信仰的正式表述（一）

1. 预赛

1.1 为什么是形式主义？

1.2 信仰的对象及其结构

2. 完全相信的表现

2.1 非单调逻辑

2.2 年度股东大会信念修正

2.3 认知逻辑

3. 部分信念的表述

3.1 主观概率论

3.2 不精确概率论

3.2 登普斯特-谢弗理论

3.3 可能性和合理性理论

3.4 排名理论

4. 完全相信和部分相信

4.1 消除主义

4.2 桥梁理论

4.2.1 极值概率

4.2.2 洛克阈值

4.2.3 稳定性理论

4.2.4 跟踪理论

4.2.5 认知决策理论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 预赛

1.1 为什么是形式主义？

为什么要构建信仰的正式表征？在很大程度上，认识论中形式主义的严格性和回报与任何其他学科相同。它要求我们精确地陈述基本原理，作为回报，它允许我们通过演绎证明或计算机模拟来证明它们的逻辑结果和联系。通常，这些后果和联系是出乎意料的——有时如此出乎意料，以至于很难想象如果没有形式主义的帮助，它们是如何被发现的。如果一项看似吸引人的原则却带来了不吸引人的后果，那么很容易想象，如果它没有得到如此清晰的论证，人们可能会如何回避或忽视它。也许最常见的悲剧是发现几个有吸引力的原则相互矛盾，因此必须做出一些不愉快的牺牲。经过几次这样的经历后，认识论者逐渐感觉到，形式表征可以防止模棱两可和自欺欺人，并促进进步和理解。

当然，正式的表述也并非没有缺点。一旦采用正式框架，某些问题和项目就会变得突出，而其他问题和项目就会退居幕后。一些以前有趣的问题在新形式主义中可能变得无法表达；内部人士可能会认为这些问题毫无意义或无趣。在最坏的情况下，这可能会使正式工作变得肤浅，或回避重要问题。这些都是狭隘主义的陷阱。为了避免它们，有时回顾一下形式主义最初的动机是有帮助的。为此，框架的历史有时很有启发性。它还有助于在形式主义之间进行过渡：这种观点的改变可以对抗认识论中的狭隘主义，就像沉浸在新的语言或文化中往往可以更广泛地对抗它一样。

除了认识论之外，上述情况也适用于许多学科。事实上，数学方法可以促进认识论特定问题的进展，就像它在物理学或经济学特定问题上的进展一样。过度忠于特定的形式主义在物理学和经济学中会产生陷阱，就像在认识论中一样。然而，如果我们把这个问题留在那里，我们就无法公正地对待认识论中数学方法的独特抱负。

莱布尼茨梦想着一种普遍特征——一种精确的思想演算，可以通过计算来仲裁科学争议，并将成为那些“在实验海洋中航行的人”的“北极星”（莱布尼茨 1679/1989）。在上个世纪，科学统一运动希望一种新的逻辑能够作为一种通用语言，使所有科学相称，并如此团结起来，将它们的全部力量应用于解决当今的问题。但是，正如哥白尼体系和托勒密体系之间的冲突所表明的那样，精确地和数学地陈述两种理论并不足以裁决它们之间的争议。为此，人们付出了巨大的努力来开发一种微积分，以计算证据的精确承载力，从而在理论之间进行仲裁。这种微积分不仅被认为是哲学的福音，而且被认为是一种管理和协调联邦科学共和国的普通法。本文中涉及的许多形式主义都可以追溯到一个其野心可能会超出我们当代想象力的计划。

帕斯卡（约 1658/2004）将新的概率演算应用于强烈的个人信仰问题。事实上，许多认识论者对科学探究者的规范并不是特别感兴趣，而是对管理个人整个信仰体系的规范感兴趣：他们的信仰必须如何一致才能理性；它们必须如何反映在决策中；以及他们应该如何适应新的证据。主观概率论及其伴随的理性决策理论是该项目最全面的当代表达；无论好坏，它都是当今实践理性的主导理论。我们在 3.1 节中介绍它。

