数学哲学中的形式主义（三）

222222+1是主要的？

（也就是说 - '2^n'代表'2 to to power n' - '[2^（2^（2^（2^（2^（2^2））））]+1是prime'; cf. tennant ，1997,152。）他们不能否认该句子的存在，因为在我们眼前有象征。但是，有强烈的理由认为，不存在任何具体的证明或调谐性，因为唯一可用的方法可能会用比任何人可以使用的时间，空间和材料更多的时间，空间和材料，也许比实际存在的时间要多。这个属性有无数的句子：它们的具体令牌存在，但实际上没有具体的证据或反驳，无论如何，没有人可以操纵人类作为有意义的话语。 （参见Boolos，1987年。）古德曼和奎因的说服力的形式主义者似乎被迫得出这样的结论：上述句子，从通常的正式意义上可以决定的句子既不是真实也不是错误的，因为既不是具体证明也不是可以证明的，也不是可以否认的。但是，要接受这种观点，将是目前实践的屠夫数学；这种后果应该被视为其位置的还原荒谬。

6。术语形式主义：咖喱

非希尔伯特式形式主义数学哲学的最实质性尝试是哈斯克尔·库里（Haskell Curry）的《形式主义数学哲学》的书概述（Curry，1951）。库里不是游戏形式主义者，他的立场更接近我们从我们发起的两种观点中的术语形式主义。然而，库里的数学哲学是或试图成为一种高度反文档的哲学，至少在他认为自己可以在数学本体论承诺问题上保持中立的程度。

数学可以被认为是一门科学，以独立于除最基本的哲学假设以外的任何人。 (3)

因此，他并不是出于抽象物体的反铂主义恐怖激励。的确，他的中立性在某种程度上被咖喱完全乐于致力于无限抽象表达类型的无限本体的事实所遭到的损害。正式地，他表明他的正式系统的原始人（误导性地称其为“令牌”）是：

我们可以为那些我们想要的任何对象拿走这些对象，同样，我们可以为操作员采用任何结合具有必要正式属性的对象的方法。 (28)

但是，由于对于许多系统，有许多原始的“令牌”，因此不能全部用数学家实际产生的具体标记来识别它们。

像《形式主义者》一词一样，库里（Curry）采用数学，在哲学反思后正确重建，具有本质上是句法主题，即正式的系统。不过，与弗雷格的对手不同，咖喱是在建立《 metamaterics纪律》之后写作的，能够对形式系统是什么是更严格的（尽管在他的情况下有点古怪）。

对正式系统的公理，规则和理论的形式没有任何限制。正式系统的基本命题的真实性仅仅是其在系统中的可预订性。他的形式系统之一（示例7：23）只有一个谓词“戈德尔用“ ist beweisbar”一词表达的一元谓词”（23），即可证明性谓词。该系统的基本真理可以解释为基础系统中可易待性的主张。任何通常的形式系统都可以“简化”到一个基本命题的还原系统中只有一个可证明性谓词和真相（=可供应性）的系统，只有在降低系统中证明时才存在：⊢⟨ ϕ⟩（34–35）。库里允许人们通过通常的逻辑操作员从基本命题中形成化合物，以表达证明理论语言的复杂命题（第IX章）。

结果是，数学一般变成了metaramatics，一种满足的理论 - 库里的句子表达了带有真实价值观的命题 - 从基本的正式系统中，其解释或更确切地说是在数学上重要的重要性，从而阐明了关于什么是可证明的事实。 。然而，这个角度有可能陷入结构主义，将数学话语视为模式隐含地对满足架构的一系列（通常）抽象结构的范围进行概括。至于元心理的问题，库里不寻求回答这一点。没有真正的尝试来避免对物体丰富的本体论的承诺，除了仅考虑标准的形式系统，可以使用可数的本体来做到可以发挥语言表达的作用。但是，仅以严重扭曲数学实践为代价。设定理论家，拓扑师，分析师等。进行猜想，并试图证明“关于”集合，拓扑空间，在复数上的功能等的事物。在他们的哲学时刻，他们可能会想知道他们与之搏斗的概念是“关于”的，但他们并不是一般娱乐的猜想或试图证明“关于”表达字符串的事物，除非在证明他们的情况下具有工具价值关于集合，空间，复杂平面等的事情（参见Resnik：70-71）。

