1.康德的前批判数学哲学
2.康德的数学批判哲学
2.1 康德《教条运用中的纯粹理性的规训》中数学概念的建构理论
2.2 康德对其问题“纯数学如何可能?”的回答
2.3 康德关于数学在先验唯心主义中的作用的概念
三、康德数学哲学评述
3.1 该领域的历史
3.2 解释性争论
3.3 该领域的现状
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.康德的前批判数学哲学
1763年,康德参加了一场论文有奖竞赛,竞赛的主题是形而上学和道德的第一原理是否可以被证明,从而达到与数学真理相同程度的确定性。尽管他的论文被柏林皇家科学院授予二等奖(输给摩西·门德尔松的《形而上学证据》),但它仍然被称为康德的“获奖论文”。该获奖论文于 1764 年由学院出版,标题为“自然神学和道德原则的独特性探究”,是康德前批判数学哲学的关键文本。
在获奖论文中,康德对数学和形而上学的方法进行了比较(Carson 1999;Sutherland 2010)。他声称“数学的任务……就是结合和比较给定的清晰而确定的量值概念,以期确定可以从中推断出什么”(2:278)。他进一步声称,这项业务是通过检查数字或“可见标志”来完成的,这些数字或“可见标志”提供了已综合定义的普遍概念的具体表示(Dunlop 2014,2020)。例如,人们通过其他概念的任意组合来定义数学概念<梯形>(“界定一个平面的四条直线,使得相对的边彼此不平行”[1]),并附有一个“合理的符号”显示如此定义的所有对象的各部分之间的关系。定义以及基本数学命题(例如,空间只能有三个维度)必须“具体地检验,以便直观地认识它们”,但这些命题永远无法被证明,因为它们不是从其他命题推断出来的(2:281)。当简单的认知“通过综合”(2:282)结合起来时,定理就成立了,例如,当证明圆内相交的两条弦形成的线段的乘积相等时,定理就成立了。在后一种情况下,证明关于在圆内相交的任何和所有线对的定理,不是通过“画出所有可能在[圆]内相交的可能线”,而是通过仅画两条线,并识别他们之间的关系(2:278)。所产生的“普遍规则”是通过所显示的可感知的符号之间的综合以及由此可感知的符号所阐释的概念之间的综合来推断的。
康德的结论是,数学方法不能应用于实现哲学(特别是形而上学)结果,其主要原因是“几何学家通过综合的方式获得他们的概念,而哲学家只能通过分析的方式获得他们的概念——并且这完全改变了思维方式”(2:289)。然而,在这个前批判阶段,他还得出结论,即使缺乏对其主要概念的综合定义,“形而上学也像数学一样具有产生信念所必需的确定性”(2:296)。 (后来,在关键时期,康德将综合的概念扩展为不仅描述数学概念的起源和组合,而且还描述统一多种表示的行为。当然,他也会使用术语“综合”和他用“分析”来区分主语和谓语概念在任何类型的不同判断中相互关联的两种相互排斥的方式,并且他将强调这种区别的扩展意义,其中包括两种论证模式之间的方法论对比,一种是综合论证模式或者下面将简要讨论分析/综合区别的不同含义。)
康德的数学思想及其结果分别在1768年和1770年的论文《关于空间方向微分的终极根据》和《论感性与理智世界的形式与原理[就职论文]》中开始。当他开始认识到独特的感性能力在数学认知的解释中所发挥的作用时,他就会朝着他的批判哲学的方向发展(卡森2004;卡森 2017;在这些文章中,他将数学推理的成功归因于它获得了“敏感形式原理”和“直觉的原始数据”,从而产生了“直觉认知法则”和关于幅度和广延的“直觉判断”。一个这样的判断有助于确定一个对象“与另一个对象完全相等和相似,但不能被包含在与另一个对象、其不一致的对应对象相同的限制中”的可能性(2:382)(Buroker 1981;Van Cleve and弗雷德里克 1991;范克利夫 1999)。康德在《空间方向》中援引了这种“不一致的对应物”来建立牛顿式绝对空间的可定向性和现实性,即他当时所理解的几何对象。他在“就职论文”中引用了同样的例子来证明空间关系“只能通过某种纯粹的直觉来理解”,从而表明“几何所采用的原理不仅是不容置疑的、推论性的,而且也属于凝视的范围”。心灵的。”因此,数学证据是“其他科学中所有证据的范式和手段”(2:403)。 (后来,在关键时期的序言中,他将援引不一致的对应物来建立先验的空间理想性,从而否定他之前支持绝对空间的论点。)
