数学联邦政治世界观
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阿罗定理(五)

5.3 更多序数信息:分数和等级

尽管有阿罗定理,但实现社会秩序的另一种方法是允许人们提供比阿罗框架内允许的更多的关于他们偏好的有序信息。阿罗将个人输入限制为替代方案的弱排序的目的是排除有关公用事业的主要信息。然而,这个限制对于其目的来说太严格了。人们表达自己偏好的一种方式是对他们的选择进行评分。现在,尽管一般等级不包含主要信息,但 Arrow 的框架没有规定人们可以使用它们输入自己的偏好。这可能看起来是 Arrow 的一个小疏忽,但它很重要,因为有一些方法可以聚合分级输入,而这些方法不适用于偏好排序,随之而来的是另一个“逃避”Arrow 的不可能性。展示它是如何进行的需要稍微扩展 Arrow 的框架。

令等级语言 L 为严格有序的表达式集合,即等级。成绩可以是自然语言的形容词表达,例如优秀、良好、可以接受、差和糟糕,也可以是诸如学术评价中熟悉的字母等级之类的字符。它们可以是数字(当时通常称为分数)或星串,通常用于评估酒店和餐馆。它们可以是按固定顺序(从“上”到“下”)出现的任何符号。

等级函数 Gi 将备选方案集 X 映射到某个给定的等级语言 L。直观地,Gi(x) 是 i 对备选方案 x 的等级。等级函数 Gi 包含与备选方案的某些弱排序 Ri 一样多的信息。如果 Gi(x)≥Gi(y),则可以通过设置 xRiy 来看出这一点:如果我对 x 的评分至少与 i 对 y 的评分一样高,则相对于 y,我较弱地更喜欢 x。一般来说,Gi 比相应的排序包含更多的信息,因为我们不能总是反向操作:不同的等级函数对应相同的排序。例如,表达 A 优于 B 的一种方式是说,虽然 A 很好,但 B 仅仅是可以接受的;另一种说法是,虽然 A 很好,但 B 很糟糕,但这并不是一回事,因为可接受的和糟糕的不是一回事。成绩中的附加信息通常不是主要信息,因为例如英语中的普通形容词“好”、“可接受”和“糟糕”等表达方式不包含关于 A 和 B 有多好的主要信息。

等级档案是一个等级函数列表 ⟨G1,…,Gn⟩,每个人对应一个 1,…,n。多轮廓域和社会福利函数 f 的概念在阿罗的框架中定义,用等级轮廓代替阿罗的弱顺序轮廓(社会福利函数的输出不是替代方案的社会分级,而是它们的社会排序,就在 Arrow 的原始框架中)。阿罗定理的条件相应地重新表述;例如,重新表述的域假设是:

无限制域 (U):f 的域包括 X 上定义的 n 级函数的每个列表 ⟨G1,…,Gn⟩。

Arrow 的独立性条件变为:

不相关替代方案的独立性 (I):对于 X 中的所有替代方案 x 和 y,以及所有轮廓 ⟨Gi⟩ 和 ⟨G

*

⟩ 在 f 的域中,如果 ⟨Gi⟩|{x,y}=⟨G

*

⟩|{x,y},则 f⟨Gi⟩|{x,y}=f⟨G

*

⟩|{x,y}。

直观地说,重新表述的独立性假设表明,一种选择在社会秩序中是否排名高于另一种,仅取决于每个人对这两种选择的评分。其他替代方案在这个问题上“无关紧要”。

存在满足阿罗定理所有条件的社会福利函数,并针对分级投入重新制定。例如,对于奇数 n 人,社会福利函数中值分级就可以满足要求。给定等级函数的轮廓 ⟨Gi⟩,当我们从顶部按顺序列出 x 的所有等级 G1(x),…,Gn(x) 时,替代 x 的中值等级是位于中间的等级与此简档相关的社会排序按照替代方案的中值等级进行:xf⟨Gi⟩y 意味着x 的中值等级或者与y 的中值等级相同,或者更高。