我们在这里援引我们杰出的前辈，主要是为了说明他们的雄心壮志，希望他们的改良主义精神能为本文所涵盖的材料注入活力。在数学细节中，人们很容易忘记形式认识论是对理性能够有效地运用自身的希望的表达。如果这个项目流产，我们就有可能阻碍或人为地限制人类理性的范围和力量。但如果成功了呢？

1.2 信仰的对象

下面我们将看到几种提出的信念结构模型。大多数这些建议将信念的对象视为命题或形式化语言中的句子。本节回顾使用正式语言的命题和句子所需的基本概念。如果读者对本节中的技术细节感到不知所措，他们应该随意推迟这些内容，并即时回顾它。习惯使用这些对象的读者可以随意跳过本节。

公认的观点是，信念的对象是命题，而命题是可能世界的集合。但这些应该是什么？这是一个相当困难的问题（参见可能的世界条目）。从一个风景如画的观点来看，一个可能的世界是对另一种现实的完整描述。挑选出一个可能的世界就是以一种小心避免矛盾的方式来详细说明某些可能的现实中存在的每一个事实，而这些现实不一定是我们自己的。按照这种观点，所有可能世界 W 的集合就像一个巨大的图书馆，其中包含每个可能现实的完整历史。现实世界挑选出与我们现实相对应的体积。

将可能世界视为完全形而上学的可能性是没有必要的，也许也是无益的。在这种极其精细的粒度级别上，每种可能性都指定了无数晦涩且无趣的细节。但背景通常决定了我们可以认为世界的哪些特征是理所当然的；我们对此不确定，但又不愿意这样做；以及哪些是没有兴趣的。例如，索菲亚可能对下一任维也纳市长的身份感兴趣，但他们是左撇子还是右撇子并不重要。就我们的目的而言，一个可能的世界是对所有且仅与给定上下文相关的世界特征的完整规范。因此，集合 W 是所有上下文相关的认知可能性的集合。将可能性集合缩小到单个 w∈W 将完全解决正在讨论的一些有趣的问题。命题 P⊆W 是一组可能的世界，即它是世界现状的部分说明。确定 P 为真就是确定实际世界位于世界集合 {w:w∈P} 中，因为 P 在可能世界 w 中为真，当且仅当 w ∈ P。

命题具有集合论结构。 P 的相对补，ØP=W∖P，是 P 为假的所有世界的集合。如果 P,Q 是任意命题，那么它们的交集 P∩Q 是 P 和 Q 都为真的所有世界的集合。析取 P∪Q 是 P,Q 中至少一个为真的世界的集合。物质条件 P→Q 是世界集合 ØP∪Q，其中 P 为假或 Q 为真。如果 P⊆Q，我们说 P 蕴涵 Q，并且 P 在逻辑上比 Q 更强。如果 P⊆Q 和 Q⊆P，我们写 P≠Q，并说 P 和 Q 在逻辑上等价。同义反复命题 W 在所有世界中都为真，而矛盾命题空集 ∅ 在任何世界中都不为真。一组命题 A 是一致的，当且仅当存在一个世界，其中 A 的所有元素都为真，即如果 ∩A≠∅。否则，我们说 A 是不一致的。一组命题 A 是互斥的，当且仅当任何一个元素的真实性暗示所有其他元素的虚假性。 A 的逻辑结果集合，写作 Cn(A)，是集合 {B⊆W:∩A 蕴含 B}。请注意，如果 A 不一致，则 Cn(A) 是 P(W)，即 W 上所有命题的集合。

一组命题 F 是一个域（有时是代数）当且仅当 F 包含 W 并且它在交、并和补下是封闭的。也就是说，如果 A,B 都是 F 的元素，则 W,A∪B,A∩B 和 ØA 也是 F 的元素。一组命题 F 是一个 σ 域（有时是 σ 代数）当且仅当它是一个在可数交集下封闭的域，即，如果 S⊆F 是命题的可数集合，则其所有元素 ∩S 的交集也是 F 的元素。该定义意味着 σ 域也是封闭的在可数的工会之下。不难证明σ域的交集也是σ域。这意味着命题 F 的每个集合通过与包含 F 的所有 σ 域的集合相交来生成 σ(F)，即包含 F 的最小 σ 域。