2.康德的数学批判哲学
2.1 康德《教条运用中的纯粹理性的规训》中数学概念的建构理论
康德的数学批判哲学在《纯粹理性批判》题为“教条使用中的纯粹理性纪律”的部分中得到了最充分的表达,该部分开始了批判的两个主要部分中的第二个部分,即“先验方法学说”。在《批判》的前几节中,康德对纯粹理性“根据纯粹概念的先验使用”进行了批判,以“限制其扩展超出可能经验的狭窄界限的倾向”(A711/B739)。但康德告诉我们,没有必要对数学进行这样的批判,因为数学中纯粹理性的运用是通过直觉保持在“可见的轨道”上的:“[数学]概念必须立即在纯粹直觉中具体地表现出来,通过任何毫无根据和武断的事情都会立即变得显而易见”(A711/B739)。然而,数学的实践和学科确实需要解释,以便解释其在证明实质性和必要真理方面的成功,并授权其作为推理模型的调用。因此,正如他在前批判时期所做的那样,康德将自己引向了这样一个问题:是什么解释了“快乐且有根据的”数学方法,以及它是否对数学以外的任何学科有用。为了否定地回答后一个问题,康德必须解释数学推理的独特性。
康德对数学推理的独特性的解释的中心论点是他声称数学认知源自其概念的“构造”:“构造一个概念意味着先验地展示与其相对应的直觉”(A713/B741)(弗里德曼 1992 年,2010 年;沙贝尔 2006 年)。例如,虽然概念<三角形>可以被推论地定义为由三条直线包含的直线图形(如欧几里得几何原理中所做的那样),但在康德对该术语的技术意义上,只有当相应的直觉被构建时,该概念才被构造。展出;在这种情况下,相应的直觉是一个三边形图形的单一且立即明显的表示。康德认为,当人们为了执行几何证明所需的辅助构造步骤而如此呈现三角形时,人们是先验地这样做的,无论三角形是在纸上产生的还是仅在想象中产生的。这是因为在这两种情况下,显示的对象都不会借用任何经验的模式 (A713/B741)。此外,人们可以从单个三角形的单一显示中得出关于所有三角形的普遍真理,因为显示对象的特定决定,例如其边和角的大小,对于作为展览的呈现的三角形“完全无关”一般概念<三角形> (A714/B742)。因此,康德的解释必须针对普遍持有的立场进行辩护,即普遍真理不能从依赖于特定表征的推理中推导出来(Friedman 2012,2020)。相关地,经验绘制的三角形的不完全直的边同样与一般概念<三角形>“无关”,因此这种经验直觉被认为足以用于几何证明。这就提出了一个问题:如何确定直觉充分展示了概念的内容(Dunlop 2012);纯粹直觉和经验直觉之间的关系(Friedman 2012;Shabel 2003);特别是,可以安全地忽略哪些直观显示的特征(Friedman 2010,2012)。康德建构理论的这些特征也引发了对数学概念习得条件的讨论(Callanan 2014);构造在间接还原证明中的作用(Goodwin 2018);构造与定义之间的关系(Heis 2014, 2020;Nunez 2014);以及想象力在建筑中的作用(Land 2014)。
最终,康德声称,“只有量的概念”(数量)可以用纯粹的直觉来构建,因为“除了经验直觉之外,性质不能在任何东西中表现出来”(A714/B742)(Sutherland 2004a,2004b,2005a, 2021)。这导致了数学认知和哲学认知之间的原则性区别:哲学认知仅限于抽象概念分析的结果,而数学认知则是“始终由直觉引导的推论链”的结果,即由直觉引导的推论链。其对象的具体表示(Hintikka 1967;Parsons 1969;Friedman 1992;Hogan 2020)。康德在某种程度上解释了数学家如何构造算术和代数量值,它们与作为几何推理对象的空间图形不同。他区分了“明示”和“符号”构造,将明示构造与几何学家展示或显示空间图形的实践联系起来,而符号构造则与连接算术或代数符号的行为相关(例如,当“一个大小要除以另一个,[数学]根据除法符号的形式将它们的符号放在一起......”)(A717/B745)(Brittan 1992;沙贝尔 1998)。
