的构造是否符合几何推理的精确和严格标准，笛卡尔的处理方式。这个四线案例中的帕普斯曲线并没有令人信服地证明它们的“几何”状态，在第二本书的后面，当他处理五线帕普斯问题时，事情变得更加复杂。

回想一下，笛卡尔除了强调可用于描述合法几何曲线的“精确且准确”的运动之外，还声称这些曲线“可以被设想为由连续运动或几个连续运动所描述”。因此，我们可以合理地预期这些曲线的几何构造不应以第一本书的方式逐点进行，其中笛卡尔通过求解问题已简化为的方程来构造帕普斯曲线。然而，当笛卡尔在第二本书中处理五线帕普斯问题时，他实际上提供了帕普斯曲线的逐点构造。然后他指出，这种“几何”帕普斯曲线的逐点构造与非几何“机械”曲线的逐点构造有很大不同：

值得注意的是，通过在 [Pappus] 曲线上找到几个点来追踪 [Pappus] 曲线的方法与用于螺旋和类似曲线的方法之间存在很大差异。在后者中，不能随意找到所需曲线的任何点，而只能通过比曲线的组成所需的过程更简单的过程来确定这些点……另一方面，这些点上没有点[“几何”]曲线为所提出的问题提供了解决方案，而该问题无法通过我给出的方法确定（G，88-91）。

笛卡尔的建议是，当我们逐点构造一条几何曲线时，我们可以识别曲线上任何可能的点，在上述评论之后，他立即将以此方式构造的曲线与可能由连续运动构造的曲线等同起来：“这种通过确定随机选取的点的数量来追踪曲线的方法仅适用于可以通过规则且连续的运动生成的曲线”（G，91）。

“几何”曲线和“机械”曲线的逐点构造之间的这种区别在 La Géométrie 的程序中具有两个相当重要的目的：（1）笛卡尔可以确定他逐点构造的帕普斯曲线实际上是“几何”的，从而是完整的他对一般帕普斯问题的综合（或演示），以及（2）他可以在可理解的“几何”曲线和不可理解的“机械”曲线之间保持界限。如果没有明确说明为什么帕普斯曲线的逐点构造是“几何”的，笛卡尔将不得不允许“机械”曲线（例如螺旋线和四边形）进入几何曲线的范围，因为这些曲线也可以逐点构造。例如，回想一下克拉维乌斯对四边形的逐点构造。根据 Clavius 的描述，我们从圆的一个象限开始，然后识别平分该象限的线段与平分象限弧的线段之间的交点（见图 9）。也就是说，我们识别出可以用直尺和圆规构造的线段的几个交点，然后，为了生成四边形，我们将沿着所寻找的曲线均匀分布的交点连接起来。为什么这样的逐点构造不是“几何”的？因为，根据笛卡尔的说法，如果我们像克拉维乌斯那样继续前进，“就不可能随意找到所需曲线的任何点。”具体来说，考虑到欧几里得构造的限制，我们只能将给定的弧分为

2

n

2n 个零件。因此，笛卡尔认为不可能以任何我们喜欢的方式划分弧，因此我们不能使用逐点构造来定位曲线上的任意点。然而，在“几何”曲线的情况下，我们可以通过诉诸与问题相对应的方程来找到曲线上的任意点；或者借用博斯的术语，笛卡尔声称“几何”曲线，特别是帕普斯曲线，可以通过“通用”逐点构造生成。



图 9.

虽然对克拉维乌斯的四边形构造的考虑提供了一些理由来接受笛卡尔在不同类型的点式构造之间的区别，但仍然存在有争议的主张，即“通用”点式构造所描述的曲线是可以通过连续运动构造的曲线。这种识别允许笛卡尔将帕普斯曲线建立为“几何”曲线，但他没有提供身份证明，因此，存在笛卡尔是否实际上证明了帕普斯曲线按照他自己的标准是“几何”的问题。 （参见 Grosholz 1991 和 Domski 2009 了解解决这种紧张关系的其他方法。）

围绕笛卡尔的“几何”曲线标准还有一个进一步的问题。正如我们在上面所看到的，笛卡尔在第二本书中明确关注的是为几何曲线提供一个标准，该标准与构建几何曲线所需的可理解、清晰和独特的运动相结合。然而，Mancosu（2007）提供了一个令人信服的案例，说明笛卡尔在《几何学》中明确言论的背后隐藏着一个更根本的担忧：确保数学家用来平方圆的曲线，例如书中明确提到的螺旋线和四边形二是呈现非几何形状。曼科苏用笛卡尔通信中的证据来支持他的观点，这些证据表明，对于笛卡尔来说，实际上在某些情况下可以清楚地、明确地设想直线和圆之间的关系，而他在《几何》中认为这种关系是不精确的。也就是说，笛卡尔在 1638 年写给梅森的信中写道：

你问我是否认为在平面上旋转的球体描述了一条等于其周长的线，对此我简单地回答是，根据我写下的格言之一，那就是，无论我们清楚明确地设想什么，因为我很清楚，同一条线可以有时是直的，有时是弯曲的，就像一根绳子（To Mersenne, 27 May 1638; AT 2, 140–141; 翻译自 Mancosu 2007, 118）。

在《几何学》中，直线和曲线之间的关系被认为是不精确的，因为正如笛卡尔所说，“直线和曲线之间的比率是未知的，我相信人类无法发现”（G，91）。根据曼科苏的说法，笛卡尔后来承认他可以清晰地设想出这样一种关系，这表明《几何学》中提出的几何曲线标准仅揭示了笛卡尔数学议程的一部分。曼科苏认为，更完整的描述必须考虑到笛卡尔对化圆为方的不可能性的承诺（参见笛卡尔给梅森的信，1629 年 11 月 13 日，AT 1, 70–71；翻译于曼科苏 2007 年，120；另参见Mancosu 和 Arana 2010，以获取支持 Mancosu 2007 立场的进一步证据）。

无论笛卡尔是否有曼科苏所暗示的隐藏议程，《几何》中用于定义问题解决方案的明确主张都指出了笛卡尔数学的局限性。正如我们在上面所看到的，笛卡尔的主要关注点是几何学“推理的准确性”的标准，该标准与清晰明确的构造运动以及表示如此构造的曲线的有限方程绑定在一起。因此，La Géométrie 程序中没有空间在构造曲线时使用无穷小或处理由无穷方程表示的曲线。因此，笛卡尔从他的几何纲领中消除了数学和几何推理的要素，正是这些要素使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪末发展了微积分。尽管如此，考虑到笛卡尔磨练他的数学技能的速度有多快，以及他开发几何创新程序的速度有多快，接受笛卡尔的自我评估并保持一定的信心，相信如果他考虑的话，微积分将在他的能力范围内，这并不会太冒险。无穷小和无穷大：

正如我在《几何》中所做的那样，确定了每种类型的问题可以实现的所有目标并展示了实现方法，我声称人们不仅应该相信我比我的前任取得了更多的成就，而且还应该相信如果我费心去寻找的话，后人永远不会在这个主题上发现任何东西（致梅森，1637 年 12 月末；AT 1, 478；CSMK，78-79）。

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