阿罗定理（四）

5.1域限制

有时，在所考虑的替代方案的性质上以及如何确定他们之间的个人偏好，并非所有个人偏好都会出现。当在Arrow的框架内研究此类案例时，不需要社交福利功能可以处理各个单个订单的每一个。有些但不是所有的概况都是可接受的，据说该域是受限制的。在幸运的情况下，就可以找到一个社会福利功能，该职能符合Arrow定理的所有假设和条件，当然是U.据说从U的域中却是箭头一致的。本节考虑了箭头一致域的一些重要示例。

对于简单的说明，请考虑以下配置文件：

ABC

ABC

篮球协会

在这里，这三个人中有两个具有相同的严格偏好顺序。根据成对多数决定，估计集体偏好，很容易看出结果是该大多数的排序：ABC。现在考虑一个完全由这样的概况组成的领域，其中三名选民中的大多数都具有相同的严格偏好。在这样的领域，成对的多数决定始终是订购的，因此它如此满意。这种社会福利功能也是非构图，尽管受到限制，但仍然保留了一定的多样性。在上面的个人资料中，选民3严格倾向于b。但是，其他两个都严格偏爱a，这就是社会偏爱：在域中的此概况中，3不是独裁者。如果每个选民都以这种方式在某些或其他个人资料中以这种方式不同意，则成对多数决定会满足D。[10]它始终满足WP和I。在这样的域中，我们已经看到，这种聚合过程满足了Arrow的所有非域条件。这样的域是一致的。

箭头一致性不需要偏好的完全标识。即使每个人都不完全同意，每个人的偏好都是相似的，就足够了。一个示例说明了单个峰域的情况。

假设三只熊聚在一起决定他们的普通粥会有多热。爸爸熊喜欢热粥，越热越好。妈妈熊喜欢冷粥，越好越好。婴儿熊最喜欢温暖的粥。就他而言，Hot Porridge是接下来最好的（“它将总是会冷却”），而且他根本不喜欢冷粥。热，温暖和冷粥之间的这些偏好可以表示为偏好概况：

爸爸：热温

妈妈：冷热热

宝贝：温暖的热冷

否则它们可以像这样描绘：

[图形，Y轴标记为“偏好”和X轴，其“冷”，“温暖”和“热”以该顺序为单位。标记为“妈妈”的第一线从冷/偏好高到热/偏好低。 被标记为“爸爸”的第二行从冷/偏好低到热/偏好高。 第三行被标记为“婴儿”，从冷/偏好低到温暖/偏好高到热/偏好介质]

图1

此首选项概况是单个峰值。每只熊在选项的订购中都有一个“幸福点”，每只熊会越来越喜欢选项，因为我们沿着这一共同的订购远离两侧的幸福点。关于政治候选人的左右方向，替代公共项目的成本以及其他选择权的左右方向，就会出现单一的峰值偏好。当每个人都在考虑所考虑的选项中（振动，左右方向，成本，或者，即使，即使，即使，如果，即使，即使，即使，否则与熊一样，对于哪些选择要比哪些更好。

邓肯·布莱克（Duncan Black，1948年）表明，如果选民人数很奇怪，并且他们的偏好概况是单个峰值，那么成对多数决定总是会订购。[11]此外，他表明，这种秩序的最大值是中位数选民的幸福点 - 选民的幸福点在普通命令上，因为许多选民的幸福都指向一方面，就像另一方一样。在示例中，这是婴儿熊，温暖的粥是集体的最大值。此示例说明了单个峰值可以促进妥协的方式。

说选民人数很奇怪。 现在考虑一个单峰域——完全由单峰轮廓组成的域。布莱克的结果告诉我们，该领域的成对多数决策满足 SO。如果域具有足够的包容性（因此对于每个 i，域内都有一些配置文件，其中 i 不是中位选民），它也满足 D。成对多数决策总是满足 WP 和 I，因此这样的域是箭头一致的。

在选民数量为偶数的情况下，单一峰值并不能确保 SO 满意。例如，假设只有两名选民，他们的个人顺序是：

出租车

BCA

成对多数决策从这种配置中得出对 A 对 B 的弱社会偏好，因为有人对 A 的偏好比对 B 的弱，而另一个人对 B 的偏好对 A 的弱。同样，它派生出对 B 的弱社会偏好对 C 的偏好。要求对 A 到 C 有较弱的社会偏好，但实际上不存在。相反，C 的社会偏好高于 A，因为这是选民的一致偏好。不过，相对于常见的排序 BCA，此配置文件是单峰的：

[一张图表，y 轴标记为“偏好”，x 轴依次标记为“B”、“C”和“A”。第一行，标记为“1”，从 B/低偏好到 C/高偏好到 A/中偏好。 第二行，标记为“2”，从 B/高偏好到 A/低偏好。]

