阿拉伯和伊斯兰数学哲学（三）

这些论点通常在物理背景下进行讨论。这是因为它们首先是设计出来的，以表明实际上没有任何无限的物质存在。但是，如果我们认可文字主义，我们将数学对象视为物理对象的属性，那么在物理世界中存在实际无限的不可能意味着不可能无限扩展的几何线和无限的数字集。但是，那些拒绝数学本体论的文字主义的人对此类论点对数学对象的适用性有不同的看法。例如，fakhr al-dīnal-rāzī认为，映射论点不能拒绝自然数的无限级，因为他将数学对象作为思想依赖和完全非物质的实体（sharḥ问了Al-ail-ail-ail-ashbīdimistion） ：53–57]）。尽管我们可以呼吁映射论点拒绝在外界世界中无限收集不同物理对象的存在，但该论点不能拒绝存在无限数量的数量与数字之类的无限数量的存在相信（Zarepour 2020b：4.1）。

有趣的是，一些穆斯林哲学家认为，即使是思想，就意识到无限事物也有其自身的局限性。例如，伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）认为，尽管我们可以想象任何任意长度的有限线（即，无论它们有多长时间），但我们无法想象实际上无限的线路。因此，尽管我们可以想象有限的线比宇宙的大小更长，但我们无法想象一条实际的无限线。伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）认为，在外界甚至在脑海中都不存在实际的无限态度（Masoumi Hamedani 2013； Ighbariah＆Wagner 2018：80）。

1.4连续性

穆斯林思想家对数学连续性的看法与他们在原子主义与关于物理世界本质的杂种性之间的辩论中所维持的立场交织在一起。对于Avicenna，物理世界和数学对象领域之间没有差距。至少，如果我们接受对数学本体论的文字主义的解释，至少是这样。他认为几何幅度是连续的，因为它们没有实际的部分。相应地，物理尺寸是连续的，没有实际的部分。我们当然可以将任何连续的幅度分为较小的部分。在物理世界中，物理尺寸的长度有一个实际的下限，实际上可以将其分解为较小的幅度。相比之下，在我们的估计学院中，该极限消失了，所有幅度都可能无限分开。尽管从理论上讲，尽管存在这种实际差异，但几何线和物理维度的结构之间没有差异。结果，几何连续性意味着物理原子是错误的。的确，Avicenna吸引了数学连续性拒绝物理原子主义（Avicenna [PH2]：第三章3-5； Lettinck 1999； Dhanani 2015； McGinnis 2019：2019：Sec。3）。

与Avicenna相反，有一些哲学家同时认可数学连续性和身体原子。例如，Shahrastānī（卒于1153年）坚持认为，估计学院的判断不够可靠，无法说服我们物理幅度可以实现潜在的无限分歧。他认为身体的幅度不是无限的。它们的零件数量是实际甚至潜力的数量，都是有限的。 Shahrastānī提醒我们，尽管可以想象到无限的宇宙规模，但哲学家通常会拒绝宇宙是无限的。 Shahrastānī依靠类似的方法认为，尽管每个级别都可以想象到无限的分裂，但有强有力的论点表明，在这种情况下，估计学院是错误的，并且没有物理上的幅度是无限分组的。估计中宇宙大小的无限扩展与宇宙是有限的。同样，估计中幅度的无限分裂性可能与它们在外部世界中只有有限数量的（潜在）部分兼容，或者Shahrastānī似乎相信（Al-Shahrastānīsumma Philosophiae，513; McGinnis 2019）。这意味着，如果我们仅将数学对象作为估计构造，那么我们可以将纯粹的数学连续性与物理原子主义调和。

提出了一个微妙的修改，Fakhr al-Dīnal-Rāzī（Al-Manṭiq，第6卷，第6章，第63卷）反对Democritus，认为在想象中可以分解的一切在外部世界中都是可以分解的。他认为，我们可以想象的可划分幅度的长度是一个下限。在估计中，每个大小都可以分开，这并不是事实。他并不拒绝在欧几里得的几何形状中无限划分。但是，他似乎并不接受我们可以在欧几里得几何形状的背景下谈论的各个阶段的视觉图像（通过估计学院）。艾尔·拉兹（Al-Rāzī）拥抱物理原子主义（在他后来的作品中），否认连续的欧几里得几何形状可以代表外部世界的真实结构（Setia 2006; Eftekhari 2018; 2018; 2019）。除了估计学院之外，人们没有其他现实的说法在后来的原子学家（如孙子al-dīnal-ʾījī（卒于1355年）的作品中）（卒于1355年）（Hasan 2017：233-35）。

