理由逻辑（三）

3.2虚弱和强大的完整性

公式X在\ Mathsf {J} _ {CS}的特定模型中是有效的，如果在模型的所有可能世界上都是正确的。 \ Mathsf {J} _ {CS}的Axiomatics在第2.2和2.3节中给出。现在，完整定理采用预期表格。

定理2：一个公式X在\ Mathsf {J} _ {cs}中可证明，并且仅当X在所有\ Mathsf {J} _ {CS}模型中有效。

如刚才所述的完整定理有时称为弱完整性。对于模态逻辑\ Mathsf {k}而言，证明要比完整性要容易得多，这可能有些令人惊讶。关于这一点的评论如下。另一方面，它非常通用，适用于所有恒定规格。

在（Fitting 2005）中，还引入了更强的语义版本。模型\ Mathcal {M} = \ langle \ Mathcal {G}，\ Mathcal {r}，\ Mathcal {E}，\ Mathcal {V} \ rangle如果符合以下条件，则称为完全解释。对于每个\ gamma \ in \ nathcal {g}，如果\ mathcal {m}，\ delta \ vdash x for All \ delta \ in \ in \ Mathcal {g} {m}，\ gamma \ vdash t：x用于某个理由术语t。请注意，条件，\ Mathcal {m}，\ delta \ vdash x for All \ delta \ in \ Mathcal {g}，因此\ gamma \ Mathcal \ Mathcal {r} \ delta是x在\ gamma上的常见条件从Hintikka/Kripke意义上讲。因此，充分的解释性确实说，如果在可能的世界上可以相信一个公式，那就有理由。

并非所有弱模型都符合完全解释的条件。确实称为强型模型。如果恒定规范CS足够丰富，以使内在化定理成立，则相对于CS的强模型具有完整性。实际上，从适当的意义上讲，关于强模型的完整性等同于能够证明内在化。

相对于强型模型的完整性证明与使用模态逻辑\ Mathsf {k}的典范模型的完整性相似。反过来，强模型可用于给出实现定理的语义证明（参见第4节）。

3.3单人家庭

到目前为止，已经讨论了一种理由逻辑的世界语义。现在，事物被扩展到包含其他熟悉模态逻辑的合理性类似物。

仅通过将可访问性关系的反射性添加到第3.1节中的模型条件中，一个人会获得t {：} x \ rightArrow x的有效性，并获得\ Mathsf { JT}，模态逻辑{\ textsf {t}}的理由类似物，是知识的最弱逻辑。实际上，如果{\ Mathcal {M}，\ gamma {\ vdash} t {：} x}，尤其是，x在每个状态下都是true，在\ gamma中可访问的每个状态。由于需要反身关系，因此{\ Mathcal {m}，\ gamma {\ vdash} x}。使用与\ textsf {j}相同的机械以及实现定理连接\ Mathsf {jt}和{\ textsf {t}}的语义证明，也可以使用弱和强的完整性定理。下面讨论的逻辑也是如此。

有关{\ textsf {k4}}的依据类似物，添加了一个额外的单元操作员'！'一词，请参见第2.5节。回想一下该操作员的理由与理由的理由，其中想法是，如果t是x的理由，那么！t应该是t {：} x的理由。从语义上讲，这将条件添加到模型\ Mathcal {M} = \ langle \ Mathcal {g}，\ Mathcal {r}，\ Mathcal {e}，\ Mathcal {v} \ rangle。

首先，当然，\ Mathcal {r}应该是及时的，但不一定是反思的。其次，需要关于证据功能的单调条件：

\ mbox {if} \ gamma \ mathcal {r} \ delta \ mbox {and} \ gamma \ in \ Mathcal {e}（t，x）\ mbox {then}} \ delta \ delta \ in \ Mathcal {e}（e} x）最后，还需要一个证据功能条件。

\ Mathcal {e}（t，x）\ subseteq \ mathcal {e}（！ X并为\ Mathsf {J4}（\ Mathsf {k4}的理由类似）生成语义，并具有连接它们的实现定理。出于历史原因，添加反射性会导致一种逻辑，称为{\ textsf {lp}}。

