数学哲学中的形式主义（二）

p,Ωp,ΩΩp,ΩΩΩp,ΩΩΩΩp,…

作为数字“定义”的起点，可以通过将其重写为

Ω0p,Ω0+1p,Ω0+1+1p,Ω0+1+1+1p,Ω0+1+1+1+1p,….

那么，这里我们有无限多个原理图重写规则。诸如“0+1+1+1+1”之类的索引可以用数字以明显的方式缩写，“0+1+1+1+1”缩写为“4”等等。

维特根斯坦的例子表明（尽管他没有明确说明这一点）两个数字/指数 Ωnp+Ωmp（同样 Ωn+mp）的加法由以下规则给出：

Ωnp+Ωmp⇒Ωn(Ωmp)

告诉我们可以将公式中左侧的表达式替换为右侧的表达式。

这就是 n+m=r 等恒等式“正确性”的基础，只不过对于维特根斯坦来说，这样的恒等式并不表达真理。根据他的说法，身份符号在对语言的全面分析中消失了，其中相同性和区别是通过名称的相同性和不同性来显示的，在完全分析的语言中，没有两个名称指代同一个对象（这种观点为解释《逻辑哲学论》中的数学表述为 unsinnig）。维特根斯坦本人并没有费力地证明放弃身份符号不会削弱语言的表达能力，但其他人如 Hintikka (1956) 和 Wehmeier (2004) 已经这样做了。删除了身份后，底层语言中剩下的就是替换规则（Tractatus ¶ 6.23）。

这些必须以一般性、示意性的方式来解释。因此，当我们将 ∼ 代入 Ω 时，我们发现（维特根斯坦在这里没有直觉主义顾忌）双重应用 ∼∼p 让我们回到（与）p （具有相同的含义）。但这并不能证明 2=0 是正确的，因为对于许多其他运算，ΩΩp 并不等于 p。另一方面

ΩΩ(ΩΩΩp) 始终与 ΩΩΩ(ΩΩp) 具有相同的含义

维特根斯坦隐含地假设了括号与运算符相互作用的适当规则，特别是广义结合性。 （事实上​​，他混合使用了括号和符号 Ω′p 来表示 Ω(p)。）

由于方程 Ωnp=Ωmp 在其基本逻辑形式中不是通用概括 ∀n,m(Ωnp=Ωmp) 而是纯粹的示意性概括，因此不存在我们可以使用的形式 ∃n,m(Ωnp≠Ωmp)表达不平等，即使我们能够理解“≠”。我们也不能将不等式 n≠m 示意性地表达为对于 Ω 的每个选择，Ωnp 与 Ωmp 不等价。否则 2≠0 将失败，因为 ∼∼p 等价于 p。 Tractarian 理论无法处理不平等问题。

关于该操作的补充和限制就这么多了。乘法呢？维特根斯坦在 ¶6.241 中确实定义了它：

Ωn×mp⇒(Ωn)mp

但为了将其理解为一般原则，我们需要知道如何解释符号 (Ωn)m。在更传统的数学中，人们可能简单地将 (xn)m 定义为 xn×m，但显然这（或者更确切地说，算子指数相互作用的等价物）会在维特根斯坦的解释中引入循环性。或者，我们可以求助于指数的递归理论 – am×0=a,am×(n+1)=am+am×n。由于归纳原理需要表明递归是维特根斯坦系统中任何地方都没有的连贯特征，因此这些规则可能必须被视为原始规则。

总的来说，维特根斯坦在《逻辑哲学论》中没有给我们提供一般数学的解释，除了算术片段之外，基本上只涉及加法的正恒等式。他在那里否认这些句子表达了具有真值的命题。当然，这本书是在极其困难的情况下写成的。也许他的解释可以进一步发展，更可信，尽管上面注意到了困难，但对于这方面的一些怀疑，请参见 Landini，2007。当然，维特根斯坦在与 F.P. 接触时并没有尝试这样做。拉姆齐和 20 年代的维也纳圈。如果维特根斯坦的观点无法进一步发展，我们可以选择要么放弃所有数学，最多只保留加法的一小部分；要么放弃数学。或者拒绝 Tractarian 的帐户。人们不需要对当代数学盲目地不加批判，就能明白这里的合理选择是什么。诚然，拒绝《逻辑哲学论》的解释也是维特根斯坦本人在本书结尾处似乎采取的选择。那么我们就进入了一个问题：为什么要带我们了解这样一个怪异且不令人信服的理论，以便最终将其抛弃。 （对于维特根斯坦的逻辑学立场的更积极的评价，请参见 Floyd (2002)。

