信仰的正式表述（二）

在我们继续技术发展之前，介绍一下哲学家约翰·波洛克对非单调逻辑的重要早期批判将会有所帮助。 Pollock (1987) 指出了可废止推理中非单调性的两个来源。代理人可能相信 β，因为她相信 α，并将 α 视为 β 的一个可废止的理由。波洛克为此推论区分了两种否定者：反驳否定者是相信 Øβ 的可否定理由，而削弱否定者是相信 Øα 的理由。任何一种击败者都可能导致代理人收回对 β 的信念。波洛克的观点是，由于非单调逻辑通常不代表代理人理由的结构，因此它们通常无法优雅地处理削弱失败的情况。我们很快就会看到几个例子。

2.1.1 非单调逻辑原理

Kraus、Lehmann 和 Magidor (1990) 阐明了任何“合理的”非单调语言都必须满足的一组原则。现在人们普遍将这套原理称为系统 P。直到今天，这些原理仍然是非单调逻辑无可争议的核心。

(KLM1) α|∼α 自反性

(KLM2) 如果 ⊢β↔γ 且 α|∼β，则 α|∼γ。左逻辑等价

(KLM3) 如果 ⊢α→β 且 γ|∼α，则 γ|∼β。右弱化

(KLM4) 如果 α∧β|∼γ 且 α|∼β，则 α|∼γ。切

(KLM5) 如果 α|∼β 和 α|∼γ，则 α∧β|∼γ。谨慎的单调性

(KLM6) 如果 α|∼γ 和 β|∼γ，则 α∨β|∼γ。或者

自反性仅仅表达了一个人有权从自身推断 α 的不言而喻的真理。接下来的两个原则决定了非单调结果关系如何与演绎结果相互作用。左逻辑等价说，如果 α 和 β 在经典上是等价的，那么它们就允许完全相同的可废止推论。右弱化说，如果 α 可撤销地许可 β，那么它也许可 β 的所有演绎结果。这些原则共同表明，可废止推理涵盖了所有演绎推理。如果我们将 |∼ 视为对有界主体的可废止推理进行建模，这听起来不合理。如果我们将 |∼ 视为对基于某些“硬”证据的放大结论进行建模，那么听起来会更好。

其余的原则是 System P 的核心。Cut 表示，将从 α 推断出的结论添加到前提中并不会增加推理能力。谨慎单调性表示它不会降低推理能力。令 C(α) 为 {β:α|∼β}，即由 α 许可的结论集。如果我们将 |∼ 左边的前提视为表达我全部的“硬”证据，并将集合 C(α) 视为基于 α 归纳推断的理论，那么谨慎单调性就是假设演绎主义的表达：如果我得知我的理论 C(α) 的结果，我不应该撤回我之前的任何结论。而且，Cut 说我不应该添加任何新的结论。综合起来，这两个原则表明，如果你的理论的结果被添加到你的总证据中，你的理论不应该改变，即如果 α|∼β，则 C(α)=C(α∧β)。

最后的原则最好通过其实例之一来理解。用 Øα 代替 β 得出以下原理：

如果 α|∼γ 和 Øα|∼γ，则 ⊤|∼γ。案例推理

任何真正的后果关系都应该能够通过案例进行推理。如果无论我对α了解多少，我都可以推断出γ，那么我应该能够在α问题确定之前推断出γ。总的来说，Or 说，如果 γ 可从 α 和 β 中推导出来，那么它应该从它们的析取中推导出来。任何满足自反性、右弱化和或的结果关系还必须满足以下原则：

若α∧β|∼γ，则α|∼β→γ。条件化

条件化说，在学习新证据时，你永远不会“跳出结论”，除非你的旧信念与新证据进行演绎闭合所带来的结论。这显然不是一个有吸引力的原则。一个仅从琐碎证据开始的智能体要么无法验证条件化，要么根本不会做出任何放大推论。假设在观察 100 只黑色乌鸦后，验证条件化的代理开始相信所有乌鸦都是黑色的。那么，在询问一开始，她一定相信要么所有乌鸦都是黑色的，要么她会看到前一百只乌鸦中的第一只非黑色乌鸦。对于归纳概括的第一个反例何时必须出现，这样的代理人似乎有奇怪的固执己见。

举一个更现实的例子，考虑 1887 年的 Michelson-Morely 实验。在无效结果未能检测到假定的以太风的主导方向上的光速与与风成直角的速度之间的任何显着差异后，物理学家转而反对以太理论。如果物理学家在实验之前验证了条件化，他们一定相信要么不存在发光的以太，要么以太风吹得足够快，足以被他们的设备检测到。但他们为什么要如此自信，认为以太风不会太慢而无法被察觉呢？