我们已经讨论了{\ textsf {lp}}的sbrogics的理由逻辑，对应于模态逻辑\ textsf {s4}的sboblogics。超出{\ textsf {lp}}的第一个示例是第2.7节中讨论的示例，其中涉及负面的内省运算符‘？'。包括此操作员的理由逻辑的模型添加了三个条件。第一个r是对称的。其次，一个人添加了一个有力证据的条件：{\ Mathcal {m}，\ gamma {\ vdash} t {：} x} t {：} x} for All \ gamma \ in \ Mathcal {e} ）。最后，证据功能有一个条件：

\ edline {\ mathcal {e}（t，x）} \ subseteq \ mathcal {e}（？t，\ lnot t {：} x）

如果将此机器添加到\ Mathsf {J4}的情况下，我们得到了逻辑\ Mathsf {J45}，这是\ Mathsf {K45}的合理对应物。可以证明公理的声音和完整性。以类似的方式，可以通过语义进行相关的逻辑\ Mathsf {JD45}和\ Mathsf {JT45}。实现定理带有操作员？在（Rubtsova 2006）中显示了考虑。

如第2.8节所述，转移到GEACH逻辑中，也可以指定\ textsf {J4.2}的语义模型。假设g = \ langle \ Mathcal {g}，\ Mathcal {r}，\ Mathcal {e}，\ Mathcal {V} \ rangle是{\ textsf {lp}}模型。我们添加以下要求。首先，与\ textsf {s4.2}一样，帧必须是收敛的。其次，就像？，\ Mathcal {e}必须是强大的证据功能。第三，\ \ m nathcal {e}（f（t，u），\ lnot t {：} x）\ cup \ mathcal {e}（g（t，u），\ lnot u {：} \ lnot x）= \ Mathcal {G}。完整性和健全性结果以通常的方式遵循。

以类似的方式，该家族中Geach方案的每个模态逻辑公理都有一个合理性，具有拟合的语义和实现定理，将合理性与相应的模态逻辑相关联。特别是，这告诉我们，理由逻辑家族是无限的，肯定比最初认为的要广泛得多。也是这样的情况，某些模态逻辑以前没有考虑过，而在这个家庭中也没有理由。研究所有这些后果仍在进行中。

3.4单一世界合理模型

在我们一直在讨论的更一般可能的世界辩护模型之前，单一世界的理由模型是相当大的（Mkrtychev 1997）。如今，他们最简单地将它们视为碰巧拥有一个世界的世界理由模型。 \ Mathsf {J}的完整性证明以及上述其他理由的逻辑可以轻松修改以确定单个世界合理模型的完整性，尽管这当然不是原始的参数。关于单个世界辩护模型的完整性告诉我们，至少对于迄今为止讨论的逻辑，可以完全编码有关理由模型可能世界结构的信息。 Mkrtychev使用单一世界的理由模型来建立\ Mathsf {lp}的可决定性，而其他人则在为合理性逻辑设定复杂性范围时对它们进行了基本使用，并显示了信仰合理的保守性结果（Kuznets 2000，Kuznets 2008，Kuznets 2008，2008 ，Milnikel 2007，Milnikel 2009）。复杂性结果进一步用于解决逻辑无所不知的问题（Artemov and Kuznets 2014）。