康德进一步声称,纯粹的量概念适合于建构,因为与其他纯粹概念不同,它并不代表可能直觉的综合,而是“本身已经包含了纯粹直觉”。但由于这种“纯粹直觉”的唯一候选者是空间和时间(“表象的纯粹形式”),因此,只有空间和时间的幅度才能在纯粹直觉中表现出来,即被建构。这种空间和时间的大小可以通过显示事物的形状来定性地展示,例如物体的形状。窗户的窗格的矩形性,或者可以通过显示事物的部分数量(例如窗户包含的窗格的数量)来仅定量地展示它们。无论哪种情况,所显示的内容都算作纯粹的“形式直觉”,对其进行检查会产生“超越”与直觉相关的原始概念内容的判断。这样的判断是典型的综合先验判断(将在下面更详细地讨论),因为它们是独立于经验的放大真理(Shabel 2006)。
康德认为,数学推理不能在数学本身的领域之外使用,因为正如他所理解的那样,数学推理必然针对“在先验的纯粹直觉中确定地给出的对象,并且没有任何经验数据”(A724/B752)。由于只能如此给出形式数学对象(即空间和时间幅度),因此数学推理对于物质给定的内容来说是无用的(尽管从关于形式数学对象的数学推理得出的真理有效地应用于此类物质内容,这是因此,数学在其定义、公理和论证中找到的“彻底基础”不能“实现或实现”。被哲学或物理科学所模仿(A727/B755)。
虽然康德的数学概念构造理论可以被认为提供了对康德理解的数学实践的解释[2],但该理论与康德对直觉和概念之间作为表示模式的严格区分的更广泛承诺交织在一起(Smyth 2014) ;综合判断和分析判断之间的关系(Anderson 2004、2015;Hogan 2020);不同认知能力的角色之间(Land 2014;Laywine 2014);以及先验和后验证据与推理之间的关系(Anderson 2015)。最终,在“教条使用中的纯粹理性学科”中发展起来的数学图景取决于批判哲学旨在提供的完整判断理论,并且最重要的是取决于康德在《先验美学》中提供的感性理论(Parsons 1992) ;Carson 1997;Risjord 1991),以及序言的主要先验问题第一部分中的相应段落,其中他研究了数学的纯粹感性概念的“起源”,以及它们的“有效性范围”(A725/B753)。 [3]
2.2 康德对其问题“纯数学如何可能?”的回答
康德提出了他的批判哲学的两个相关的主要问题:(1)先验综合判断如何可能?以及,(2)形而上学作为一门科学如何可能(B19;B23)?数学提供了一个特殊的途径来帮助回答这些问题,它提供了一个编纂的科学学科的模型,其可能性是明确的,而且,数学本身通过综合和先验的认知成就来保证(Anderson 2015)。换句话说,对如何在数学背景下确认综合先验判断的解释,以及对系统性的可证明知识如何包含这些判断的结果和相关解释,允许数学真理被调用作为实质性的范式。形而上学希望达到的必然和普遍的真理。康德的数学概念建构理论(如上所述)只有结合他对数学和形而上学知识的本质和可能性的更广泛问题的处理才能得到充分的理解(Jauernig 2013)。
在《任何未来形而上学序言》和《纯粹理性批判导论》中,康德都引入了分析/综合的区别,它区分了谓词属于或包含在主概念中的判断和判断。其谓词分别与主语概念相关但超出主语概念。在每一篇文章中,他在介绍这种区别之后都讨论了他的主张,即所有数学判断都是综合的和先验的。 [4]在那里,他首先声称“正确的数学判断总是先验的判断”,因为它们是必要的,因此不能从经验中得出(B14)。接下来,他解释了这种非经验判断如何能够综合,即它们如何能够综合主语和谓语概念,而不是仅仅将主语概念解释或分析为其组成逻辑部分。
在这里,康德引用了著名的算术命题“7 + 5 = 12”,并认为这样的判断是综合的。他消极地论证,声称“无论我分析这个可能的总和(七和五)的概念多久,我仍然找不到十二”,同时也积极地声称“人们必须超越这些概念[七和五],在对应于两个手指之一的直觉中寻求帮助,比如说……然后一个接一个地将直觉中给出的五的单位添加到七的概念中……从而看到数字12 兴起” (B15)。他认为,像“7 + 5 = 12”这样的算术命题的必然真理不能通过任何逻辑或概念分析的方法来确定(Anderson 2004,2015),但可以通过直观综合来确定(Parsons 1969) )。最近,对康德算术理论的讨论已经从算术判断的综合性和先验性问题转向了对康德数论的研究。这里出现的主题包括序数和基数(Sutherland 2017,2020);实数(Tait 2020;van Atten 2012);有限论(Tait 2016;Sieg 2016);无穷大和无穷小(Brittan 2020;Smyth 2014、2021;Warren 2020);以及数字概念在康德经验可能性概念中的核心地位(Carson 2020)。
