理由逻辑（二）

2.2 基本调整逻辑J0

论证项由论证变量 x,y,z, … 和论证常数 a,b,c, …（索引 i = 1, 2, 3, …，只要安全就被忽略）通过操作 ' 构建⋅ ' 和 '+'。下面考虑的更复杂的逻辑还允许对理由进行额外的操作。常量表示系统不分析的原子理由；变量表示未指定的理由。论证的基本逻辑，J0 由以下公理化。

古典逻辑

经典命题公理和规则 Modus Ponens

应用公理

s:(F→G)→(t:F→[s⋅t]:G),

求和公理

s:F→[s + t]:F, s:F→[t + s]:F。

J0 是对绝对怀疑的代理人的一般（不一定是事实）论证的逻辑，对于该代理人来说，没有任何公式可以证明是合理的，即，J0 不会为任何 t 和 F 导出 t:F。然而，这样的代理人能够得出形式的相对论证结论

如果 x:A,y:B,…,z:C 成立，则 t:F。

凭借这种能力，J0 能够用其语言充分模拟许多其他论证逻辑系统。

2.3 逻辑意识和恒定规范

逻辑意识原则指出，逻辑公理是当然合理的：主体接受逻辑公理作为合理的（包括有关正当性的公理）。正如刚才所说，在某些认知情况下，逻辑意识可能太强。然而，论证逻辑提供了恒定规范的灵活机制来表示不同程度的逻辑意识。

当然，人们区分假设和合理的假设。在论证逻辑中，常量用于表示在不进行进一步分析的情况下假设的论证。假设需要假设公理 A 对于认识者来说是合理的。人们简单地假设 e1:A 为某个证据常数 e1（索引为 1）。此外，如果希望假设这一新原理 e1:A 也是合理的，则可以假设 e2:(e1:A) 为常数 e2（索引为 2）。等等。跟踪指数不是必需的，但它很容易并且有助于决策程序（Kuznets 2008）。对于给定逻辑的所有此类假设的集合称为常量规范。这是正式的定义：

给定论证逻辑 L 的常量规范 CS 是一组以下形式的公式

en:en−1:…:e1:A(n≥1),

其中 A 是 L 的公理，e1,e2,…,en 是索引为 1, 2, …, n 的相似常数。假设 CS 包含所有中间规范，即只要 en:en−1:…:e1:A 位于 CS 中，则 en−1:…:e1:A 也位于 CS 中。

文献中对恒定规格提出了许多特殊条件。以下是最常见的。

空的

CS=∅ .这对应于一个绝对怀疑的代理人。它相当于使用逻辑 J0。

有限

CS 是一组有限的公式。这是一个完全具有代表性的案例，因为论证逻辑中的任何特定推导都将仅涉及一组有限的常量。

公理上适当的

每个公理，包括​​那些通过不断规范本身新获得的公理，都有其合理性。在形式化设置中，对于每个公理 A 都有一个常数 e1，使得 e1:A 在 CS 中，并且如果 en:en−1:…:e1:A∈CS，则 en+1:en:en−1： …:e1:A∈CS，对于每个 n≥1。公理上适当的常数规范对于确保内部化属性是必要的，这将在本节末尾讨论。

全部的

对于每个公理 A 和任何常数 e1,e2,…,en，

en:en−1:…:e1:A∈CS。

名称 TCS 是为总常数规范（对于给定逻辑）保留的。当然，总常数规范是公理上适当的。

我们现在可以指定：

给定常数规范的论证逻辑：

令 CS 为常数规范。 JCS 为逻辑 J0 + CS ；公理是 J0 的公理和 CS 的成员，唯一的推理规则是 Modus Ponens。请注意，J0 是 J∅。

论证逻辑：

J 是逻辑 J0 + Axiom 内化规则。新规则规定：

对于每个公理 A 和任何常数 e1,e2,…,en 推断 en:en−1:…:e1:A。

后者体现了 J 不受限制的逻辑意识的思想。类似的规则出现在《证明逻辑》LP 中，并且在 Goldman 中也得到了预期（Goldman 1967）。逻辑意识，如公理上适当的常量规范所表达的，是模态逻辑中必然性规则的显式化身：⊢F⇒⊢◻F，但仅限于公理。请注意，J 与 JTCS 一致。