为了验证中值评分是否满足重新制定的条件,以非独裁条件为例。如果对于任何替代项 x 和 y,并且对于 f 域中的任何轮廓 ⟨…,Gd,…⟩:如果 xPdy,则 xPy,则人 d 是 f 的独裁者。当 f 是中位数评分时,这意味着每当独裁者通过给予一种替代方案相对于另一种替代方案表示严格偏好时,通过给予该替代方案更高的分数,该替代方案在社会排序中也严格排名更高,具有更高的中位数分数。除了只有单一等级的语言这种微不足道的情况之外(这使得不可能表达严格的偏好,赋予每个人空洞的独裁权力),并且假设至少有两个替代方案和三个人,在不受限制的领域中的中值等级没有要看到这一点,请考虑任何给定的人 p,以及任何两个替代方案 A 和 B。在不受限制的领域中,存在一些配置文件,其中 p 的 A 成绩高于 p 的 B 成绩,但其中每个人else 对这些替代方案的评分正好相反:除了 p 之外,每个人对 B 的评分与 p 对 A 的评分相同,对 A 的评分与 p 对 B 的评分相同。在此配置文件中,A 的中位数评分是 p 对 B 的评分,B 的中位数评分是 p 对 A 的评分,其中较高。因此,虽然p严格地偏爱A而不是B,但B在社会秩序中的排名严格高于A,并且p不是独裁者。对每个人重复这个演示,其他人也都不是独裁者。在等级概况的不受限制的范围内满足其他重新制定的条件也同样简单。

米歇尔·巴林斯基 (Michel Balinski) 和里达·拉拉基 (Rida Laraki) (2007) 表明,评分和分级能够“逃脱”阿罗的不可能性,同时保持在序数框架内。他们的多数判断理论是对中值评分的概括,它比等级资料中的序数信息更多地使用(Balinski 和 Laraki 2010)。巴林斯基和拉拉基坚持认为,人们必须分享他们所谓的成绩“共同语言”,但没有给出这个概念的精确含义。事实上,可以证明,当不同的人可能有非常不同的评分阈值时,等级配置文件中的信息并不比相应的弱排序配置文件中的信息多。然后,阿罗不可能的近亲又回来了(Morreau 2016)。

阿罗在晚年意识到,评分和分级为民主创造了可能性,而他的框架不必要地排除了这种可能性。在 2012 年的一次采访中,他指出:

现在还有另一种可能的思考方式,这没有包含在我的定理中……每个选民不仅仅给出排名。但是说,这很好。这不好。或者说,这很好。这很糟糕。所以我有三到四节课……这改变了投票的性质。

有关本次采访的文字记录,请参阅其他互联网资源。

5.4 基本信息

Amartya Sen(1970)扩展了阿罗的框架,将个人 i 的偏好表示为效用函数 Ui,将替代方案映射到实数:Ui(x) 是 i 从 x 获得的效用。 Sen 框架中的偏好配置文件是效用函数的列表 ⟨U1,…,Un⟩,域是这些函数的集合。聚合函数(现在是社会福利函数)将某个领域中的每个配置文件映射到替代方案的弱排序上。

森展示了如何通过协调从个人资料中得出的社会秩序来研究有关公用事业的可测量性和人际可比性的各种假设,这些个人资料根据这些假设携带相同的信息。例如,具有人际不可比性的序数测量——由阿罗直接构建到他的技术框架中——在森更灵活的设置中,相当于要求从任何效用配置文件中导出相同的社会排序,这些效用配置文件减少到相同的列表订单。在另一个极端,如果这些配置文件产生相同的社会秩序,并且可以通过重新调整或将所有效用函数乘以相同的正实数来从彼此获得相同的社会秩序,则效用是在具有完全人际可比性的比率尺度上进行衡量的。森探索了这些假设的不同组合。

一个重要的发现是,拥有基本效用本身并不足以避免不可能的结果。此外,效用必须具有人际可比性。直观地说,要充分利用有关偏好优势的信息,就必须能够比较不同个人偏好的优势。参见 Sen(1970:定理 8*2)。人际可比性为聚合效用和偏好开辟了许多可能性。从古典功利主义和罗尔斯的差异原则中可以读出两个重要的原则。详细内容请参见社会选择理论条目。