命题虽然通常由语言中的句子表达，但其本身并不是句子。这种区别通常是通过说命题是语义对象，而句子是句法对象来得出的。语义对象（如命题）是有意义的，因为它们代表有意义的可能性，而语法部分必须在变得有意义之前被“解释”。在口号中：句子可能有意义，而命题已经有意义。

出于我们的目的，语言 L 由它包含的所有语法句子的集合来标识。句子将用小写希腊字母 α,β,... 表示。假设语言 L 包含一组原子句子 α，β，…，它们不是由任何其他句子构建而成，以及通过将原子句子与命题逻辑中的真值功能连接词组合而生成的所有句子。换句话说：如果 α,β 是 L 中的句子，那么 Øα, α∨β, α∧β, α→β, 和 α↔β 也是 L 中的句子。这些应该分别读作“不是 α” 、“α 或 β”、“α 和 β”、“如果 α，则 β”和“α 当且仅当 β”。符号 ⊥（发音为“falsum”）表示任意选择的矛盾（例如 α∧‐α），符号 ⊤（发音为“top”）表示任意同义反复。

L 中的一些句子“逻辑上”遵循其他句子。例如，根据真值功能连接词的预期解释，α 来自句子 α∧β，也来自句子集合 {β,β→α}。为了捕捉演绎结果的本质，我们引入了结果关系 ⊢，只要 β 是 α 的演绎结果，它就在任意两个句子 α⊢β 之间成立。假设结果运算符满足以下属性，这些属性抽象了演绎逻辑的特征：

α⊢α;

α⊢γ，意味着 α∧β⊢γ；

α⊢β 和 α∧β⊢γ 意味着 α⊢γ。

自反性仅仅表达了任何句子α都是其自身的演绎结果这一琐碎性。单调性表达了这样一个事实：在演绎论证中添加更多前提可以让您得出与使用更少前提相同的结论。卡特粗略地说，演绎结论与它们的前提具有同等的认识基础：随着推导变得更长，不会失去信心。总之，这些原则意味着“后果的后果就是后果”，即 α⊢β 和 β⊢γ 意味着 α⊢γ。

我们将 Cn(α) 写为所有 β 的集合，使得 α⊢β 。如果 Δ 是有限句子集，我们将 Cn(∧αεΔα) 写为 Cn(Δ) ，即 Δ 中所有句子合取的所有演绎结果的集合。如果 Δ 是无限的句子集合，则定义 Cn(Δ) 会稍微复杂一些，因为 Δ 中所有句子的无限合取不是形式语言的句子。为了避免无限连词，令 α1,α2,… 为 Δ 中句子的枚举，并令 βi=⋀j≤iαj 为枚举中前 i 个句子的连词。最后令 Cn(Δ)=∪

无穷大

我=1

Cn(βi)。有时用结果算子 Cn(⋅) 来陈述原理是很方便的。例如，我们假设演绎结果关系满足以下附加性质。

βεCn(Δ∪{α}) 意味着 (α→β)εCn(Δ)。

演绎定理表达了这样一个事实，即可以通过假设α然后推导β来证明条件句α→β。毫不奇怪，可以证明这个属性对于我们遇到的大多数演绎逻辑都成立，包括命题逻辑和一阶逻辑。

每一种形式语言 L 都以规范的方式产生一组可能的世界。 L 的模型为 L 中的每个句子分配真值，首先为每个原子句子分配真值，然后通过尊重连接词的预期含义为所有其他句子分配真值。我们将 ModL 写为 L 的所有模型的集合。因此，每种语言 L 在 L 的所有模型的集合上归纳出一个有限域 A。A 是 ModL 上的命题集合，由 L 中的句子表达。转会产生一个包含 A 的唯一最小 σ 场 σ(A)。