3.5本体论透明语义

3.1-3.4中上述正式逻辑的正式语义在给定的世界\ gamma上定义了真实价值，就像在意识模型中完成的方式相同：t {：} f在\ gamma iff中

F可以从\ gamma和

根据给定的证据功能，T是F的可接受证据。

此外，还有另一种语义，即所谓的模块化语义，其重点是使理由的本体论地位更加透明。在模块化语义中，命题接受了通常的经典真实价值观，而理由则以句法解释为公式集。我们保留了命题公式FM的经典解释\ ast，在单个世界的情况下，它将其减少到\ ast：fm \ mapsto \ \ \ \ \ \ \ \ {0,1 \} I.e. false）或1（true），在通常的布尔条件下：{\ vdash} a \ rightarrow b iff \ not \ vdash a或{\ vdash} b等。术语。对于一组公式x和y，我们定义x \ cdot y = \ {f \ mid g {\ rightarrow} f \ in x \ \ \ mbox {and} \ g \ in y \ \ \ mbox { }。非正式地，x \ cdot y是在X和Y的所有成员之间应用一次Modus Ponens（按此顺序）的结果。理由项TM被解释为公式集的子集：\ ast：tm \ mapsto \ \ 2^{fm}，这样（s \ cdot t）^\ ast \ ast \ ast \ supseteq s^\ ast ast ast ast \ \ mbox {and} \ \ \ \（s+t）^\ ast \ supseteq s^\ ast \ cup t^\ ast。这些条件对应于基本的理由逻辑\ textsf {j};其他系统需要\ ast的额外关闭属性。请注意，尽管模块化模型中的命题是通过语义解释为真实价值，而句法则将其解释为公式集。这是一个主要的超强特征：在f^\ ast = g^\ ast的意义上，模块化模型可以将不同的公式f和g视为平等，但仍然能够区分理由断言t {：} f和t {：：： } g，例如，当f \ in t^\ ast中但g \ not \ in t^\ ast中的f \ not \ in tarter {\ vdash} t {：} f but as t {\ vdash} t {：} f，但\ not \ vdash t {：} g。在一般可能的世界环境中，公式经典地解释为可能世界的集合的子集，\ ast：fm \ mapsto \ \ \ \ \ 2^w，正当术语在每个世界上被解释为句法为一组公式\ ast \ ast：w ast：w \ times tm \ mapsto \ \ 2^{fm}。在（Artemov 2012; Kuznets and Studer 2012）中已经证明了相对于模块模型的合理性逻辑系统的合理性和完整性。

3.6与意识模型的联系

逻辑上的无所不知问题是，在认知逻辑中，所有的重言术都是已知的，知识在结果下是不合理的。在Fagin和Halpern（1988）中，引入了一种简单的避免问题的机制。一个人添加了通常的kripke模型结构一个意识函数\ cal一个指示代理商在这个世界上意识到的每个世界。然后，如果1）公式在可能的世界上是正确的，那么在所有世界上都可以从\ gamma访问（Kripkean知识条件）和2）2）代理人在\ gamma上意识到该公式。意识功能可以用作阻止对任意公式的知识的实用工具。但是，作为逻辑结构，由于缺乏自然闭合特性，意识模型可以表现出异常的行为。例如，代理商可以知道A \ wedge b，但既不知道A也不知道，因此也不知道。

世界上可能的逻辑模型使用强迫定义让人联想到意识模型中的逻辑模型：对于任何给定的理由t的理由断言t {：} f在世界\ gamma iff 1）f在所有世界中都可以从\ gamma访问\ gamma。 2）t是\ gamma，\ gamma \ in {\ cal e}（t，f）的f的可允许证据。主要区别在于在理由模型中对可接受的证据功能的正当依据和相应的封闭条件的操作，因此可以将其视为意识模型的动态版本，这些版本是指定必要的闭合属性。在Sedlár（2013）中探讨了这个想法，该想法与\ textsf {lp}的语言合作，将其视为一种多代理模态逻辑，并将其视为代理（更正确地，是代理的动作）。这表明，理由逻辑模型以自然的方式吸收了意识，团体代理和动态的常见认识论主题。

4。实现定理

证据断言t：f是\ box f的自然模态认识对应物，请阅读一些x，x：f。该观察结果导致了健忘投影的概念，该概念替换了\ box f的每种出现t：f，因此将合理逻辑s转换为相应的模态逻辑句S^{o}。健忘的投影以自然的方式从句子到逻辑。

显然，不同的理由逻辑句子可能具有相同的健忘投影，因此s^{o}失去了所包含的某些信息。但是，很容易观察到健忘的投影总是映射出合理逻辑的有效公式（例如， \ Mathsf {J}）到相应的认知逻辑（\ Mathsf {K}）的有效公式。相反的内容也存在：任何有效的认知逻辑公式都是某种有效的理由逻辑公式的健忘投影。这是从对应定理3。