论证逻辑系统的关键特征是它们能够将自己的推导内化为语言中可证明的论证断言。这个性质在（Gödel 1938）中就被预见到了。

定理 1：对于每个公理上适当的常数规范 CS，JCS 享有内化：

如果 ⊢F，则 ⊢p:F 对于某个论证项 p。

证明。推导长度的归纳。假设 ⊢  F. 如果 F 是 J0 的成员，或者 CS 的成员，则存在一个常数 en（其中 n 可能是 1），使得 en:F 在 CS 中，因为 CS 在公理上是适当的。那么 en:F 是可导的。如果F是通过Modus Ponens从X→F和X获得的，那么，通过归纳假设，对于某些s,t，⊢s:(X→F)和⊢t:X。使用应用公理，⊢[s⋅t]:F。

有关论证逻辑中具体句法推导的示例，请参阅补充文件“一些更多技术问题”的第 2 节。

2.4 扩展基本调整逻辑

基本论证逻辑 J0 及其具有常量规范 JCS 的扩展是最小正规模态逻辑 K 的显式对应物。对应物的正确定义将在第 4 节中给出，因为实现的概念是核心，但有一些提示在我们演示的这个阶段已经很明显了。例如，第 1.1 节指出，(1) s:(A→B)→(t:A→[s⋅t]:B) 是熟悉的模态原理 (2) 的显式版本，◻ (A→B)→(◻A→◻B)。以类似的方式，第一调整逻辑LP是模态S4的显式对应物。事实证明，许多模态逻辑都有论证逻辑对应物——实际上，通常不止一个。接下来，我们首先讨论一些非常熟悉的逻辑，直到 S4 和 LP。到目前为止，我们最初的动机大部分都适用——我们有可以用算术解释的论证逻辑。然后我们转向更广泛的模态逻辑家族，算术动机不再适用。模态逻辑与论证逻辑对应物的现象已经证明是出乎意料的广泛。

在几乎所有情况下，必须向 J0 的 + 和 ⋅ 添加运算，以及捕获其预期行为的公理。事实性是个例外，如下所述，尽管需要额外的公理，但不需要额外的操作。人们总是理解，恒定的规范涵盖了扩大的集合中的公理。我们继续使用第 2.3 节的术语；例如，对于所有公理（包括已添加到原始集合中的任何公理），如果常量规范满足此处所述的条件，则它在公理上是适当的。第 2.3 节中的定理 1 继续适用于我们的新论证逻辑，并且具有相同的证明：如果我们有一个论证逻辑 JLCS ，并且具有公理上适当的常量规范，则内部化成立。

2.5 事实

事实表明，有足够的理由让代理人得出真理。这具体体现在以下方面。

事实公理t：F→F。

事实性公理与认知逻辑的真理公理◻F→F有着相似的动机，后者被广泛接受为知识的基本属性。

在基本的论证逻辑系统中不需要论证的事实性，这使得它们能够表示部分论证和事实论证。事实公理出现在证明逻辑 LP 第 1.2 节中，作为数学证明的主要特征。事实上，在这种情况下，Factivity 显然是有效的：如果存在 F 的数学证明 t，那么 F 必定为真。

事实公理被采用来证明导致知识的理由。然而，事实本身并不能保证知识，正如 Gettier 的例子所证明的那样（Gettier 1963）。

事实论证的逻辑：

JT0=J0+活性；

JT=J+活性。

与常数规范CS相对应的系统JTCS在2.3节中定义。

2.6 积极自省

知识的共同原则之一是识别已知并知道一个人知道。在模态设置中，这对应于◻F→◻◻F。该原则有一个充分明确的对应物：代理人接受 t 作为 F 的充分证据的事实也可作为 t:F 的充分证据。通常，这种“元证据”具有物理形式：证明论文中的证明正确的审稿报告；计算机验证输出，给出 F 的形式证明 t 作为输入； t 是 F 的证明的形式证明，等等。为此目的，可以在语言中添加积极自省操作“！”；然后假设给定 t，代理产生 t:F 的理由 !t，使得 t:F→!t:(t:F)。积极内省这种操作形式首先出现在《证明逻辑》LP中。

正向内省公理：t:F→!t:(t:F)。

然后我们定义：

J4：=J+积极内省；

LP：=JT + 积极内省。[3]

逻辑 J40、J4CS、LP0 和 LPCS 以自然方式定义（参见第 2.3 节）。

在存在正体内公理的情况下，可以将公理内在化规则的范围限制为内部化的公理，而公理的形式不为e：a：a。这就是在LP：Axiom内部化中完成的方式，然后可以使用！恒定规范也可以相应地简化。这种修改是次要的，并且不影响理由逻辑的主要定理和应用。