维特根斯坦后来关于数学哲学的著作，例如《关于数学基础的评论 1956/1978》，在很长一段时间内所获得的认可甚至比 Tractarian 的解释还少，尽管最近朱丽叶·弗洛伊德和希拉里·帕特南等哲学家开始为其辩护。作为对数学的有趣且见多识广的描述（Floyd/Putnam，2000）。其主题包括拒绝实际的无限（事实上，他的著作中的倾向是强烈的有限主义）；否认不可判定的句子是有意义的；拒绝康托尔的幂集证明；证据发现改变了所涉及术语的含义；以及其他非常激进的想法。其中我们发现对形式主义主题的持续坚持：

在数学中，一切都是算法，没有任何意义； （哲学语法：468）。

维特根斯坦思想中另一个持久的主题是，数学的意义完全在于其在非数学应用中的效用。但没有系统的理论来解释这种适用性是如何产生的，也没有保守可拓定理的证明，例如，证明将数学演算应用于经验前提永远不会导致我们得出不从这些前提得出的经验结论。并且元理论的问题也没有解决。另一方面，我们应该注意到，维特根斯坦关于数学哲学的这些笔记并不是他自己发表的，而是在他死后由其他人发表的。要全面了解维特根斯坦的数学哲学，请参阅维特根斯坦的数学哲学。

4.形式主义和实证主义者

维特根斯坦极大地影响了维也纳学派。可以说，“官方”实证主义数学理论并不是一种形式主义理论。数学定理表达了真理，尽管是以一种特殊的方式：仅凭意义就为真。最有影响力的实证主义者是卡尔纳普（Carnap），如果一个人不将奎因归类为实证主义者（但奎因在1930年代的观点无论如何都非常接近卡尔纳普的观点，可以说quine可以说是那个时代比卡尔纳普所做的更真实的）。当然，在Carnap的某些著作中，可以辨别形式主义的强大元素，例如在Logische语法Der Sprache（1934/1937）和“经验主义，语义和本体论”（1950/1956）。

前书在1937年被翻译成英文作为语言的逻辑语法。在其中，卡尔纳普（Carnap）认为，哲学中正确的方法是从事被认为是“逻辑语法”的概念分析，大概是说话的语法和证明理论。为了解决哲学上的差异，有人提出在形式语言或“框架”中的有争议立场，其中包括公理制度和证明规则；鉴于这些，有些句子是“确定的”，可证明或可驳斥。这些是相对于该框架的分析性和矛盾的句子。我们如何选择采用哪种系统？ Carnap的宽容原则（1934/1937），52）允许我们采用我们希望的任何系统：

在逻辑上，没有道德。每个人都可以自由建立自己的逻辑，即他的愿望。 [原始斜体]

Carnap将这种无限制的宽容扩展到数学上，并实际上将其赋予了数学家：

就特殊的数学计算而言，这里提出的宽容态度是大多数数学家默认共享的态度。 [同上。]

任何这样的微积分都可以算作一块数学，即使是不一致的数学。通过淡化或完全丢弃语义概念，我们简单地绕过了有关实体性质数学性质的传统本体论争议是“关于”的。唯一的问题是任何给定数学计算的实用效用或其他问题。

这里出现了许多担忧。 Carnap如何区分经验，科学理论和数学理论？其次，如果务实的效用主要是经验应用的问题，那么carnapian正式主义者如何知道给定的微积分将保守地扩展经验理论，如何在没有有意义的数学结果的情况下知道这一点？ Carnap写道：

形式主义观点是正确的，认为系统的构建可以正式地进行，也就是说，无需参考符号的含义。 …但是，仅仅仅通过逻辑数学演算的构建就无法完成因此所概述的任务。因为这个演算不包含……那些与数学应用有关的句子……例如，“现在有两个人在场的句子中”，不能从句子中得出“查尔斯和彼得现在在这个房间里，没有其他人”仅在逻辑数学演算的帮助下，因为它通常是由形式主义者建造的；但是，它可以借助逻辑系统的帮助，即基于弗雷格的“ 2”定义。 （Carnap 1934/1937，326）

添加（斜体是Carnap的）“这种结构同时满足了形式主义和逻辑主义的要求。”

但是，根据宽容原则，可以自由地规定我们的“桥梁原​​理”的操作员的“桥梁原​​理”是什么，这些操作员的表现像数字操作员一样，“ ϕ”的数量 - via的数量桥梁原则包括：