即使验证条件化的代理人没有什么令人反感的，但这个论点有一些非常反归纳主义的东西，即所有基于新证据的合理的可推翻的推论都可以被重建为根据先前结论加上新证据的演绎推论。在条件化下，形成归纳概括的倾向必须在探究开始时就用物质条件“编程”。 （参见 Schurz (2011) 的类似批评，但背景略有不同。）任何同情这种批评的人都必须拒绝“或”、反身性或右弱化。从看似没有问题的原理中发现如此令人惊讶的结果是研究非单调逻辑的好处之一。

我们通过介绍一个更突出且有争议的非单调逻辑原理来结束本节。将此原理添加到系统P中会导致通常称为系统R。一个人对此原理的立场将决定人们对我们转向以下的许多理论的看法。 Kraus等。 （1990年）声称，任何理性的推理者都应验证以下谨慎的谨慎单调性：

（KLM7）如果α| 〜β和α

⧸

| 〜γ，然后α∧γ| 〜β。理性的单调性

理性的单调性说，只要新证据γ在逻辑上与您先前的信念C（α）兼容，则不应从C（α）中缩回任何信念。接受理性的单调性和条件化的说法，当面对与她的信念一致的新证据时，理性代理人通过简单地形成了她现有信念的推论，并以新的证据来做出回应。在这种观点上，只要您没有遇到矛盾，演绎逻辑是推理的唯一必要指南。 Stalnaker（1994）给出了以下众所周知的合理单调性反例。

假设索菲亚（Sophia）认为威尔第（Verdi）是意大利语，而Bizet和Satie都是法国人。令α为Verdi和Bizet是兼容的句子。让β成为萨蒂是法国人的信念。令γ为Bizet和Satie是同胞的句子。假设Sophia收到证据α。结果，她得出的结论是，维尔第和Bizet都是法国人，或者都是意大利语，但她不能说哪个。她保留了对萨蒂是法国人的信念。因此α| 〜β和α

⧸

| 〜γ。现在假设她收到证据γ。由于γ与她以前的结论兼容，因此理性的单调性要求她保留对β的信念，并得出结论，所有三位作曲家都是法国人。但是，缩回β并得出结论，这三个都是意大利语或所有法国人似乎完全合理的。

凯利（Kelly）和林（Lin）（即将到来的）使用以下示例来反对合理的单调性。索菲亚（Sophia）的办公室只有两个人，叫爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）。她对其中一个人是否拥有某个福特感兴趣。令β为爱丽丝拥有福特的句子。令γ为鲍勃拥有福特的句子。索菲亚（Sophia）尚无定论的证据表明爱丽丝（Alice）拥有福特（Ford） - 她看到她像这样驾驶。她的证据表明鲍勃拥有福特 - 他的兄弟拥有福特经销店。根据她的总证据α，她得出结论β∨γ，即办公室中的某人拥有福特，但并没有推断出β或γ。然后，爱丽丝说，她驾驶的福特被租了，她没有汽车。这打败了索菲亚（Sophia）的β∨γ的主要原因，因此她缩回了自己的信念，即办公室里的某人有福特。但是自α

⧸

| 〜β，有理单调性要求她保留对β∨γ的信念，并得出结论鲍勃拥有福特。但是，她对她的理由似乎没有什么不合理的。这似乎是Pollock（1987）的说明：逻辑是错误的，因为它忽略了Sophia原因的结构。

理性单调性的捍卫者将争辩说，如果我们发现这些反例可能是合理的，那是因为我们的代理人先前信念的结构或触发更新的信息的代表性不足。他们认为，如果我们要详细描述这些这些，那么我们不会被这些反例所相信。有关此防线的详细说明，请参见Lin（2019）第5节。对理性单调性的其他批评本质上并不基于反示例的合理性，而是基于理性单调性与竞争性探究规范的不兼容。由于Lin和Kelly（2012），将在第4.2.4节中讨论这样的批评。有关另一个例子，请参见Genin和Kelly（2018）。

2.1.2优先语义

到目前为止，我们仅将非单调的后果关系视为句法对象之间的关系。我们可以重现非单调逻辑“语义上”的属性，即，就句子是真实或错误的可能世界而言。在某些情况下，这使我们能够对不理逻辑给出非常明显的视野。

从第1.2节回顾一下，演绎后果关系可以满足声音的满足，即仅在α在α为真的世界中β为真时，α⊢β。正如我们已经讨论的那样，非单调逻辑具有扩增性，因此必须违反合理性。 Shoham（1987）为非单调逻辑开设了一种语义，其中α| 〜β仅当β在“首选”世界中为β为真，其中α是正确的。在典型的解释中，这些是最典型或最正常的世界，其中α是正确的。

Kraus等。 （1990）首先证明了本节的大部分结果。但是，原始结果以一种普遍性的水平说明，在这里为我们的目的带来了太多的技术大惊小怪。我们陈述了它们结果的简化但更明显的版本。参见Makinson（1994）和关于原始作品的介绍的不可行的推理。