7。咖喱 - 霍德对应关系

Haskell Curry也是在将逻辑与计算机科学联系起来的发展中发挥重要作用，有人认为这可以为数学中的形式主义提供支持。他在联合性逻辑上的工作以及霍华德（W.A. Howard）的作品导致了“咖喱 - 霍德对应”（“ Curry-Howard”此后写的“ CH”）或“ CH同构”将逻辑，证明理论和计算机科学联系起来。

库里旨在提供一般的功能理论，作为库里所说的逻辑“前逻辑”基础的一部分。特别是参见（Curry 1934）和罗伯特·菲斯（Robert Feys），（库里和菲斯（Curry and Feys），1958年）。大约在库里（Curry）在该地区的第一本出版物的同时，阿隆佐教堂（Alonzo Church）开发了他的λ-钙符号，也旨在为逻辑提供基础，实际上更广泛地为数学提供了基础，并且还采用了非常适用的功能，非常适用。在这些功能性计算中（有关综合帐户，请参见Barendregt（1984），也是lambda conculus上的条目），使用串联fg表示函数f的应用函数f在参数g中获得输出值。论点和价值本身都可以是函数，并且允许自我应用。尽管库里的系统是无变量的，但教堂中的可变结合是通过λ项发生的，而变量x，如果和在n中发生的位置，则以λx.n结合。 λ-Calculus中的基本操作是β还原，这种转换使我们从（λx.n）M到N [x：= m]。这里n [x：= m]是替换m代替x中的所有自由出现的结果。[3]因此，例如（λx.xx）fβ-将FF还原为ff。我们可以将其写为：

（λx.xx）f⊳ff

因此，这些结石实现了Tractatus中的Wittgenstein（见上文）似乎在他的操作/功能区别中示意，因为在教堂和咖喱中，我们具有完全发展的“操作”理论，即可以将函数作为参数作为参数的函数和值。当然，自我应用，如无限循环β还原：

（λx.xx）（λx.xx）⊳（λx.xx）（λx.xx）

⊳（λx.xx）（λx.xx）

⋮

引起担心悖论可能会出现。教会认为，避免使用自由变量并限制了中间的限制（教堂，1932：346–7）阻止了悖论，但克莱恩和罗瑟（Kleene and Rosser）表明（1935年），使用了基于理查德（Richard）悖论的策略，该系统都是微不足道的：每个制度都是琐碎的：每个公式都可以：使用规则得出。教堂修复了这一点，以产生一致的非λcliculus，但是关于CH对应关系的重要步骤是键入的λCliculi的发展。

现在，“类型”是一个非常劳累的词。该类型的代币使用其含义之一（大致作为抽象的句法对象）有时被用来代表属性，包括高阶属性，如罗素的各种类型的理论。教会将在他简单的λ-calculus（教堂，1940年）中继续这一传统。在此用法中，类型（例如罐子的属性或形状的属性）具有诸如Fido，在第一种情况下，或在第二种情况下为正方形的低阶属性。因此，从这种意义上讲，类型的实例不必是抽象对象。另一个用法是句法，就像语言的基本表达式分为各种不相交类别（“类型”），以及用于生成良好表达式的编队规则，即使用类型的区别。在这种用法中，“类型”是某种对象理论语言的句法元素中的一种表达。在某些情况下，句法理论实际上是正在讨论的对象理论的一部分。与此无关，句法类型理论的某些演讲“向下推”句法元看调查，通过规定对象语言的良好表达式包含句法适当的部分，标签与与之相关的标签，通过规定了良好的对象的表达方式。表达式的元攻击类型，没有语义作用。例如，在霍华德（1969）中，命题逻辑条件片段的形成良好的公式被用作类型符号的类型符号。

通常按以下方式读取的表达«n：τ»

n项为τ型

因此，可以以多种方式阅读：例如：

I：非句法：n所指的实体是τ所指的类/set/属性的实例，τ是一个不必是句法的实例，也不是更普遍的，是抽象的。

II：元语法：n所指的表达式是句法类别τ的实例。相对于背景智力背景的句法理论是“元”是“ meta”，因为它并不是在（在其预期的解释下）以一种语言表达的更通用理论的一部分。它本身提供了语法。

III：句法：表达式n是句法类别τ的实例，类型理论是其本身所属语言的句法理论。

尽管对于逻辑学家来说，一些关于类型理论的教科书似乎对上述“类型”的解释的确切含义是相当朦胧的，但对于这些理论的先驱，这肯定不是这种情况。例如，霍华德（Howard）在他的经典论文中写道：《建筑的配方式构想概念》：

