贝叶斯定理（三）

一个人是否同意这一评估将是一个哲学气质的问题，特别是一个人在解释证据关系时是否愿意容忍主观概率。它还将在很大程度上取决于人们在多大程度上相信可能性比普通的主观概率更容易被人所知并且更客观。像似然律中设想的情况（其中假设演绎地需要数据的确定概率）这样的情况相对较少。因此，除非人们愿意采用一种应用范围非常有限的证据理论，否则很大程度上将取决于在从假设到数据的预测联系本身就是归纳结果的情况下确定客观可能性的容易程度。推论。然而，无论人们如何看待这些问题，不可否认的是，似然比将在任何证据的概率解释中发挥核心作用。

事实上，弱似然原理（2.1e）概括了各方都能同意的贝叶斯主义的最小形式。当以可能性的形式重新表述时，这一点最为明显。

(2.1e) 弱似然原理。 （以似然比表示）

如果 LR(H, H*; E) ≥ 1 且 LR(~H, ~H*; ~E) ≥ 1，且有一个严格不等式，则 E 为 H 提供的增量证据比 H* 多，且 ~E 为 H 提供的增量证据更多~H 的证据比 ~H* 的证据更多。

似然主义者会赞同（2.1e），因为其先行词中描述的关系仅依赖于逆概率。总证据的“概率”和“几率”解释的支持者都会接受（2.1e），因为对其先行条件的满足确保了对 E 的条件限制严格地比 H* 增加了 H 的概率及其几率。事实上，弱似然原理必须是任何值得“贝叶斯”称号的证据相关性解释的组成部分。否认这一点就是误解了贝叶斯定理在证据问题上的核心信息：即假设被它们预测的数据所证实。正如我们将在下一节中看到的，贝叶斯主义的这种“最小”形式在从经验中学习的主观主义模型中发挥着重要作用。

4. 贝叶斯定理在主观主义学习模型中的作用

主观主义者认为学习是一个信念修正的过程，其中“先验”主观概率 P 被包含新获取信息的“后验”概率 Q 所取代。这个过程分两个阶段进行。首先，一些主体的概率会被经验、直觉、记忆或其他一些非推理学习过程直接改变。其次，受试者“更新”她的其余观点，使其与她新获得的知识保持一致。

许多主观主义者满足于将最初的信仰变化视为自成一体，并且独立于信徒先前的意见状态。然而，只要学习过程的第一阶段被理解为非推理性，主观主义就可以与“外在主义”认识论兼容，这种认识论允许根据产生信念的因果过程的可靠性来批评信念的变化。它甚至可以容纳这样的想法：经验的直接影响可能因果地取决于信徒的先验概率。

主观主义者非常详细地研究了学习过程的第二个推理阶段。这里，即时信念变化被视为施加“后验概率 Q 具有这样那样的属性”形式的约束。目的是发现经验倾向于施加什么样的约束，并解释如何使用人的先验意见来证明从可能满足给定约束的众多后验概率中选择后验概率的合理性。主观主义者通过假设代理人有理由采用与她先前的意见相距最小的任何合格的后验来解决后一个问题。这是一种“不急于下结论”的要求。我们在这里将其解释为理性学习者应该将他们的信念与他们获得的证据的强度相匹配这一想法的自然结果。

最简单的学习经历是学习者确定她之前不确定的某个命题 E 的真实性的经历。这里的约束是所有与 E 不一致的假设必须分配概率为零。主观主义者将这种学习建模为简单的条件作用，即每个命题 H 的先验概率被后验概率所取代，该后验概率与以 E 为条件的 H 的先验概率一致。

(3.1) 简单调节

如果一个人的“先验”为 0＜P(E)＜1，其学习经历的唯一直接效果是将她对 E 的主观概率提高到 1，那么她对于任何命题 H 的学习后“后验”应该是为 Q(H) = PE(H)。

简而言之，一个理性的信徒如果确信 E 是正确的，就应该通过条件反射将这些信息纳入她的信念系统中。

虽然简单的条件作用作为一种理想很有用，但它并不广泛适用，因为它要求学习者绝对确定 E 的真理。正如理查德·杰弗里（Richard Jeffrey）所说（Jeffrey 1987），我们收到的证据往往过于模糊或模棱两可，无法证明这种“教条主义”的合理性。在更现实的模型中，学习经历的直接影响将是改变某些命题的主观概率，而不会将其提高到 1 或降低到 0。这种经历可以通过所谓的杰弗里条件作用适当地建模（尽管杰弗里更喜欢的术语是“概率运动学”）。

(3.2) 杰弗里调理

如果一个先验为 0＜P(E)＜1 的人有一次学习经历，其唯一的直接影响是将她对 E 的主观概率更改为 q，那么她对任何 H 的学习后后验应该是 Q(H) = qPE(H) + (1 − q)P~E(H)。