优先模型是triple⟨w，v，≺⟩，其中w是一组可能的世界，v是一个估值函数，而≺是W.元素的任意关系。从第1.2节中，v（α）为α为真的世界集。每当x≺y和y≺z时，关系≺是及时的。关系≺对于全w∈W是无反射的iff。及时的反射性关系称为严格的命令。我们编写w⪯viffw≺v或w = v。严格的顺序是w，v∈W的总iff或v≺w。

我们说w是一个α-最小世界iffw∈V（α），没有v∈V（α），因此v≺w。每当β在所有α-最小世界中均为β时，每个优先模型都会通过设置α| 〜β产生后果关系。 Kraus等。 （1990）证明了以下内容：

定理。假设≺在W上是一个严格的秩序。通过在所有α-微米世界中设置α| 〜βIFβ来定义后果关系|〜。然后，|〜满足KLM1-6。如果≺总计，也可以满足KLM7。相反，假设后果关系|〜满足KLM1-6。然后，存在一个严格的秩序，使得在所有α-最低世界中α| 〜βIFβ都是正确的。如果还满足KLM7，则可以选择该订单为总。

这意味着我们可以解释任何后果关系|〜满足基本的klm假设：|〜表示（1）（1）对W和（2）中的一组可能性进行严格的合理性订购的代理人的信念处置。相信与她的艰难证据兼容的“最合理的”可能性所带来的一切。如果不满足理性的单调性，那么在合理性中将不可忽视某些可能性。否则，所有可能性都是可以归功的。

2.2 AGM信念修订理论

像非单调逻辑一样，信仰理论修订与如何根据新证据来更新自己的信念。当新证据与所有先前的信念一致时，该理论的律师很简单，即使是严格的：只需将新证据添加到您的旧信念中，然后在演绎后果下关闭。当新证据与您先前的信念不一致时，事情会更加复杂。如果您想整合新信息并保持逻辑上一致，则必须撤回一些原始信念。信念修订的核心问题是，仅演绎逻辑不能告诉您您要放弃哪些信念 - 这必须通过其他一些手段来决定。

考虑到一个类似的问题，Quine and Ullian（1970）阐明了“保守主义”的原则，认为我们的新信仰可能必须与我们以前的某些信仰冲突；但是越多越好。”在他的（1990年）中，Quine Dub是“最小肢解的最大值”。受这些暗示性原则的启发，Alchourrón，Gärdenfors和Makinson（1985）在其三个发起人之后，开发了一种高度影响力的信仰修订理论，此后称为AGM理论。

在AGM理论中，代理人的信念由正式语言L的一组句子B表示。集合B被称为代理人的信仰状态。信念状态必须保持一致和演绎封闭（Hintikka 1961和认识论逻辑的条目）。当然，这是一个不切实际的理想化。李维（Levi，1991）通过更改B型的解释来捍卫这种理想化，这些句子是代理人致力于相信的句子，而不是她实际相信的句子。尽管我们可能永远不会履行我们的承诺，但李维斯认为我们致力于信仰的逻辑后果。这可能会挽救该原则，但只能通过改变理论的解释。

AGM理论研究了三种不同类型的信念变化。当信仰状态B被B÷α取代时，就会发生收缩，B÷α不再包含α的逻辑闭合子集。当信仰状态B被B+α= Cn（B∪{α}）取代时，就会发生扩展，这是简单地将α添加到B中并在逻辑后果下关闭的结果。当信念态B被信念态B ∗α取代时，就会发生修订，这是“最小肢解” B以适应α的结果。

收缩是AGM研究的信念变化的基本形式。如何定义扩展没有任何神秘信息，通常通过Levi身份（1977）来定义修订：B ∗ p =（b÷¬p）+p。为未来的工作设置模具（Gärdenfors1988，Gärdenfors和Rott 1995），Alchourrón，Gärdenforsand Makinson（1985）（1985年）以公理的方式进行：他们假定了几种原则，即每个理性的收缩操作都必须满足。 AGM理论的基础是几种代表定理，表明某些直觉结构会产生满足基本假设的收缩操作，相反，每个满足基本假设的操作都可以看作是这种结构的结果。有关这些结果的出色介绍，请参见《信念修订》，Huber（2013a）或Lin（2019）的条目。

AGM理论专注于信念收缩是独一无二的。对于关心维护数据库的人来说，收缩是一个相当自然的操作。医学研究人员可能希望发布数据集，但请确保不能使用它来识别患者。隐私法规可能会迫使数据收集者“忘记”有关您的某些事实，并且自然而然地，他们希望尽可能保守地做到这一点。但是，一个合理的论点认为，所有形式的理性信念变化在“野外”中发生，涉及学习新信息，而不是保守地​​消除旧信念。文章中涵盖的所有其他形式主义都集中于这种信念变化的形式。因此，我们专注于AGM修订和忽视收缩理论。

