贝叶斯定理（二）

(2.1)增量证据的比较说明。

相对于主观概率函数 P，

当且仅当 PE(H) 大于（小于、等于）P(H) 时，E 才会逐步确认（否定，与）H 无关。

当且仅当 PE(H) 超过 PE*(H) 时，H 从 E 获得的证据支持比从 E* 获得的证据支持更大（或更小）。

当概率被赔率取代时，这两种等式仍然成立。因此，主观主义证据理论的这一部分并不取决于如何衡量总证据。

贝叶斯定理有助于阐明（2.1）的内容，它清楚地表明，E 作为 H 的增量证据的地位在 H 预测 E 的程度上得到了增强。这一观察结果是以下关于增量确认的结论的基础（其中持有只要 1＞P(H), P(E)＞0)。

(2.1a) 如果 E 增量地证实 H，则 H 增量地证实 E。

(2.1b) 如果 E 逐渐证实 H，则 E 逐渐否定 ~H。

(2.1c) 如果 H 蕴含 E，则 E 逐渐证实 H。

(2.1d) 如果 PH(E) = PH(E*)，则当且仅当 E 无条件地比 E* 的可能性更小时，H 从 E 获得的增量支持多于从 E* 获得的增量支持。

(2.1e) 弱似然原理。当且仅当 PH(E) ＞ P~H(E) 时，E 为 H 提供增量证据。更一般地，如果 PH(E) ＞ PH*(E) 且 P~H(~E) ≥ P~H*(~E)，则 E 为 H 提供的增量证据比为 H* 提供的增量证据更多。

(2.1a) 告诉我们，增量确认是一个相互强化的问题：将 E 视为 H 的证据的人对两个命题都为真的可能性比对其中只有一个命题成立的可能性更有信心。

（2.1b）说相关证据必须能够区分被检验假设的真假。

（2.1c）为确认的假设演绎模型提供了主观主义原理。根据这个模型，假设会逐渐被它们所涉及的任何证据所证实。虽然主观主义者拒绝证据关系可以以独立于信念的方式来表征的观点——贝叶斯确认总是与一个人和她的主观概率相关——但他们试图通过指出假设得到逐步支持来保留 H-D 模型的基本见解。对于那些尚未对假设或证据做出决定的人来说，它们需要提供证据。更准确地说，如果 H 蕴含 E，则 PE(H) = P(H)/P(E)，每当 1＞P(E)、P(H)＞0 时，它就超过 P(H)。这解释了为什么科学家如此经常寻求设计符合 HD 范式的实验。即使证据关系相对于主观概率，任何尚未对假设或数据下定决心的人都将认为所测试的假设包含数据的实验是证据相关的。增量确认的程度因人而异，具体取决于他们之前对 H 和 E 的置信水平，但每个人都会同意数据至少在某种程度上增量支持假设。

主观主义者援引（2.1d）来解释为什么科学家经常认为不可能或令人惊讶的证据比先前已知的证据具有更多的证实潜力。虽然一般来说不太可能的证据具有更多的确认潜力并不正确，但当逆概率 PH(E) 的值保持固定时，E 相对于 H 的增量确认能力确实与 E 的无条件概率成反比变化。例如，如果 H 包含 E 和 E*，则贝叶斯定理意味着两者中概率最小的一个更强烈地支持 H。例如，即使心脏病发作总是伴有严重的胸痛和气短，前一种症状比后者更能成为心脏病发作的证据，因为严重的胸痛比气短要少见得多。

(2.1e) 抓住了确认理论的贝叶斯定理的一个核心信息。假设当 (a) H 比 H* 更强烈地预测 E，并且 (b) ~H 比 ~H* 更强烈地预测 ~E 时，H 作为 E 真值的预测器一致优于 H*。根据弱似然原理，数据更好地支持一致地更好地预测数据的假设。例如，小约翰尼是基督徒这一事实更能证明他的父母是基督徒，而不是印度教徒，因为（a）基督徒父母的比例远高于印度教徒，他们的孩子是基督徒，并且（b）非基督徒父母生下非基督徒孩子的比例远高于非印度教父母。

贝叶斯定理还可用作开发和评估证据支持的定量测量的基础。表 2 中列出的结果表明，所有四个函数 PR、OR、PD 和 OD 在最简单的确认问题上彼此一致：E 是否为 H 提供了增量证据？

(2.2) 推论。

以下每一项都相当于断言 E 提供了有利于 H 的增量证据：PR(H, E)＞1、OR(H, E)＞1、PD(H, E)＞0、OD(H, E)＞0。

因此，所有四项措施都与（2.1）中给出的增量证据的比较说明一致。

鉴于所有这些一致意见，PR(H, E)、OR(H, E) 和 PD(H, E) 都被提议作为 E 为 H 提供的增量支持程度的衡量标准，也就不足为奇了。 11]虽然 OD(H, E) 尚未建议用于此目的，但出于对称性的原因，我们将考虑它。一些作者认为，这些功能中的一个或另一个是增量证据的唯一正确衡量标准。其他人则认为最好使用多种措施来捕捉不同的证据关系。虽然这不是裁决这些问题的地方，但我们可以借助贝叶斯定理来帮助理解各种函数的衡量标准以及描述它们之间的正式关系。