一旦我们在上下文中同时拥有一组可能性 W 和一种形式语言 L，就会有一种标准的系统方法来连接它们。评估函数 V 将 L 中的每个原子句子 α 映射到命题 V(α)⊆W，即在原子解释下 α 为真的世界集合。例如，如果 W=ModL，则原子将精确映射到它们所在的模型。评估函数还以尊重逻辑连接词的预期含义的方式解释非原子句子，即使得 V(⊤)=W、V(Øα)=W∖V(α) 和 V(α∧) β)=V(α)∩V(β)。以这种方式，L 中的每个句子都映射到一组可能的世界。

如果对于所有估值 V，V(α)⊆V(β)，我们写 α⊨β。那么，α⊨β表达了这样一个事实：无论L的非逻辑词汇如何解释，β在α中的所有句子都为真的所有世界中都为真。我们说 α 是有效的当且仅当 {⊤}⊨α，即对于所有估值函数，如果 W⊆V(α)。那么，α 是有效的，当且仅当 α 在所有可能的世界中都为真，无论非逻辑词汇如何解释。例如，句子 α∨Øα 是有效的。

我们假设我们的演绎结果关系具有以下属性。

如果 α⊢β，则 α⊨β。

健全性是指，如果句子 β 是 α 的可导出结果，那么无论 L 的非逻辑词汇如何解释，β 在 α 为真的所有世界中都为真。也就是说，从真实的前提出发，我们的结果关系总是得出真实的结论。健全性还意味着每个定理都是有效的。健全性是任何演绎结果关系的基本要求，并说明了演绎证明和语义蕴涵之间的预期联系。

从某种意义上说，句子能够表达命题所不能表达的区别。例如，两个句子 p 和 ØØp 显然是不同的。但如果 p 和 q 可证明等价，即如果 ⊢p↔q，则 {p}⊢q 和 {q}⊢p。根据稳健性，{p}⊨q 和 {q}⊨p。因此，对于任何估值函数，V(p)=V(q)。所以p和q必须表达相同的命题。当然，不知道等价性的代理人可能会相信 p 而不相信 q。更糟糕的是，每个句子 p 都使得 ⊢p 必须表达同义反复命题 W。当然，普通主体并不总是能识别命题逻辑的定理。出于这个原因，一些人认为句子，而不是命题，才是信仰的适当对象。然而，我们将研究的大多数提出的模型都要求理性主体对逻辑上等效的句子采取相同的信念态度。这是一个非常严格的要求，相当于假设每个理性主体在逻辑上都是全知的，即她发现所有逻辑蕴涵都是完全透明的。只要情况如此，将信念的对象视为句子或命题就没有显着差异。然而，请参阅 Hacking (1967)、Garber (1983) 和 Pettigrew（即将出版），了解如何放松逻辑全知要求的想法。还有一些人对句子或命题都不满意。 Perry (1979)、Lewis (1979) 和 Stalnaker (1981) 认为，为了捕捉本质上索引性的信念——本质上涉及诸如“我”、“这里”或“现在”等索引词的信念——信念的对象必须是中心命题。我们不会在这里采纳这个有用的建议，但请参阅 Ninan (2019) 或 Liao (2012) 以了解有关中心命题的更多信息。

2. 完全相信的表现

认识论的一个重要传统认为信仰是一个要么全有要么全无的问题。根据这种观点，代理人对句子或命题可以采取三种信念态度：要么相信α但不相信α；要么相信α但不相信α；要么相信α但不相信α；要么相信α但不相信α；她相信 Øα 但不相信 α；或者她既不相信 α 也不相信 Øα。在第一种情况下，我们简单地说她完全相信α；在第二种情况下，我们说她完全不相信 α，而在第三种情况下，我们说她暂停了对 α 和 Øα 的判断。也许从心理上来说，代理人完全相信 α 和 Øα 也是可能的。由于大多数理论家都认为她不应该这样做，因此我们没有为这种情况引入特殊术语。任何允许对信念态度进行更精细分级的信念表示，我们都将其称为信念的分级表示。