图2

当人数为偶数时，可以使用“幻影”选民的多数决策来建立 Arrow 一致性。假设有 2n 个人，并让域中的每个配置文件相对于一个且相同的替代顺序是单峰的。令 R2n+1 为相对于该常见排序也是单峰的排序。 R2n+1 代表“幽灵”选民的偏好。现在将域中的每个轮廓 ⟨R1,…,R2n⟩ 并通过添加 R2n+1 将其扩展为 ⟨R1,…,R2n,R2n+1⟩。所有扩展配置文件的集合是一个单峰域，并且由于真实选民和幻影选民的数量都是奇数，因此布莱克的结果适用于它。令 g 为扩展域的成对多数决策。我们通过将 g 分配给其扩展的顺序分配给每个配置文件，获得原始域的社会福利函数 f。也就是说，我们把：

f⟨R1,…,R2n⟩=g⟨R1,…,R2n,R2n+1⟩。

这个 f 满足 SO 因为 g 满足。它满足 WP，因为真实选民比虚拟选民多（2n 比 1；我们可以使用任何小于 2n 的奇数个虚拟选民）。 f 满足 I，因为幻像排序在扩展域的所有配置文件中都是相同的。如果域在配置文件中包含足够的多样性，则 f 也满足 D 并且是箭头一致的。 Moulin (1980) 提出了幽灵选民这个好主意，他用它来描述一类不可操纵的投票方案，因为它们不提供策略投票的机会。

近几十年来，域限制一直是许多研究的焦点。 Gaertner (2001) 提供了总体概述。 Le Breton 和 Weymark (2006) 对在阿罗框架中分析经济问题时自然出现的领域限制进行了调查。 Miller（1992）认为，深思熟虑可以通过将初始偏好转变为单峰偏好来促进理性的社会选择。 List 和 Dryzek (2003) 认为，商议可以带来个人偏好的“结构化”，从而促进民主决策，即使没有实现完全的单峰性。列表等人。 (2013) 提出的经验证据表明，商议有时确实具有这种效果。

正如萨缪尔森所描述的，单一配置文件方法似乎相当于最严格的域限制：

[O]只需要一种可能的个人排序模式。 [……]由此产生了一种社会秩序（不是它们中的每一个）。 （萨缪尔森 1967：48-49）

然而，根据 Sen (1977) 的说法，柏格森-萨缪尔森社会福利函数在其领域内具有多个特征。事实上，它具有完全不受限制的域，因为根据萨缪尔森的说法，只需要一个配置文件“它可以是任何一个”（萨缪尔森 1967：49）。根据 Sen 的理解方式，单一配置方法的区别在于，通过强加 I 和 SN 等配置间条件，无法协调多个不同配置下的社会福利函数的行为（参见第 4.5 节）不管怎样，正如萨缪尔森所坚持的那样，阿罗定理并不限制单一轮廓方法，因为它的条件之一与其相关是不合适的。要么 U 不合适（如果域中只有一个配置文件），要么 I 不合适（如果没有配置文件间约束）。

即便如此，与阿罗定律密切相关的某些不可能性定理仍被认为与单配置选择相关。这些定理不使用阿罗的剖面间条件 I，而是使用剖面内中性条件。该条件表示，只要在任何单个配置文件中，一对选项 x,y 的个人偏好模式与另一对选项 z,w 相同，则从该配置文件导出的社会顺序对于 x, y 也必须相同它适用于 z、w：

单轮廓中立性（SPN）：对于任何 ⟨Ri⟩，以及任何替代方案 x、y、z 和 w： IF 对于所有 i:xRiy 当且仅当 zRiw，并且 yRix 当且仅当 wRiz，则 xf⟨Ri⟩ y 当且仅当 zf⟨Ri⟩w，且 yf⟨Ri⟩x 当且仅当 wf⟨Ri⟩z。

SPN 遵循第 4.5 节的强中性 (SN) 条件，将 ⟨Ri⟩ 与 ⟨R 识别

*

我

⟩。 Parks (1976) 以及 Kemp 和 Ng (1976) 独立地表明，存在使用 SPN 而不是 I 的阿罗定理的“单一轮廓”版本。这些定理被认为会阻碍 Bergson-Samuelson 方法。事实上，SPN 条件和 SN 一样容易被搁置，并且出于同样的原因：两者都排除了与从伦理角度比较社会状态相关的非福利信息。 Samuelson (1977) 用一个关于重新分配巧克力的例子来嘲笑 SPN。它在结构上与 4.5 节中彼得和保罗的例子相似。

5.2 更多顺序信息

不相关替代方案的独立性严重限制了有关个人偏好的信息的用途。它要求社会福利函数在组合一对替代方案之间的社会偏好时，仅考虑仅与这对替代方案相关的人们的偏好。本节讨论隐含在对其他替代方案的偏好中的两种信息，并说明它们在社会决策中的用途：有关个人排序中替代方案位置的信息，以及有关社会状态公平性的信息。

立场投票方法会考虑候选人在不同个人顺序中的位置——无论是第一、第二、……还是最后。博达计数就是一个重要的例子。它以与孔多塞同时代的让-查尔斯·德·博尔达 (Jean-Charles de Borda) 的名字命名，由先驱作家和社会理论家拉蒙·纳尔 (Ramon Lull) 在 13 世纪提出。 15世纪库萨的尼古拉斯推荐用它来选举神圣罗马帝国皇帝。博尔达计数用于一些政治选举以及俱乐部和其他组织中的许多其他投票场合。考虑一下个人资料：