所有四种衡量标准在关于不同数据项提供固定假设的增量证据的比较数量的结论上都一致。特别是，他们普遍同意以下源自增量证据的概念：

E为H提供的证据的有效增量[12]是指E为H提供的证据增量超过~E为H提供的证据增量的数量。

E和E*为H提供的增量证据的差异是E为H提供的增量证据超过E*为H提供的增量证据的量。

有效证据是指一个人对 H 的总证据取决于她对 E 的看法的程度。当 PE(H) 和 P~E(H)（或 OE(H) 和 O~E(H)）为相距甚远，这个人对 E 的信念对她对 H 的信念有很大影响：从她的角度来看，当涉及到有关 H 真值的问题时，很大程度上取决于 E 的真值。 E 和 E* 之间增量证据的巨大差异告诉我们，学习 E 比学习 E* 增加了受试者 H 的总证据。读者可以查阅表 4（在补充中），了解有效证据和差异证据的定量测量。

(2.1) 的第二个子句告诉我们，E 比 E* 为 H 提供了更多的增量证据，以防以 E 为条件的 H 的概率超过以 E* 为条件的 H 的概率。然后，只需一个简单的步骤即可表明增量支持的所有四种衡量标准在有效证据和增量证据差异问题上都基本一致。

(2.3) 推论。

对于任何具有正概率的 H、E* 和 E，以下等价：

E 比 E* 为 H 提供了更多的增量证据

PR(H, E) ＞ PR(H, E*)

或 (H, E) ＞ 或 (H, E*)

PD(H, E) ＞ PD(H, E*)

外径(H, E) ＞ 外径(H, E*)

增量支持的四种衡量标准可能会在单项数据增量证实两个不同假设的比较程度上存在分歧。示例 3、示例 4 和示例 5（在补充中）显示了发生这种情况的各种方式。

衡量标准之间的所有差异最终都与（a）是否应该用概率或优势来衡量支持假设的总证据，以及（b）是否最好将总证据中的差异捕获为比率或作为差异。下表中的行对应于总证据的不同度量。各列对应于处理差异的不同方式。

表 5：增量证据的四种衡量标准

比率

不同之处

P = 总计

PR(H,E) = PE(H)/P(H)

PD(H, E) = PE(H) − P(H)

O = 总计

OR(H, E) = OE(H)/O(H)

OD(H, E) = OE(H) − O(H)

可以为净证据的衡量和总证据平衡的衡量构建类似的表格。请参阅补充中的表 5A。

我们可以使用贝叶斯定理的各种形式，通过根据似然比重写每个度量来阐明这些度量之间的异同。

表 6：以似然比表示的四种度量

比率

不同之处

P = 总计

PR(H,E) = LR(H,T;E)

PD(H, E) = P(H)[LR(H, T; E) − 1]

O = 总计

OR(H, E) = LR(H, ~H; E)

OD(H, E)= O(H)[LR(H, ~H; E) − 1]

该表显示每个乘法测量与其对应的加法测量之间存在两个差异。首先，给定乘法测度中出现的似然项在其关联的加法测度中减 1。其次，在每个加性测量中，递减似然项乘以 H 概率的表达式：P(H) 或 O(H)（视情况而定）。第一个区别没有区别；这仅仅是因为乘法和加法测量采用不同的零点来测量证据。如果我们将概率独立点 PE(H) = P(H) 作为自然公共零，并从每个乘法度量中减去 1，[13]，则等效似然项出现在两列中。

给定行中的度量之间的真正差异涉及无条件概率对增量确认关系的影响。在右栏下方，E 为 H 提供增量证据的程度与以 P(T) 或 P(~H) 为单位表示的 H 概率成正比。在左栏中，一旦 PH(E) 和 P(E) 或 P~H(E) 固定，H 的概率对 E 为 H 提供的增量证据的数量没有影响。 [14]根据贝叶斯定理，比率度量和差值度量之间的差异可以归结为一个问题：

当两种假设对数据的预测效果相同时，给定的数据是否为可能性较大的假设提供了比可能性较小的假设更多的证据支持？

差异测量的答案是“是”，比率测量的答案是“否”。

贝叶斯定理还可以帮助我们理解行之间的差异。给定行中的度量一致同意可预测性在增量确认中的作用。在顶行中，E 为 H 提供的增量证据随 PH(E)/P(E) 线性增加，而在底行中，它随 PH(E)/P~H(E) 线性增加。因此，当概率衡量总证据时，重要的是作为 E 预测因子的 H 超过 T 的程度，但当赔率衡量总证据时，重要的是作为 E 预测因子的 H 超过 ~H 的程度。