我们在本节中介绍的框架主要涉及“全有或全无”类型的信念态度。其中大多数通过她完全相信的所有句子的集合来代表代理人在任何特定时间的信念状态。所有框架都要求，作为理性问题，信念状态必须是演绎封闭的并且不会产生任何矛盾。如果故事就这样结束了，那么这些框架就不会很有趣了。这些框架的真正见解是，代理人的信念状态并不能通过她当前信念的完整列表来充分表示，而只能通过她在获取新信息时更新这些信念的倾向来充分表示。因此，这些框架的重点是制定规范原则，以管理新信息被吸收时信念状态的动态变化。正如我们将看到的，尽管这些框架在很大程度上同意理性的静态原则，但它们在信念更新的动态原则上存在冲突。

了解定性更新动态如何从更精细的信念度结构中产生通常会提供丰富的信息。我们将在本节中看到以下“表示”结果的几个版本：每个满足一组定性动态更新原则的智能体都可以被认为是更新某个结构的分级信念的智能体，相反，每个智能体该结构的分级信念将满足同一组定性动力学原理。这些结果提出了连接完整和部分信仰表征的桥梁原则。

2.1 非单调逻辑

在 1.2 节中，我们引入了演绎结果关系的概念。演绎结果关系的特征之一是，在演绎论证中添加更多的前提可以让你得到与用更少的前提得到的所有相同的结果。换句话说，对于 L 中的任意句子 α,β,γ：如果 α⊢γ，则 α∧β⊢γ。

当然，各种看似理性的日常推理都违反了单调性。如果索菲亚被告知她的温度计读数为 85 华氏度，她就有理由得出结论，在花园里吃晚饭并不算太冷。如果她随后得知她的温度计被移到了她正在煮意大利面的烤箱上方，她可能会收回自己的结论。但这并不意味着她最初的推论是不合理或不合理的。在普通人类环境中，非单调性是不可避免的。众所周知，归纳推理是非单调的。伦理和法律推理同样充满非单调性（Ross，1930 和 Ullman-Margalit，1983）。

非单调逻辑研究波浪十字转门左侧的前提与右侧的结论之间的可废止的结果关系|∼。人们可能会认为左边的前提α是一个表达主体可能拥有的所有“铁证”的句子，而右边的结论是在α的基础上证明的可推翻的结论。表达式 α|∼β 可以理解为：如果我的全部证据是 α，我就有理由得出 β 的结论。因此，可废止后果的特定关系代表了代理人根据新信息更新其信念的倾向。

回想一下 1.2 节，演绎结果关系满足健全性。也就是说，仅当 β 在所有 α 为真的世界中为真时，α⊢β 才成立。从前面的例子可以清楚地看出，可废止的推理不能满足合理性。如果 α|∼β 则也许 β 在 α 为真的“典型”世界中为真。如果 α|∼β，我们称结果关系为放大的，但也存在 α 为真而 β 为假的世界。该术语源自拉丁语 ampliare，“扩大”，因为可废止推理“扩展”或“超越”前提。除了最人为的情况之外，在所有情况下，扩增性和非单调性都是齐头并进的。

在过去的四十年里，人工智能研究人员为可废止推理创建了许多不同的逻辑，通常是为了对特定类型的可废止推理进行建模而开发的。请参阅有关非单调逻辑的条目以获得精彩的概述。鉴于专业逻辑的丰富性，非单调逻辑研究可废止结果的逻辑必须具有哪些属性才能算作逻辑。 （参见 Gabbay (1985) 了解这一抽象观点的起源。）非单调逻辑为比较不同的可废止推理逻辑提供了重要的通用语言。它也非常适合本文的目的，因为它使我们能够比较关于如何根据新证据更新信念的不同规范理论，以及关于完整信念和部分信念应该如何相互关联的理论。

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