标题有第二个缺陷；也就是说，一种类型应被视为[SIC]抽象对象，而公式是一种类型的名称。 （1969：479）

并区分类型和类型符号（480）。

有多种类型理论的非句法模型，尽管以后是开发的，例如（Scott，1970），并做出相当强大的固定理论基础性假设，例如存在无法访问的红衣主教。与形式主义者更相关的是“术语模型”，句法模型类似于使用自己的符号作为域名成员的语言的解释，可以在Henkin完整性证明中找到解释；尤其是“句法语义”的方法，例如对Per Martin-Löf的直觉主义类型理论的某些解释（请参阅直觉类型理论的条目），或者Peter Schroeder-Heister的“证明理论语义”（请参阅​​证明的条目 - 理论语义）避免通过参考“外部”真理条件来赋予类型和术语的含义：不应将数学语言作为某些独立现实的代表。

在这种情况下，“类型”的元语法和句法读物之间的区别不是很重要。重要的是，类型理论的公理和推理规则使我们能够证明有关类型的元理论。可以将情况与序列结石和自然扣除之间的关系进行比较，前者的旋转栅门⊢trable可以解释为某些潜在的自然扣除系统中衍生性的关系，以及依次的串行序列，提供了关于对象语言衍生性的高级定理。因此，无论是否将类型视为元理论概念，类型理论的结石都可以证明定理的效果，即n项为τ类型。

现在，库里（Curry）在（1934年）中的作品，以及（1958年）中更充分的作品，在条件理论中表现出了可证明的公式与类型理论中基本组合者的类型之间的一定对应关系。特别是，→作为条件和α⇒β代表函数类型，即类型（非句法解释），其输入是类型α函数，输出型β函数类型，我们拥有（这里⊢T→表示正面的可提供性， （非相关主义）条件和⊢Cl的理论意味着适当的组合逻辑中的可预订性）：

⊢T→A→B IFF对于某些n，⊢cln：α⇒β

其中n是由基本组合剂构建的术语，α在结构上是a（同样β至b）的同构。也就是说，一个人可以从A→B产生⇒B，通过替换→By⇒的每次出现，鉴于在命题语言的公式中，用基本类型的名称中的命题语言中的句子字母的统一替换（也许是琐碎的身份）。

Curry and Feys（1958）将对应思想扩展到类型理论和绅士序列的序列之间的概念。在已经引用的论文中，于1969年流传，但仅在1980年的咖喱节库里（Festschrift）中发表，W.A. Howard（1969）通过证明直觉序列的自然推论与λ-Calculus的类型理论之间的对应关系加深了CH对应关系。格式，概括涵盖直觉主义算术 - 'Heyting Arithmetic'（HA） - （因此需要从命题到谓语的延伸逻辑），这是对建构主义概念的调查项目的一部分。霍华德不仅通过在序列序列和类型属性中的可证明公式之间的对应关系进行对应，而且在类型的acriptions中的术语和相应公式的证明中加深了对应关系。[4]例如，（对于相关主义者的恐怖）a→（b→a）在t→中可证明。相应类型为α⇒（β⇒α），基本操作员K的类型，其作用为

nm⊳n

其λ表示为（λx。（λy.x））（通常缩写为λxy.x），如β还原链可以看出：[5]

（λx。（λy.x）n）n）m⊳（λy.n）m⊳n。

t→是：（b→a）的最简单证明是：

一个

1

B→A。

A→（B→A）

1

图1

在其中第二步，中间结论B→A，是→I（nTroduction）的实例，并在未提出的前b（按顺序的微积分版本，变薄的规则中，在序列的前提中添加了额外的假设， ，将使用）。类型理论中的理论证明TT [6]的构建术语“居住”α⇒（β⇒α）的术语的构建形式：

X：α

x

λy.x：β⇒α

λxy.x：α⇒（β⇒α）

x

图2

这里λ抽象（λ项的引入）对应于→i，因此λ项λxy.x显示为α⇒（β⇒α）'代码'类型相关的两个步骤→i，即规则⇒i引入功能类型（第一个应用程序是空置放电的示例），我们可以恢复上述命题定理的证明。

此外，鉴于类型理论演算与某些类型的编程语言中的程序之间的紧密联系，我们还可以将 TT 证明视为构造某种类型的计算对象的步骤程序。

在自然演绎系统中，规范化是消除冗余推理循环的过程。在某些逻辑（例如直觉逻辑）中，规范化元定理成立并告诉我们，任何证明都可以去除其冗余并平滑地还原为规范形式。霍华德提出的更深一层的对应关系，将规范化与程序的“评估”联系起来，在程序中，复杂的术语被简化为最简单的形式（这在更具表现力的强大类型系统中并不总是可能的）。