康德遵循他对算术推理和真理的讨论,提出了欧几里得几何的相应主张,根据欧几里得几何,几何原理表达了概念之间的综合关系(例如两点之间直线的概念和两点之间最短线的概念之间的综合关系)。相同的两点),其中任何一个都不能通过分析从另一个中“提取”出来。因此,几何原理表达了基本几何概念之间的关系,因为这些概念可以“以直觉展示”(Shabel 2003;Sutherland 2005a)。在其他地方,康德还将几何定理作为综合命题(除了几何原理之外),并提供了关于几何证明的想法(A716-7/B744-5)(Friedman 1992,2010;Shabel 2004)。理解几何定理综合性的一种方法是认识到直觉在几何证明中不可或缺的图解作用(Shabel 2004,2004)。
值得注意的是,康德关于几何定理是综合的主张的范围并不透明。在否认原则(Grundsätze)可以从矛盾原理中分析性地认知后,他承认建立几何定理所需的数学推理确实“按照矛盾原理”进行,并且“一个综合命题”当然可以根据矛盾原理来理解”,尽管“只有在另一个综合命题被预设的情况下才能从中推导出来,而不是在其本身”(B14)。因此,虽然他清楚所有的数学判断,包括几何定理,都是综合的,但他不太清楚这些命题或支持它们的推论到底意味着什么,以“符合”他所推导的矛盾原理和可推导性。被视为分析性的范式测试(Hogan 2020)。这导致了解释上的分歧,即可论证的数学判断是否通过严格的逻辑或概念推理从综合原理中得出——因此严格遵守矛盾原理——或者它们是否是通过本身依赖于直觉的推理推导出来的。但并不违反矛盾律。因此,对于康德是否仅仅致力于数学公理的综合性(通过逻辑推理将综合性传递给可证明的定理),或者也致力于数学推理本身的综合性,存在分歧。前一种解释立场最初与恩斯特·卡西尔(Ernst Cassirer)和刘易斯·怀特·贝克(Lewis White Beck)有关。 Bertrand Russell 的后一个立场(Hogan 2020)。戈登·布里坦(Gordon Brittan,Brittan 2006)将这两种立场都视为“证据主义”,这是他对任何解释的标签,根据这种解释,直觉为数学真理提供了不可或缺的证据,无论该证据是支持公理还是推论,或两者兼而有之(Brittan 2006)。
对康德数学哲学中这一解释问题的关注至关重要,因为它揭示了更普遍的问题,即什么使综合先验认知成为可能,这是康德纯粹理性批判的核心问题。关于这个更普遍的问题,重要的是区分康德使用“分析”和“综合”这两个术语来标记判断类型之间的逻辑语义区别——康德用它来捍卫数学认知是综合的独特论点先验——来自他使用相同的术语来标记分析方法和综合方法之间的传统数学区别。他运用后一种区别是为了确定两种不同的论证策略来回答“纯数学的可能性”的问题。分析方法的特点是通过推理追踪给定的认知体系,例如数学,追溯到其在心灵中的起源或来源。相比之下,综合方法旨在直接从这些原始认知来源中得出真正的认知,这些来源或能力首先独立于这些能力最终可能产生的任何特定认知主体(包括数学)而得到解释。康德在序言中采用了前一种方法,从数学判断的综合性和先验性出发,主张空间和时间是人类感性的形式。他在《纯粹理性批判》中采用了后一种方法,认为人类感性、空间和时间的形式提供了导出综合和先验数学判断的基础(Shabel 2004)。这些论点,连同他对所有数学判断的综合和先验性质的详细描述,为数学可能性的问题提供了答案:产生数学科学的范式综合和先验判断的实践植根于人类感受性的本质并由其解释,特别是所有(且仅)人类经验对象的时空形式(Van Cleve 1999)。但是,这个答案提出了进一步的问题,特别是如何区分空间的形而上学和几何表示(Carson 1997;Friedman 2000、2015、2020;Onof 和 Schulting 2014;Tolley 2016)。
数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(笔尖小说网http://www.bjxsw.cc),接着再看更方便。