2.7负内省

（Pacuit 2006，Rubtsova 2006）认为否定的内省操作“？”哪个证明给定的理由断言是错误的。考虑到这种操作的可能动机是，积极的内省操作“！”很可能被认为能够就义务的有效性T：F提供结论性的验证判断，因此当T不是F的理由时“！”应该得出结论：f。通常，计算机证明验证符，正式理论中的证明检查器等。但是，这种动机是细微的：证明验证者和证明检查器的示例与T和F一起用作输入，而PAPUIT-RUBTSOVA格式？ t表明“？ 抓住。这样的操作“？”是正式的数学证据不存在的，因为？t应该是一个无限的命题的单一证明。从历史上看，“？”行动是第一个不适合原始框架的例子，在该框架中，理由是正式证明的抽象版本。

负内省公理−T：f→？t：（¬t：f）

我们定义系统：

J45 = J4 +负面内省；

JD45 = J45 +¬T：⊥;

JT45 = J45 + factivity

并且自然将这些定义扩展到J45C，JD45C和JT45CS。

2.8 Geach逻辑等

涉及的理由逻辑？是第一个超出了LP的司兆的例子。最近，人们发现有一个无限的模态逻辑家族具有合理性的对应物，但是与算术证明的联系是薄弱的或缺失的。我们会详细讨论一个案例，并绘制其他情况。

彼得·盖奇（Peter Geach）提出了公理方案◊◻X→◻◊X。当添加到公理S4中时，它会产生一种有趣的逻辑，称为S4.2。从语义上讲，Geach的计划在框架上施加了汇合。也就是说，如果两个可能的世界可以从同一世界W0访问W1和W2，那么从W1和W2可以访问一个共同的W4。 Geach的方案在Lemmon和Scott（1977）中概括，并引入了相应的符号：GK，L，M，N是该方案◊K◻LX→◻M◊NX，其中K，L，M，N≥0。语义上，这些方案对应于汇合的广义版本。有些人已经开始将这些计划称为Geach计划，我们将遵循这种做法。更一般地，如果可以通过在K中添加有限的GEACH方案来将其称为GEACH逻辑。 G0,1,0,0，◻X→◻◻X是G0,1,2,0，◊X→◻◊X是G1,0,1,1，X→◻◊X为G0,0,1,1，因此GEACH逻辑包括最常见的模态逻辑。 Geach逻辑构成了一个无限的家庭。

每个Geach逻辑都有一个理由对应。考虑原始的GEACH逻辑，具有公理方案G1,1,1,1，◊◻X→◻◊X添加到S4的系统中 - 上面提到的System S4.2。我们通过从LP开始为S4.2构建一个理由。然后，我们添加两个函数符号F和G，每个符号两位置，并采用以下公理方案，称为由此产生的理由逻辑J4.2。

梦（t，u）：€t：x→g（t，u）：¬U：¬x

该计划有一些非正式的动机。在LP中，由于具有公理方案t：x→x，我们的可证明性为（t：x∧u：¬x）→⊥对于任何t和u，因此可证明性的可证明性，因此可证明性能：€t：x∨前：€x。 。在任何情况下，其中一个分离都必须保留。上面的方案等于f（t，u）：€t：x∨g（t，u）：¬u：¬x，它非正式地说，在任何情况下，我们都意味着计算持有的毫无疑问的理由。这是一个有力的假设，但至少在某些情况下不是难以置信的假设。

实现定理连接S4.2和J4.2，尽管尚不清楚这是否具有建设性证明。

作为另一个例子，请考虑g1,2,2,1，◊◻◻x→◻◻◊X或等效地◻x∨◻◻ -x。它具有相应的理由公理方案，其中f，g和h是三个位置函数符号。

f（t，u，v）：¬T：u：x∨g（t，u，v）：h（t，u，v）：¬V：¬x

F，G和H的直观解释并不像G1,1,1,1那样清楚，但正式的情况表现得很好。

即使Geach家族是无限的，这些逻辑也不能以合理的方式涵盖全部逻辑。例如，使用公理方案◻（◻X→X）的正常模态逻辑，有时称为移位反射性，不是Geach逻辑，但确实具有合理性的对应物。将一个单位函数符号k添加到建立辩护术语的机械中，并采用理由公理方案k（t）:( t：x→x）。实现定理的实现；这在Fitting（2014b）中显示。我们推测所有用sahlquist公式进行公理的逻辑将具有合理性的对应物，但这仍然是一个猜想。