2。数学认识论

2.1抓住数学概念

大多数谈论过数学概念认识论的穆斯林思想家认为，这些概念是通过某些认知机制形成的，这些认知机制的第一个输入是我们通过外部感觉收到的数据。这种机制的细节由不同的哲学家以不同的方式阐明，具体取决于他们对人类认知心理学的一般情况。例如，Avicenna提出了一个思想实验，表明在没有意识感知的情况下无法掌握数学概念（Avicenna [MPH]，第VII章，第1章，第1节； Zarepour 2019：Zarepour 2019：Sec。5; 2021，sec。 3）。这表明Avicenna认可对数学的某种概念经验主义。关于对Avicenna数学本体论的文字主义解释，数学对象存在于明智的世界中，因为物理对象的不可感知的含义属性（Maʿānī）。像所有其他涵义属性一样，数学实体也受到估计学院的看法。例如，当我们看到两本书时，是估计学院就会感知到两种。在这种经验中，外部感官收集的明智数据将通过调解常识的调解转移到估计学院（ḥissMushtarak）。估计使我们能够忽略我们所拥有的所有其他特征，并且能够感知到我们的外部感官无法直接获得的两种特征。

即使是关于数学本体论的字面意义，仍然存在许多数学实体，数学家可能会参与其中，但在外部世界中不存在（例如，一个复杂而非凡的几何形状，在明智的世界中没有任何对应）。 Avicenna认为，想象学院（Mutakhayyila）可以通过分析，综合，分离和结合以前被感知并存储在我们的认知能力中（Zarepour 2021：Sec。33：Sec。33：Sec。33： ）。但是，如果我们认可Avicenna数学本体的抽象主义约束，那么所有数学对象都是心理结构。在外部世界中没有数学对象，可以直接被估算所感知。在这种解释中，估计学院与想象学院合作，产生理想的对象，在我们的脑海中没有一个。这些学院的心理行为使我们能够构建几何形状和数字（Ardeshir 2008; Tahiri 2016; 2018）。

无论如何，由于估计是身体的教师，因此无法与完全无关紧要的事物互动。因此，它将数学实体视为与物质相关的事物（尽管不是与特定物种相关的事物）。估计对象不是可理解的通用概念。因此，必须通过将积极的智力添加到我们的故事中来完成掌握数学概念的认知过程（Zarepour 2021）。关于Avicenna认识论的一篇阅读（Nuseibeh 1989; Davidson 1992：第4章； Goodman 1992 [2006]; Black 2014），《估算学院的行为》准备我们的灵魂，以接受我们的灵魂，以获得由活跃的智力所散布的普遍概念。在Avicenna认识论的另一个说法（Hasse 2001; Gutas 2012）中，积极的智力只是可理解概念的储层，因为内部教师的准备和不可避免的功能，我们找到了访问权限。总而言之，对数学概念的获取是一个从感知感知开始的过程，并以主动智力的功能结束。在这两个阶段之间，一般内部能力的运作以及尤其是估计和想象力的能力是必要的，也是不可避免的。

在Avicenna的当代科学家的作品中介绍了抓住数学概念的程序的图片，尽管非常相似，但掌握了数学概念的过程。例如，伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）只谈到了两个学院：想象力（takhayyula）和杰出（Tamyīz）。想象力是根据我们的感知感知留给我们的印象，构造了理想化的数学对象。例如，想象力使我们能够从我们在外部世界中看到的明智的身体中抽象几何幅度。但是，从数学对象的图像到数学概念的过渡是必须由杰出学院进行的。这个教师扮演了双重角色。一方面，它有助于分析，合成，分离和结合先前感知的（或产生的图像）。在Avicenna的心理学中，该角色被分配给Mutakhayyila。另一方面，杰出教师是积极智力的替代。在伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）的哲学中，概念化的最后一步是由杰出学院实现的。有人认为，积极的智力和神圣的光在伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）的知识理论中没有任何重要作用（Ighbariah＆Wagner 2018）。