6. 重新解释

Arrow-Sen 框架适用于研究除最初开发的问题之外的一系列聚合问题。本节简要讨论其中一些。

6.1 判断聚合

从认识论的角度来看,民主制度的价值部分在于它们倾向于在与公共决策相关的问题上得出真相(参见 Estlund 2008,但请比较 Peter 2011)。这个想法得到了孔多塞陪审团定理的一些支持。简而言之,它告诉我们,如果个人更有可能在某些事实问题上独立地做出正确判断,那么通过多数投票得出的足够大的群体的集体判断几乎肯定会做出正确的判断。是正确的(Condorcet 1785)。个人认知多样性促进的“群体智慧”现象为认知概念提供了进一步且可以说更好的支持(Page 2007,Landemore 2012)。但对事实进行集体判断的可能性存在理论上的限制。从 Kornhauser 和 Sager(1986)对法律环境中群体审议的讨论开始,判断聚合理论的工作探索了与孔多塞和阿罗在偏好聚合中发现的悖论和不可能性定理密切相关的悖论和不可能性定理。有关概述,请参阅 List (2012) 和进入社会选择理论。

6.2 多标准决策

在许多决策问题中,有几个标准可以用来比较替代方案,并且将这些标准放在人的位置上,在 Arrow-Sen 框架内研究此类问题是很自然的。阿罗定理,如果其各种假设和条件的类似物是适当的,那么它告诉我们,没有任何程序可以达到吸收不同标准比较的“总体”排序。

Arrow-Sen 框架已用于研究工业决策(Arrow 和 Raynaud 1986)和工程设计(Scott 和 Antonsson 2000;比较 Franssen 2005)中的多标准评估。 Anandi Hattiangadi(即将发表)认为,阿罗定理限制了解释主义元语义学的可能性,在元语义学中,根据相关标准判断,对语言表达的正确解释是总体上最好的解释。

Kenneth May (1954) 使用阿罗的框架来研究个人偏好的决定。实验发现,人们对不同选项对的偏好通常是周期性的。梅通过类比投票悖论来解释这一点,投票悖论是当从更多标准来看,一种选择比另一种选择更好时,人们更倾向于选择另一种选择。更一般地说,他将阿罗定理重新解释为这样一个论点:当不同的标准“拉向不同的方向”时,个人偏好的不传递性是可以预期的。苏珊·赫尔利(Susan Hurley,1985,1989)在以道德价值观为标准的实际审议中考虑了类似的问题。她认为阿罗定理不适用于本案。她的论点之一是,与人不同,道德标准只能以一种方式对任何给定的选择进行排序。它不能“改变主意”(Hurley 1985:511),这使得将域条件 U 的类似物强加于衡量道德原因的程序上是不合适的。

理论思考中也存在多标准问题。 Okasha(2011)使用 Arrow-Sen 框架来研究根据数据拟合度、简单性和范围等标准在竞争性科学理论中进行选择的问题。他认为不可能性定理威胁了理论选择的合理性。请参阅 Morreau (2015),了解认为它不适用于此问题的原因;请参阅 Morreau (2014),了解与单一配置文件选择相关的不可能性定理(请参阅第 2.2 节和第 5.1 节)有时可能即使如此也适用。在相关工作中,Jacob Stegenga(2013)认为阿罗定理限制了组合不同类型证据的可能性。 Eleonora Cresto 和 Diego Tajer(即将发表)反驳说,确认性整体论需要对证据聚合函数的领域进行限制,这阻碍了 Stegenga 的论点:他们以积极的眼光看待杜昂问题,将其视为使证据聚合成为可能的现象的一个方面。

6.3 总体相似度

事物在某一方面更相似,而在另一方面则不太相似。许多哲学依赖于聚合或“整体”相似性的概念,阿罗的框架也被用来研究这些概念。

总体相似性是大卫·刘易斯形而上学的基础(Lewis 1968, 1973a, 1973b)。尽管(Lewis 1979)给出了他的想法,但他很少写到各个方面的相似性和差异如何结合在一起产生总体相似性。 Arrow-Sen 框架也适合研究这个聚合问题;不可能定理如果适用的话,就会限制达到刘易斯预设的那种总体相似性的可能性。 Morreau(2010)提出了阿罗定理的一种变体确实适用的情况。 Kroedel 和 Huber(2013)对总体相似性持更为乐观的看法。

根据 Popper (1963) 的观点,一些科学理论虽然是错误的,但比其他理论更接近事实。他对真实性概念的研究区分了“相似性”和“内容”维度,问题是是否可以通过整体真实性将这些维度组合成单一的理论秩序。 Zwart 和 Franssen (2007) 认为阿罗定理不适用于这个问题,但是,使用受其启发的定理,他们认为即使如此,也没有很好的方法来组合不同的维度。请参阅 Schurz 和 Weingartner (2010) 以及 Oddie (2013) 对他们观点的建设性批评。

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