3. 语义

正当理由逻辑的现在标准的语义源自（Fitting 2005） - 所使用的模型通常称为文献中的拟合模型，但在这里将被称为可能的世界合理模型。由于Hintikka和Kripke，Mkrtychev在（Mkrtychev 1997）中引入的（参见第3.4节）中引入了可能的世界义务模型，这是由于Hintikka和Kripke的特定机械而引起的，具有特定于辩护术语的机械的熟悉的知识和信念逻辑语义的合并。

3.1 J

确切地说，将定义JCS的语义，其中CS是任何恒定的规范。正式地，JCS的世界理由逻辑模型是M =⟨G，R，E，V⟩的结构。其中，⟨G，r⟩是标准的K框架，其中g是一组可能的世界，r是二进制关系。 V是从命题变量到G子集的映射，在可能的世界上指定原子真理。

新项目是E，一种证据函数，起源于（Mkrtychev 1997）。这将其拟合术语和公式映射到世界集。直观的想法是，如果可能的世界γ在e（t，x）中，那么t是x在世界γ上的X的相关证据。人们不应该认为相关证据是结论性的。相反，将其视为可以在法院接受的证据：本证词，这是陪审团应该审查的文件，是相关的，但这些文件的真实情况尚待考虑。证据功能必须符合某些条件，但稍后会讨论这些条件。

鉴于JCS可能的世界辩护模型M =⟨G，R，E，V⟩，在可能的世界γ上的公式X的真相由M，γ⊩X表示，并且需要满足以下标准条件：

对于每个γ∈G：

m，γ⊩Piffγ∈V（p）用于p一个命题字母；

M，γ⊩⊥并非如此；

m，γ⊩X→y iff并非M，γ⊩X或m，γ⊩Y。

这些只是说原子真理是任意指定的，并且命题缔结在每个世界上都在实现真理。关键项目是下一个。

M，γ⊩（t：x）且仅当且仅当γ∈E（t，x）以及对于带有γrδ的每个δ∈G时，我们都有m，m，Δ⊩x。

这种情况分为两个部分。要求每个δ∈G的M，δx的子句，以使γrδ是熟悉的hintikka/kripke条件，可以相信x或可信，在\ gamma上。要求\ gamma \ in \ mathcal {e}（t，x）的子句补充说，t应该是x at \ gamma的相关证据。然后，非正式的t：x在一个可能的世界上是真实的，如果x在通常的认知逻辑上是可信的，而t是该世界上X的相关证据。

重要的是要意识到，在这种语义中，可能是因为它根本不可信，或者是因为它是因为它是不可信的，否则原因是不合适的。

某些条件仍然必须放在证据功能上，并且还必须将恒定规范放入图片中。假设将S和T作为理由。一个人可以通过两种不同的方式组合这些：同时使用两者中的信息；或仅使用其中一个信息，但首先选择哪一个。每种都会在第2.2节中公理引入的理由项，\ cdot和 +产生基本操作。

假设s是含义的相关证据，t是先决条件的相关证据。然后，S和T一起为结果提供了相关证据。假定以下有关证据功能的条件：

\ Mathcal {e}（s，x \ rightarrow y）\ cap \ mathcal {e}（t，x）\ subseteq \ mathcal {e}（s \ cdot t，y）

添加了这种情况，

s :( x \ rightarrow y）\ rightarrow（t：x \ rightarrow [s \ cdot t]：y）

是安全的。

如果s和t是证据的项目，则可能会说某个S或T或t之一是合理的，而无需指定哪个，这仍然是证据。以下要求对证据函数施加。

\ Mathcal {e}（s，x）\ cup \ mathcal {e}（t，x）\ subseteq \ mathcal {e}（s + t，x）

毫不奇怪，两者都很奇怪

S：X \ Rightarrow [S + T]：X

和

t：x \ rightarrow [s + t]：x

现在握住。

最后，应考虑恒定规范CS。回想一下，常数旨在代表完全接受的基本假设的原因。模型\ Mathcal {m} = \ langle \ Mathcal {g}，\ Mathcal {r}，\ Mathcal {e}，\ Mathcal {V} \ rangle符合常数的规格CS提供：如果c：x \ in cs then \ in cs，则Mathcal {E}（C，X）= \ Mathcal {G}。

\ Mathsf {J} _ {cs}的可能世界合理模型是一个可能的世界合理模型，是一个结构\ Mathcal {M} = \ langle \ Mathcal \ Mathcal {G}，\ Mathcal {r}，\ Mathcal {e}，\ Mathcal，\ Mathcal {v} \ rangle满足上述所有条件，并满足恒定规范CS。

尽管有相似之处，但可能的世界辩护模型允许Kripke模型无法进行细粒度分析。有关更多详细信息，请参见补充文档的第3节。

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