ϕs =0↔∃X的数量（ϕx＆〜yy（ϕy＆y≠x））

ϕs = 1↔〜xϕx的数量？

也就是说，我们将数字的零链接起来，并说明有一个适当类型的实体，其中一个句子的数字表示没有这样的实体。如果我们这样做，请添加标准小数算术的规则，然后尝试应用这种演算，将随后发生灾难；但是，我们是否不需要满足的保守扩展结果来表明对于我们使用的计算，不会发生任何灾难？

在此和其他方面，戈德尔的不完整定理对Carnap构成了非常困难的问题。第一个不完整定理告诉我们，在任何（ω-）一致的形式理论中，其定理是递归枚举的，并且需要一定的（相当有限）的算术量，将有一个算术句子，因此它既不是可证明其否定的。在Carnap的术语中，这似乎产生了不确定性的句子，如果我们确信其中一些句子是真实的，这对他来说是一个问题。实际上，如果这些句子以适当的方式构造（有不同的方式）在该模型中本身是正确的。

戈德尔本人写道，但没有出版，这是对卡纳普立场的批评（戈德尔，1953 - 9年）。戈德尔专注于他的第一个不完整定理，而是在他的第二个定理中绘制的推论：在某种自然表征一致性的特征下，可以通过他的语法算术来给出数学上的特征，没有对他的语法化的算术，没有任何形式的理论的理论考虑到哥德尔类型可以证明自己的一致性。他认为，为了使他的实证主义论点很好，即数学定理没有内容，需要为数学计算的一致性证明，以证明它们没有经验内容，确实有很多内容，确实有很多内容，这确实是通过其丰富的。需要所有经验句子。但是，沃伦·戈德法布（Warren Goldfarb）指出，（1995：328），这一点未能欣赏卡纳普（Carnap）1937年位置的深层整体，其中分析和合成之间的区别与所讨论的系统相对于“语言框架”。 （当然，这种深厚的抛弃性具有违反直觉的结果，即数学和经验科学之间没有框架 - 转变的区别。）

实际上，Carnap了解了Gödel定理的进口（Tennant，2008年）；他直接知道Gödel的结果，Gödel确实阅读了逻辑语法的草稿。尽管如此，他表现出了对其对自己的立场的影响而显着的不满。他承认有必要表明一致性，以一种更强大的语言（§60c），并自由地帮助自己采用了数学技术，这绝不可以被归类为限制（例如，在§14中，他使用的是无限的规则前提，尤其是后来称为ω-rule的前提）。这样至少，这样他就可以否认有任何不确定的句子，因为每个真实的算术句子都可以使用ω-rule（相对于相当弱的限制逻辑，比经典逻辑较弱，并且是弱公理的弱词Q -Robinson算术等系统。

卡尔纳普（Carnap）放松的态度源于他放弃寻找认识论基础。如果一个人希望通过呼吁对形式主义的解释来确保我们对数学的了解，那么寻找希尔伯特寻求类型的一致性证明是有意义的，并且人们会从有限的片段中寻求整个数学的辩护我们的知识似乎很难削弱。但是，卡纳普（Carnap）也许是戈德尔（Gödel）的深度定理的结果，似乎放弃了这个目标，并认为宽容原则使他免除了任何这种需求。可以规定人们喜欢的东西，包括更强大的公理系统，从中可以证明弱理论的一致性。这并不能为相信或接受较弱的理论提供任何更坚定的理由，但是无论如何都不需要这样的理由。

如今，很少有在数学上寻找笛卡尔确定的确定性，因此Carnap在这里的位置似乎是合理的。但是，并不清楚他已经回答了适用性的问题。即使只能在更强大的系统中给出保守的扩展结果，我们也需要结果是一个满足的事实，而不仅仅是我们可以从某些系统中得出的一串符号，如果我们要放心，我们即将在设计桥梁或计算机时使用务实有用。而且，如果carnapian赋予结果是一个满足的真理，我们可以根据形式主义的立场询问是什么构成了这一真理。可以肯定的是，卡尔纳普的动机是卷入形而上学争论的恐怖。但是，如果他的观点不仅被认识论雄心勃勃，而且是如此的屈曲，以至于说的是，只能将其远远超过地质学技术，可以应用于数学和科学理论的形式上数学哲学的辩论。

并不是说Carnap确实放弃了形而上学：这种形而上学的对手确实是一个兄弟的形而上学家，他本人的竞争理论，正如F. H. Bradley可能所说的那样。因此，后来的“经验主义，语义和本体论”的主要进口是将本体论的担忧视为伪造问题，这是通过“内部”问题之间（高度争议的）区别在于伪造问题，这是由框架的规则（框架的规则）解决的。数学，普通的“事物”谈话或其他问题以及“外部”问题，例如“采用哪个框架？”。卡纳普声称，对于这些外部问题，没有真相价值的命题。例如，没有这样的问题对形式有真实的答案：“是的，存在无限的抽象数字”。相反，他们应根据有关该框架的效率，富有成果和实用性在相关论述的目的方面的务实标准，富有成果和实用性来回答他们。但是这些目标是什么？预测“感官数据”的流动，被认为是形成世界上最终家具的理所当然的？如果是这样，我们会发现自负的本体论中立性是一种假，我们具有一种激进的经验主义反现实主义形而上学的形式。