al-Bīrūnī或多或少地与Avicenna相似，Al-Bīrūnī接受了一些数学实体，例如线条和点在物理世界中，但它们不能被我们的外部感觉所掌握。然而，我们通过意义经验获得的数据使我们能够感知这些对象和/或产生在外界世界中不存在的理想结构（Samian 2011）。但是，他似乎并没有清楚地了解认知心理学，在这些心理学中，不同能力的角色明确区分了。这就是为什么他在两张图片之间摇摆的原因，其中一张估计（wahm）是第一个逮捕数学对象的教师，而在另一个估计中，必须由智力（ʿAql）扮演这个角色。从后者的角度来看，智力水平以下没有什么可以感知数学对象。 Al-Bīrūnī之间的两个竞争对手观点之间的犹豫变得更加明显，尤其是当我们接受Kitābal-Tafhīm的波斯语和阿拉伯语版本都是由他自己写的。例如，在阿拉伯语版本中，他声称除了智力以外的任何教师（al-Bīrūnī[astro]：3）以外的任何其他教师都无法构想要点。相比之下，在波斯版中，他将这一角色归因于估计（al-Bīrūnī[instr]：7）。他似乎没有考虑可理解的（maʿqūl）和估计性（Mawhūm）之间的任何明确边界。

在后来的穆斯林思想家提出的NAFS al-ʾAMR理论的背景下，外部感官，估计和智力都相互合作，以使我们对数学实体的概念，因为他们在NAFS al-ʾamr中。但是，我们可以访问和了解NAFS al-ʾAMR领域的过程绝不是神秘的，而是主动智力在Avicenna哲学中的作用。

2.2数学原理的认识论状态

每个命题都是由概念构成的有序结构。但是要知道一个命题，它不足以仅仅知道其概念上的组成部分。我们还需要采取进一步的步骤。跟随亚里士多德和欧几里得，大多数（如果不是全部）穆斯林哲学家都相信认识论的基础主义/公理学叙述，根据这些说法，所有知识的实例最终都建立在基本的基础（Mabādi'）的基本概念和命题上，这些概念和命题可以直接知道，这些概念和命题可以直接知名度立即地。非基本概念和命题可以分别源自基本的概念（taʿārīf或ḥudūd）和三段论（qiyāsāt）。这意味着，在获得命题P的概念组成部分之后，我们仍然需要采取以下三个步骤：

订购并组合获得的概念以形成P作为结构化的统一性，

同意基础命题的真理（taṣdīq），以及

通过基础命题的一些三段论建立P的真理。

对于Avicenna，想象力的学院在步骤（1）和（3）中扮演着至关重要的角色。想象力使我们能够通过探索我们对以前掌握的概念的存储并将它们结合起来制作各种有序的概念结构（并检查它们是否形成有意义的命题），从而得出有意义的命题。此外，想象力使我们能够考虑命题的组合，以找到合适的（连续的）三段论，这可以使我们提出所需的命题。此过程中最关键的部分是为三段论找到合适的中间术语，这可以使我们得出预期的结论。在Avicenna的哲学中，想象学院进行了这一搜索行动。关于这种观点的一个直接问题是，作为身体教师，想象力如何娱乐应该是完全无关紧要的可理解实体的普遍概念。 Gutas（2001），Adamson（2004）和Black（2013）研究了该问题的各种可能答案。在伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）的哲学中，这是在（1）和（3）中扮演着核心角色的杰出学院。 （有关（3）的更多信息将在下一部分中说）。