似乎是 Kreisel 引入了“公式作为类型”这一口号，而 Martin-Löf 负责更广泛的“命题作为类型”口号（再次参见，Wadler，2015）。在哲学语境中，“命题”通常用来表示句子的含义，即某种公式的含义。使用这个术语，一个广泛的直觉主义立场是，由公式表达的命题是该公式的所有证明的集合（或物种，对于直觉主义者）。鉴于不同的可证明公式将对应于不同的类型，CH对应关系允许我们将这种“句法语义”位置重新表述为：HA公式表达的命题是其证明的类型，其中“类型”不是直截了当的“集合”或“种类”的同义词，但来自 λ 演算的概念。如前所述，该微积分是一个与编程、计算机科学和阅读材料具有丰富互连的形式系统，其中类型的实例纯粹是句法的，例如证明理论实体。因此，在这样的解读中，公式的含义、所表达的命题并不代表与该公式出现的语言系统不同的现实。

那么，与直觉主义的联系是显而易见的：但是 CH 对应关系与形式主义的相关性是什么？首先，某些形式的直觉主义和某些形式主义立场之间存在明显的重叠。当然，不是开国元勋布劳威尔的哲学直觉主义，它把数学对象视为心理构造的本体论，以及数学知识基于对思想继承的内部反思的认识论；这是一种远离形式主义的数学形而上学。但许多建构主义者在不接受他的形而上学的情况下，接受了布劳威尔对数学正确性（真理，如果有人准备谈论数学真理）与可证明性的认同或密切联系。这种认同不仅适合某种形式主义，它拒绝数学论文代表独立于思想的现实这一观点，并且还根据在某些方面可证明的理论来区分数学的绵羊和山羊。正式系统，与那些不可证伪的系统。

但直觉主义者和形式主义者之间也存在重大差异。一方面，不仅布劳威尔，而且许多后来的建构主义者都拒绝将可证明性与某些正式系统中的可证明性等同起来。另一方面，形式主义者通常觉得可以自由地帮助自己走向经典逻辑，并强调数学家的自由创造力：她应该可以自由地产生她想要的任何数学理论，只有在结果证明它们不一致时才可以撤回它们（在所选的背景逻辑中）。

对于第一点，形式主义者当然就是形式主义者！她将至少在最基本的层面上将正确性与形式证明联系起来。那么，CH 对应关系，或者更好的对应关系，对于形式主义者来说无疑是非常有吸引力的。命题和计算之间的联系，特别是用算法将证明编码为不可约范式的术语，非常适合那些将数学本质上视为没有外部参考的符号洗牌的形式主义版本。

关于第二点，对 CH 对应关系的进一步研究将直觉逻辑的结果推广到各种其他逻辑，特别是经典逻辑（Griffin，1990），以及其他逻辑框架，例如模态逻辑和线性逻辑那么，就没有“公式即类型”所强加的繁琐的逻辑限制，形式主义者无需绑着一只手去战斗。

形式主义者所珍视的自由创造力又如何呢？当然，建构主义类型理论已经远远超出了海廷算术的范围。在基于同伦类型理论的单价基础项目中可以找到特别雄心勃勃的扩展（Awodey，2014）。那么，这就是基于公式作为类型的形式主义可能追求的一条途径。但对于一个希望对非建构主义数学持非修正主义态度的形式主义者来说，前景可能不太明朗。仅在标准框架中添加产生特定理论的额外公理或推理规则是不够的，例如一阶或高阶语言的。因为需要做进一步的工作来证明在该系统中获得了 CH 通信的扩展。

此外，在证明理论性质（直觉主义逻辑满足）的意义上也存在素数问题，即当 ⊢ A ∨ B 则 ⊢ A 或 ⊢ B 时。经典理论通常不具有此性质，除非完全否定，这将为推广 CH 对应关系和证明排中值的合理性带来问题（假设形式主义者并不简单地将所有非平凡演算视为合法而无需理由）。如果一个数学主张的正确性，相对于一个特定的框架，是与可证明性等同的，并且如果一个析取在两个析取都不可证明的情况下是正确的，那么形式主义者似乎需要一些花哨的步法——超估价主义在这里显然不合适——来证明使用的合理性。经典逻辑。

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