显然，当 q = 1 时，Jeffrey 条件作用简化为简单条件作用。

文献中可以找到各种关于条件反射的论点（简单的或杰弗里式的），但我们不能在这里考虑它们。 [16]然而，贝叶斯定理在一种理由中占有重要地位。它利用信念修正和增量证据概念之间的联系来表明，条件反射是唯一的信念修正规则，可以让学习者正确地将他们的后验信念与他们收到的新证据相匹配。

争论的关键在于将（2.1e）中表达的贝叶斯的“最小”版本与信念修正规则的非常适度的“比例”要求结合起来。

(3.3) 弱证据原则

如果相对于先前的 P，E 至少为 H 提供与 H* 一样多的增量证据，并且如果 H 先前比 H* 更有可能，那么在任何唯一直接的学习经历之后，H 应该仍然比 H* 更有可能。效果是增加E的概率。

这要求代理人在获得更有力支持更有可能的假设的证据时，保留他对两个假设的相对概率的看法。它排除了明显非理性的信念修正，例如：乔治对纽约洋基队将赢得美国联盟锦旗比他对波士顿雷克斯红袜队将赢得美国联盟锦旗更有信心，但当他得知（仅）洋基队在昨晚的比赛中击败了红袜队。

将（3.3）与最小贝叶斯主义相结合，得到以下结果：

(3.4) 结果

如果一个人的先验满足 LR(H, H*; E) ≥ 1，LR(~H, ~H*; ~E) ≥ 1，且 P(H) ＞ P(H*)，则任何学习经历其唯一的直接效果是提高 E 的主观概率，应该导致后验使得 Q(H) ＞ Q(H*)。

合理假设 Q 是在定义 P 的同一组命题上定义的，这个条件足以挑选出简单的条件作为使 E 确定的学习经验的信念修正的唯一正确方法。当学习仅仅改变一个人对 E 的主观概率时，它选择杰弗里条件反射作为唯一的正确方法。这些结论的论证利用了以下两个关于概率的事实。

(3.5) 引理

如果当 P(H) ＞ P(H*) 时 H 和 H* 都蕴含 E，则 LR(H, H*; E) = 1

且 LR(~H,~H*;~E) ＞ 1。

校样草图

(3.6) 引理

对 E 进行简单调节是修正主观概率的唯一规则，它对于任何先验都产生具有以下属性的后验，使得 P(E) ＞ 0：

Q(E) = 1。

序数相似性。如果 H 和 H* 都包含 E，则 P(H) ≥ P(H*) 如果且

仅当 Q(H) ≥ Q(H*) 时。

校样草图

从这里开始，简单条件作用的论证就是使用（3.4）和（3.5）来建立序数相似性。假设 H 和 H* 蕴含 E 并且 P(H)＞P(H*)。从 (3.5) 可知 LR(H, H*; E) = 1 且 LR(~H, ~H*; ~E)＞ 1。 (3.4) 那么，任何提高 E 概率的学习经验都必然导致后验 Q(H)＞Q(H*)。因此，对于包含 H 的假设而言，Q 和 P 通常是相似的。如果我们继续假设学习经验将 E 的概率提高到 1，则 (3.6) 就保证 Q 通过对 E 进行简单调节而从 P 中产生。

杰弗里条件反射的例子也同样直接。由于序数相似性的论证根本不依赖于 Q(E) = 1 的假设，因此我们确实建立了

(3.7) 推论

• 如果H 和H* 蕴含E，则P(H)＞P(H*) 当且仅当Q(H)＞Q(H*)。

• 如果H 和H* 蕴含~E，则P(H)＞P(H*) 当且仅当Q(H)＞Q(H*)。

因此，当限制于包含 E 的假设时和限制于包含 ~E 的假设时，Q 通常与 P 相似。此外，由于除以正数不会扰乱序数关系，因此还可以得出结论，当限制于包含 E 的假设时，QE 通常与 P 相似，并且当限制于包含 ~E 的假设时，Q~E 通常与 P 相似。 。由于 QE(E) = 1 = Q~E(E)，因此 (3.6) 必然包含：

(3.8) 结果

对于每个命题 H，QE(H) = PE(H) 且 Q~E(H) = P~E(H)

很容易证明，通过 Jeffrey 对 E 进行条件化，Q 从 P 中产生 (3.8) 是必要且充分的。在约束 Q(E) = q 的情况下，它保证 Q(H) = qPE(H) + ( 1 −q)P~E(H)。

一般道德是明确的。

弱似然原理 (2.1e) 中体现的贝叶斯基本见解表明，对 E 的简单和杰弗里调节是响应学习经验而修正信念的唯一合理方法，而学习经验的唯一直接效果是改变 E 的概率。

虽然关于简单条件作用、杰弗里条件作用和其他形式的信念修正可以说得更多，但这些评论应该让读者了解贝叶斯定理在学习和证据支持的主观主义解释中的重要性。虽然数学上很琐碎，但该定理的核心见解——即一个假设得到它所提供的任何可能数据的支持——是所有认识论、统计学和归纳逻辑的主观主义方法的核心。

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