这里的中心问题涉及似然比的状态。虽然每个人都同意它应该在任何证据的定量理论中发挥主导作用，但对于它到底捕捉到什么证据关系存在着相互矛盾的观点。有三种可能的解释。

表 7：似然比的三种解释

概率作为总证据阅读

PR(H, E) 衡量总体证据的增量变化。

LR(H, E) 衡量净证据的增量变化。

LR(H, H*, E) 衡量 E 为 H 提供的证据平衡相对于 H* 的增量变化

总证据读数的赔率

LR(H, E) 衡量总体证据的增量变化。

LR(H, E)2 衡量净证据的增量变化。

LR(H, H*; E)/LR(~H, ~H*; E) 衡量 E 为 H 提供的证据平衡相对于 H* 的增量变化。

《似然论》阅读

P 和 O 都不衡量全部证据，因为证据关系本质上是比较性的；它们总是涉及证据平衡。

LR(H, E) 衡量 E 为 H 提供的证据相对于 H* 的证据平衡。

LR(H, H*; E) 衡量 E 为 H 提供的证据相对于 H* 的证据平衡。

乍一看，使用概率比和使用似然比来衡量证据之间没有任何冲突。一旦我们明确了总证据、净证据和证据平衡之间的区别，我们就会发现 PR(H, E)、LR(H, E) 和 LR(H, H*; E) 中的每一个都衡量了一个重要的证据证据关系，但他们衡量的关系有很大不同。

当赔率衡量总证据时，PR(H, E) 和 LR(H, H*; E) 在证据理论中都不起基本作用。给定 E 的 H 的概率比的变化仅表明在存在有关给定 E 的 ~H 的概率比变化的信息的情况下增量证据的变化。同样，给定 E 的 H 和 H* 的似然比的变化仅表明根据关于给定 E 的 ~H 和 ~H* 的似然比变化的信息来平衡证据。因此，虽然这两个函数中的每一个都可以作为有意义的确认度量中的一个组成部分，但都没有告诉我们任何关于增量的信息证据本身。

第三种观点“似然论”在非贝叶斯统计学家中很流行。它的支持者否认证据比例论。他们认为，一个人对某个假设的主观概率仅仅反映了她对其真实性的不确定程度；它不需要以任何方式与她所拥有的有利于其的证据数量挂钩。 [15]捕捉“有科学意义”的证据关系的是似然比，而不是主观概率。以下是该立场的两个经典陈述。

数据提供的有关两个假设相对优点的所有信息都包含在数据假设的似然比中。 （爱德华兹 1972 年，30）

实验结果的“证据意义”完全由似然函数来表征……科学期刊上的实验结果报告原则上应该是对似然函数的描述。 （布林鲍姆 1962 年，272）

根据这种观点，关于 E 对于 H 的证据重要性的一切都体现在弱似然原理的以下推广中：

“似然法则”。如果 H 暗示 E 的概率为 x，而 H* 暗示 E 的概率为 x*，则当且仅当 x 超过 x* 且似然比 x/x 时，E 才是支持 H 优于 H* 的证据*，衡量这种支持的强度。 （黑客 1965 年，106-109），（皇家 1997 年，3）

生物统计学家理查德·罗亚尔 (Richard Royall) 是似然论特别清醒的捍卫者 (Royall 1997)。他坚持认为，任何在科学上值得尊重的证据概念都必须仅根据可能性来分析 E 对 H 的证据影响；它不应该宣传任何人对 E 或 H 的无条件概率。这应该是因为可能性比无条件概率更广为人知且更客观。罗约尔极力反对增量证据可以通过无条件概率和条件概率之间的差异来衡量的观点。以下是他的投诉要点：

鉴于 [LR(H, H*; E)] 衡量一个假设 H 相对于特定替代方案 H* 的支持，而不考虑这两个假设的先验概率或也可能考虑其他假设，则该定律变化概率的规律[由 PR(H, E) 测量]衡量相对于 H 及其替代方案的特定先验分布对 H 的支持...变化概率定律在科学论述中的用处有限，因为它依赖于先验概率分布，通常是未知的和/或个人的。尽管你和我都同意（基于似然律）给定的证据支持 H 超过 H*，并且 H** 超过 H 和 H*，但我们可能不同意它是否是支持 H 的证据（基于概率变化定律）纯粹是基于我们对H、H*、H**先验概率的不同判断。 （Royall 1997, 10-11，符号略有变化）

罗约尔的观点是，概率比和概率差都无法捕获科学所需的客观证据，因为它们的值取决于“主观”术语 P(E) 和 P(H)，而不仅仅是取决于“客观”可能性PH(E)和P~H(E)。

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