定理3：\ Mathsf {J}^{O} = \ Mathsf {K}。

此对应关系适用于其他一对理由和认知系统，例如\ Mathsf {J4}和\ Mathsf {K4}，或\ Mathsf {lp}和\ Mathsf {S4}，以及许多其他。以这种扩展形式，对应定理表明，\ m athsf {k}，\ mathsf {t}，\ mathsf {k4}，\ mathsf {s4}，\ mathsf {k45}，\ mathsf {k45}，\ mathsf {s5}，\ mathsf {s5}另一些则具有确切的理由逻辑对应物。

对应定理的核心是以下实现定理。

定理4：有一个算法，对于\ mathsf {k}中的每个模态F {k}中的每个模态f，将证据术语分配给f中的每种情况的证据术语，以使所得的公式f^{r}在\ mathsf中可衍生{J}。此外，实现将证据变量分配给模态算子在F中的负面发生，从而尊重认知模式的存在。

在模态定理中恢复证据术语的已知实现算法在相应的模态逻辑中使用无剪切推导。另外，可以通过拟合的方法或其适当的修改以语义建立实现定理。原则上，这些语义论证还产生了基于详尽搜索的实现程序。

得出任何模态逻辑都有合理的理由逻辑对应的结论是一个错误。例如，形式可证明性的逻辑，\ mathsf {gl}，（Boolos 1993）包含Löb原则：

\ tag {5} \ box（\ box f \ rightarrow f）\ rightarrow \ box f，

似乎没有认识论上可接受的明确版本。例如，考虑f是false的命题常数\ bot的情况。如果定理4的类似物涵盖Löb原则，则会有合理的术语s和t，使得x :( s：\ bot \ rightarrow \ bot \ bot \ bot）\ rightarrow t：\ bot。但这在直觉上是错误的，因为有义务的理由。确实，s：\ bot \ rightarrow \ bot是事实公理的一个实例。应用公理内在化以获得C :( S：\ bot \ rightArrow \ bot）作为某些常数c。 C的这种选择使C :( S：\ bot \ rightarrow \ bot）\ rightarrow t：\ bot直觉上正确和结论false [4]。特别是，löb原理（5）对于证明解释无效（参见（Goris 2007），对于\ mathsf {gl}原理的完整说明是可实现的）。

对应定理对认知模态逻辑提供了新的见解。最值得注意的是，它为主要模态逻辑提供了新的语义。除了在所有可能的情况下\ box f的传统kripke风格的“通用”读数外，现在还有一种严格的“存在”语义\ box f可以读取，可以阅读为有见证人（证明，证明，理由）对于F。

辩护语义在模态逻辑中起着类似的作用，与Kleene的真实性在直觉逻辑中所扮演的角色相似。在这两种情况下，预期的语义都是存在的：Brouwer-Heyting-Kolmogorov直觉逻辑的解释（Heyting 1934，Troelstra和van Dalen 1988，Van Dalen 1988，1986年）和Gödel的\基的\ Mathsf {s4}（s4}（gödel193333333333338） ）。在这两种情况下，都有一种可能世界性特征的语义，这是一种高度有效和主导的技术工具。但是，它不能解决预期语义的存在特征。克莱恩（Kleene）的可实现性（Kleene 1945，Troelstra 1998）揭示了直觉逻辑的计算语义和证明的逻辑，以提供直觉和模态逻辑证明的确切BHK语义。

在认识论的背景下，理由逻辑和对应定理为知识和信念的模态逻辑添加了一个新的“理由”组成部分。同样，这种新组成部分实际上是一种古老的和中心的概念，主流认识论学家广泛讨论了，但它仍然不超出古典认识论逻辑的范围。通信定理告诉我们，理由与Hintikka式系统兼容，因此可以安全地纳入认知模态逻辑的基础中。

请参阅补充文档的第4节，以了解更多有关实现定理的技术问题。

5。概括

到目前为止，本文仅考虑了类似于知识的单格逻辑的单格辩护逻辑。理由逻辑可以被视为明确知识的逻辑，这与更传统的隐式知识逻辑有关。在文献中已经研究了以上讨论的许多系统，涉及多个代理，或具有隐式和显式操作员或这些组合的某种组合。

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