当我们转向（2）时，事情变得更加复杂。遵循古希腊的传统，穆斯林哲学家将示范科学的基本原理分为三类：共同的概念/公理（al-uṣūlal-mutaʿārarafa），假设（al-uṣūlal-al-mawḍḍū了）和（muṣādarāt）。粗略地说，共同的概念是我们知道的最明显的命题，即我们掌握的第一原则。假设和假设不像公理那样明显。原则上需要证明它们。这两组原则通常是根据学习它们的学生的认知态度来区分的。假设是学生似乎没有证据证明他们的基本原则。相比之下，假设对学生来说似乎是可疑的，因为她可能会对这些原则的合理性有一些感受和想法。在中世纪穆斯林思想家的作品中，最经常重复的假设例子可能是欧几里得几何形状的平行假设。此分类由Al-Nayrīzī（卒于922年；在Besthorn＆Heiberg 1893：14-26），Al-Fārābi（Al-Manṭiq，Chaps。87-90），Avicenna（Avicenna），Avicenna（Al-Burhān，Chap，Chap） 。

由于数学假设和假设最终必须基于先前已知的命题来证明，因此似乎数学命题的认知状态取决于我们如何掌握这些原则中最明显的。换句话说，似乎所有数学命题都可以通过公理通过完全先验的（= = consens-bexperience依赖性的）机制来得出。

穆斯林思想家对数学原则的认知状况以及我们同意这些原则的真实性的认知原则的认知状况尚无共识。例如，可以证明，根据Avicenna的说法，数学的每个基本命题都包含在Awwalīyāt（主要数据）或Fiṭrīyāt中（或更完全，更完全，更完全，Muqaddamātfiṭrīyātal-Qiyās，该数据与内置数据转换为“内置数据”。在Gutas（2012）的三段论中）。 “整体大于部分更大”，“四个是什至”是Awwalīyāt和fiṭrīyāt的两个最著名的例子。根据Avicenna的说法，Awwalīyāt没有中间术语，因此，没有任何三段论可以证明它们。它们太基本和显而易见，需要证明（或根本可以证明）。一旦我们掌握了构成Awwalī命题的所有概念，我们就立即同意该命题的真理。这些命题是不言而喻的和必要的。没有人对他们有理性的怀疑。与Awwalīyāt不同，Fiṭrīyāt具有中间术语，必须证明。但是，必须建立fiṭrī命题的三段论是如此简单，以至于一旦次要术语（即主题）和主要术语（即谓词）被掌握，中间术语就会出现在心中和真理中。该主张得到同意。例如，在掌握了第四个概念之后，即使在我们的脑海中，概念可分开，我们可以肯定一个事实，即“（每个）四个是甚至通过以下三段论（Mousavian＆Ardeshir 2018）：

（每个）四个可以排两个。

（每个）可除以两个。

所以：

（每个）四个是偶数。

Awwalīyāt和fiṭrīyāt的真相都通过智力的自然行动（Fiṭra）表示同意。因此，在掌握了它们的概念组成部分之后，我们可以掌握这些命题，而无需吸引我们从感觉经验中获得的数据。这些命题是由非A先验概念构成的。但是，在我们掌握了它们的概念成分之后，这些命题可以通过先验机制证明是合理的。但是，我们应该谨慎地，优先事项并不需要在出生时给予的天赋。 Avicenna拒绝我们在出生时具有任何命题知识的实例。 （有关AvicennianAwwalīyāt和fiṭrīyāt的认知地位的不同观点，请参见Zarepour 2020a; 2020c; Gutas 2020。）

关于数学基本命题的或多或少的相似说法可以在诸如al-Fārābi和al-al-asī等哲学家中找到。但是，Avicenna的一些同时代人和一些后来的Avicennian思想家对数学命题的真实性采取了一种更经验和/或更持怀疑态度的方法。例如，在他对欧几里得元素的第一个评论中，伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）萨克·穆萨特（SharḥMusistarāt）遵循了主流观点，即数学的基本命题是不言而喻的，必要的，并且是理性的。但是，在他的第二个评论中，他（[疑问]）认可了更经验的立场，并认为我们通过在日常生活中频繁使用它们来获得这些知识。例如，考虑常见的概念“彼此相对应的事物相等”。伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham）说，我们接受这一主张，因为我们反复看到，当一个身体被映射或超过另一个身体时，它们的长度并没有彼此超越，我们的智力（灵）（差）判断这些身体（或者更多）确切地说，它们的长度是相等的。没有这样的经验，我们无法同意这个公理的真实性。因此，我们对这种公理的了解在某种程度上依赖于感官体验（Ibn al-Haytham [疑虑]：31; R. Rashed 2019）。

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