ABCD

BCD

BCD

让每个候选人在某些选民的排序中排名第一获得四分，第二名获得三分，第三名获得两分，最后一名获得一分；然后，备选方案将按照它们从所有选民那里获得的总分进行排序。 A 的博达计数为 10（或 4+3+3），B 的博达计数为 11（3+4+4），因此 B 在社会排序中的排名高于 A。该方法明显适用于任何候选人数量有限的选举。

现在假设选民 1 将 B 从他自己的列表中的第二位移至最后一位，我们得到了以下信息：

亚洲数据库

BCD

BCD

那么 B 将仅获得 9 分 (1+4+4)。不过，A 的得分与之前相同，为 10，并且现在排名超过了 B。此示例说明了两个重要点。首先，博尔达计数不满足阿罗的条件 I，因为虽然每个选民 A 相对于 B 的排名在两个配置文件中是相同的，但这对的社会排序是不同的。其次，博尔达计票为选民提供了通过战略投票来操纵选举结果的机会。如果每个人的偏好都与第一个配置文件中的一样，那么选民 1 可能会通过将 B 放在列表的底部来歪曲他的偏好。通过这种方式，他可以将自己最喜欢的 A 提升到社会排序的顶端（当然，只有当其他选民看不到他的意图并相应调整自己的排名时，他才会逃脱惩罚） ，将他最喜欢的 A 放在底部）。博尔达计数对战略投票的敏感性早已众所周知。当有人提出反对意见时，博尔达愤怒地回应说，他的计划是为诚实的人准备的。纳尔和库萨的尼古拉斯建议，在通过这种方法投票之前，要郑重宣誓说实话并洗清自己的所有罪孽。

有关位置主义投票方法的进一步讨论，请参阅条目投票方法和社会选择理论；有关分析概述，请参阅 Pattanaik (2002) 的手册文章。 Barberà (2010) 回顾了有关战略投票的知识。

Mark Fleurbaey (2007) 已经表明，如果社会福利函数要对社会状态的某种公平性做出适当的反应，那么它们需要比我允许的更多的有序信息。他举了安有十个苹果和两个橙子的例子，以及鲍勃有三个苹果和十一个橙子的例子。如果直觉上，如果她对自己的篮子和她对他的篮子一样满意，并且同样地，他对自己的篮子和她的篮子一样满意，那么这种分配就被认为是“无嫉妒”的假设一种社会状态 S 中水果的分配如所描述的那样，并考虑分配相反的状态 S*。也就是说，在 S* 中，Ann 有 3 个苹果和 11 个橙子，而 Bob 有 10 个苹果和 2 个橙子。从技术上讲，如果 Ann 较 S* 更喜欢 S，则 S 是无嫉妒的，而 Bob 也是如此。我们可能期望，在其他条件相同的情况下，一个社会国家的嫉妒自由将使其在社会秩序中的地位高于非嫉妒自由的替代国家。但我不允许这样做。

要了解为什么不这样做，请考虑一下从现状 S 开始，从鲍勃那里拿走一个苹果和一个橙子并将它们都给安是否更可取。令 T 为该转移产生的状态。为了这个例子，我们假设 Ann 总是严格地喜欢为自己拥有更多的东西而不是拥有更少的东西，并且 Bob 的偏好同样是自利的，因此在所有可接受的配置文件中 Ann 严格地更喜欢 T 而不是 S，而 Bob 严格地更喜欢他们在这些州之间的偏好是相反的，并且本身并不以某种方式产生社会偏好。现在，首先考虑这样一种情况：S 的现状是无嫉妒的，但 T 却不是。 （让 Ann 和 Bob 在 S 中每个人拥有的篮子之间保持无关紧要，但在 T 中的篮子之间不保持无关紧要，在 T 中，两人都认为鲍勃的境况更糟。）相对于这种情况，促进嫉妒自由的社会福利函数与通过将 S 严格排在 T 之上，从 Bob 转移到 Ann。但考虑另一种情况，其中 T 是无嫉妒的（现在 Ann 和 Bob 对 T 中的篮子不感兴趣，并且一致认为在 S 中 Ann 的情况比 Bob 更差）相对于第二个配置文件，T 在社会排序中优于 S 与 I 直接冲突，当我们从一个配置文件转到另一个配置文件时，S 和 T 之间的社会偏好会发生变化，尽管 S 和 T 之间的个人偏好保持不变。 S 和 T 的社会排名取决于这些州之间的偏好以及“不相关”的 S* 和类似定义的 T*，因为 S 和 T 的公平性确实如此。

Fleurbaey 建议使用较弱的条件，并将其归因于 Hansson (1973) 和 Pazner (1979)：

弱独立性：对一对选项的社会偏好应该只取决于人群对这两个选项的偏好，以及对每个人来说哪些选项与这些选项无关（Fleurbaey 2007：23）。

Fleurbaey (2007) 讨论了满足弱独立性的社会福利函数以及阿罗条件，当然，与 I 不同。那里概述的社会福利方法在 (Fleurbaey and Maniquet 2011) 中得到了详细的发展。

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