形式主义的痕迹在于：Carnap采用“正确性”，由管理系统的规则决定，而不是与与规则制度无关的事实统治，例如与事实相关。他认为这种方法消除了本体论的烦恼，并使我们免于任何义务解释有限的，肉体和血液的生物，像我们自己一样，可以详细了解这个独立的事实领域，非毒物对象和特性，这是Carnap作为形而上学幻觉的领域。与形式主义的一种有力的否认是，卡纳普（Carnap）与所有话语领域相同，而不仅仅是数学领域。

5。名义主义形式主义

W. V. Quine凭借意义和准论主义的数学概念，将数学的概念拒绝了实证主义者的真理学说（因此，数学的概念是分析真理的主体（部分原因，部分原因也拒绝了他的导师Carnap的内部/外部区别）。与纳尔逊·古德曼（Nelson Goodman）一起，他制作了构成形式主义宣言的内容。他的形式主义阶段似乎并没有持续很长时间：后来他以一种数学柏拉图主义的形式定居，轻描淡写，即使不是很大程度上忽略了他相对年轻的“名义主义”的调情。但是，尽管他和古德曼持续了，但通过正面解决其他形式主义者避免或忽略的问题，从而大大推进了形式主义的讨论。

古德曼（Goodman）和奎因（Quine）的“迈向建设性名义主义的步骤”（1947年）提出了一个毫不妥协的游戏形式主义：

通过使用数学公式从使用数学公式而获得自然科学的收益并不意味着这些公式是真实的陈述。没有人，甚至不是最艰难的实用主义者，都可能将算盘的珠子视为真实。我们的立场是，柏拉图数学的公式就像算盘的珠子一样，需要便利的计算辅助工具，这些辅助工具需要毫无疑问。 （122）。

他们看着

数学的句子仅是无意义的标记字符串

以便

数学具有的清晰度源于控制这些标记的句法或metaragical式规则。 (111)

值得称赞的是，古德曼和奎因并没有回避元心态问题，语法和metAmathematics本身似乎在本体论富裕并致力于抽象对象是算术的困难。相反，他们直接面对它，并试图完全使用具体物体的本体论，实际上有限许多此类对象。 （但是，他们确实假定相当有力的神学原理，特别是普遍的组成：他们假设任何一组对象（无论分散或分散）也是一个神学的对象 - “融合”或“总和” - 以良好的信誉。）

他们巧妙地试图开发一种语法，该语法“将数学表达视为具体对象”（同上），作为实际的物理标记，并为诸如'formula'，'axiom'和``axiom'''和'coolive诸如柏拉图式上的概念提供具体的替代物。定义的。但是，它们并没有解决以这种具体的形式主义方式解释的数学应用问题。

除了适用性问题外，古德曼和奎因（Goodman and Quine）开发的形式主义还有两个关键问题。首先，尚不清楚他们有权获得有关语法的一般主张，这被认为是关于某些具体标记和商标融合的理论。因此，当他们在“准形式”方面对公式的定义给我们带来了我们想要的结果时，他们说：

还要求X中的下一个更复杂的替代拒绝是对准形式的替代否认，该定义可以保证这些定义在直观的意义上也将是公式。等等，x本身。 (116)

（“替代拒绝”是Sheffer Stroke操作P | Q，它是正确的，并且仅当一个组件是false时。）问题在于“等等”。古德曼（Goodman）和奎因（Quine）试图通过一个任意公式向上努力，表明他们的定义将确保每个较大的组件都是公式。目前尚不清楚我们如何为任意x保证这一点，而没有归纳对公式复杂性之类的东西；但这是无法使用的，因为公式不是以通常的归纳固定理论方式产生的。类似的评论适用于以下证明，即在p上名义上定义的证明。 120，在直接地期望的即时次级主体和结论之间具有内部优先级。演示进行了对所有数字k的概括进行的，该数字将公理在具体的证明中编号，然后对它们上的一系列选择。这似乎是对所有数字的概括的真实性，而且确实是可数的选择，这对于严格的名义主义者而言无法获得的资源。

其次，Goodman和Quine对诸如句子的说法可以说什么

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