在深入研究某些技术发展之前，我们提到了一些重要的反对意见和AGM框架的替代方案。正如我们已经提到的，代理人的信念状态由代理人承诺相信的（演绎封闭的）句子（外包封闭）B表示。代理原因的结构没有明确表示：您不能说出任何两个α，β∈B是否是另一个原因。 Gärdenfors（1992）区分了基础理论，这些理论可以跟踪哪些信念证明他人的合理性以及连贯的理论，这些理论忽略了理由的结构，而是专注于信念是否彼此一致。争论连贯的方法，他在两者之间有一个明显的区别：

根据基础理论，首先，信念修订应放弃所有不再具有令人满意的理由的信念，其次，在添加已成为合理的新信念时。另一方面，根据一致性理论，这些目标首先是在经过修订的认知状态保持一致性，其次是对旧状态的最小变化，以确保整体连贯性。

在这段经文中隐含的是，基础理论对最小肢解的原则不同情。在其他地方（1988），Gärdenfors更加和解，这表明某些混合理论是可能的，甚至可能是可取的：

我承认，此处介绍的宫缩和修订的假设非常简单，但是它们似乎捕获了可以为信仰集的微薄结构制定的内容。在更丰富的认知状态模型中，例如承认要提出的理由，必须更加谨慎地表达相应的保守性假设（第67页）。

以前，我们已经看到Pollock（1987）提倡基础主义。在人工智能中，道尔（Doyle，1979）的理性维护系统被采用以说明基础方法。 Horty（2012）认为，默认逻辑恰当地表示原因的结构。有关基础主义的辩护，以及对两种方法的有用比较，请参见Doyle（1992）。

另一个基础主义的观点倡导信仰基础而不是信仰国家。信仰基础是一组句子，通常在逻辑后果下不关闭。它的元素代表了不是其他信仰的“基本”信念。这使我们能够区分明确的信念的句子，例如“莎士比亚写小村庄”和从未想到的演绎后果，例如“莎士比亚写了《哈姆雷特》或《艾伦·图灵》在星期一出生。”然后重新定义修订和收缩，以在信念基础上进行操作，而不是信念集。这可以表达出更细微的区别，因为具有相同逻辑封闭的信念基础不会互换处理。有关信念基础的介绍，请参见“信念修订逻辑”条目的相关部分。有关长度的治疗，请参见Hansson（1999b）。

最后，对AGM理论的最常见批评之一是它不会阐明迭代的信念变化。在下文中，我们将看到规范的修订操作将其作为对信仰状态的内在订购的输入，但在没有牢固命令的情况下输出了信仰状态。这严重不足是随后的修订结果。有关迭代信念修订问题的更多信息，请参见Huber（2013a）。

2.2.1信仰修订原则

Gärdenfors（1988）提出了以下假设，以进行理性信念修订。对于每组句子b⊆l和任何句子α，β∈L：

（AGM*1）B ∗α= Cn（B ∗α）;关闭

（AGM*2）α∈B∗α;成功

（AGM*3）B ∗α⊆Cn（b∪{α}）;包容性

（AGM*4）如果€α∉B，则Cn（b∪{α}）⊆B∗α;保存

（AGM*5）b ∗α是不一致的。一致性

（AGM*6）如果⊢α↔β，则B ∗α= B ∗β。扩展

闭合，成功，一致性和扩展性都对B ∗α施加同步约束。他们对它必须与先前的信念B.闭合必须如何相关，这不需要说新的信念即可封闭。放弃这一要求会使您进入信仰基础的营地，而不是信仰集（Hansson 1999a）。成功要求新信息包含在新的信念状态中。非优先级的信念修订使这一要求放松了这一要求（Hansson 1999a）。扩展性要求代理仅对证据的逻辑内容敏感，而不是对其表现方式敏感。一致性要求新的信念状态在逻辑上是一致的，至少在证据是非矛盾的时候。

保存和包容是真正关于修订的唯一规范 - 它们捕捉了AGM修订的历时性精神。包容性说，α的修订应不应产生比α扩展更多的新信念。换句话说，您在修订α后相信的任何句子β都是α和您先前信念的演绎后果。考虑以下原则：

如果β∈B∗α，则（α→β）∈B。条件化

在第2.1.1节中，我们考虑了非单调逻辑的条件化类似物。在信念修订的背景下，所有相同的异议都同样适用。从第1.2节回顾，演绎后果关系允许扣除定理Iffδ∪{α}⊢β意味着Δ⊢α→β。只要扣除定理可用于CN（×），包含和条件化是等效的。如果您发现有任何反对条件化的论点令人信服，那么您应该对包容性持怀疑态度。

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