代数命题逻辑（三）

上面示例中的共同模式是代数语义由

一类代数\ bk，

在\ bk中的每个代数中，一组指定元素扮演角色1^{\ ba}（更确切地说是集合\ {1^{\ ba} \}）在古典和直觉逻辑的情况下扮演

这组指定的元素可以通过方程式来定义（以每个代数的方式），从某种意义上说，它是满足方程式（即其解决方案）的代数元素的集合。对于ba和ha，方程为p \ top。对于\ bral，它是p \ rightarrow（p \ wedge p）\ of p \ rightarrow p，对于\ bilsubz，它是1 \ wedge p \ p \ 1。

Blok和Pigozzi的代数语义概念的重点来自上面（3）所述的实现，即已知逻辑的代数语义中考虑的一组指定元素实际上是方程解决方案的集合，并且是方程解决方案的集合，并且什么实践迫使研究人员在试图获得新逻辑代数语义时寻找新逻辑的语义，尽管不是在这些术语中明确提出的，这是在每个代数中均匀定义一组指定元素的平等方法为了获得代数的音质和完整定理。

现在，我们可以揭示代数语义的数学精确概念。为了发展逻辑代数的富有成果和一般的理论，除了众所周知的具体例子之外，还必须进行一些概括。在代数语义的定义中，一个人从单个方程式转变为一组指定元素的确定性条件。

在说明Blok和Pigozzi的定义之前，我们需要引入符号惯例。给定一个代数\ ba和一组方程\ ieq在一个变量中，我们用\ teq（\ ba）表示\ ba的元素集，使\ ba的元素满足\ ieq中的所有方程。然后，如果有一个代数\ bk和一组方程\ ieq，则说明逻辑\ bl具有代数语义

(**)

\ gamma \ vdash _ {\ bl} \ phi \ phi \ txtiff for \ bk in \ bk in \ bk和每个估值v on \ ba，如果\ ba，如果\ bv [\ gamma] \ subseteq \ subseteq \ ieq（\ ba），然后）\ in \ teq（\ ba）。

在这种情况下，我们说代数\ bk的类是\ bl的\ ieq-elgebraic语义，或者是\ bl的对（\ bk，\ ieq）是\ bl的代数语义。如果\ ieq由单个方程式\ delta（p）\ of varepsilon（p）组成，我们将简单地说\ bk是\ delta（p）\ oft \ varepsilon（p） - algebraic semantics for \ bl。实际上，Blok和Pigozzi要求\ IEQ在代数语义的定义中应是有限的。但是最好是更一般。该定义显然涵盖了示例中遇到的情况。

如果\ bk是\ ieq-algebraic语义，用于finality Logic \ bl和\ ieq是有限的，则\ bk产生的准逆性也是\ ieq-eeq-orgebraic语义。如果我们考虑生成的品种，通常不会达到同样的成绩。因此，在开发限制逻辑代数的代数化理论时，将代数的准律师视为代数语义，而不是产生它们的任意子类，这是习惯性和有用的。相反，如果准疗法是\ ieq-algebraic语义的\ bl和\ ieq是有限的，那么生成它的绝对分类的任何子类也是如此。

在行为最好的情况下，逻辑的典型代数语义是一种多样性，例如，在上面讨论的所有示例中。但是在某些情况下，它没有（请参阅Blok＆Pigozzi 1989）。

准合资可以是逻辑的\ ieq-algebraic语义，而\ ieq” - algebraic语义是另一种逻辑的语义（带有\ ieq and \ ieq'不同）。例如，由于Glivenko的定理（请参阅Intuitionistic逻辑上的条目），Heyting代数的类是\ {\ neg \ neg \ neg \ neg \ neg p \ lig 1 \} - 古典逻辑的代数语义，它是标准\ {p \ ail 1 \} - 直觉逻辑的代数语义。此外，代数的不同准植物可以是同一逻辑的IEQ-orgebraic语义。众所周知，有一个准确包含各种布尔代数的准整流，它也是经典命题逻辑的\ {p \ oft 1 \} - 代数语义。还知道，对于具有代数语义的某些逻辑（相对于某些方程组），与逻辑相对应的自然代数类别不是代数语义（对于任何一组方程式）。这种情况所存在的一个示例是在本地普通模态逻辑\ blk中。最后，有些逻辑没有任何代数语义。

这些事实强调了对一对善良（\ bk，\ ieq）良好性的某些标准的需求，以便在某些存在时为逻辑\ bl提供天然的代数语义。这样的标准之一就是\ bl是（\ bk，\ ieq）作为代数语义的代数逻辑。 \ bk的另一个是与逻辑\ bl相关的代数的天然类别。逻辑系统的自然代数类别的概念将在第8节中讨论，以及第9节中代数可逻辑的概念。

有兴趣的读者可以检查Blok＆Rebagliato 2003，以了解有关该主题的最新结果的逻辑和Moraschini的代数语义的研究（本文有证据表明，当地正常的自然代数类别是事实模态逻辑\ blk，即模态代数类，不是代数语义（对于任何一组方程）。

有一种具有代数语义的特定且重要的逻辑，其中包括古典和直觉逻辑。它是所谓的断言逻辑的类别。

令\ bk为代数语言的一类代数，以\ bk的恒定术语，即公式\ phi（p_1，\ ldots，p_n），以至于每个代数\ ba \ bk \ bk in \ bk和element ldots，a_n，b_1，\ ldots，\ ba的b_n，\ phi^{\ ba} [a_1， \ ldots，a_n] = \ phi^{\ ba} [b_1，\ ldots，b_n]，也就是说，在\ bk中的每个代数中，\ phi都具有相同的值，无论我们在\ phi on中的\ phi on oth \ phi on oth \ phi on oth \ phi on \ ba。我们用\ phi^{\ ba}表示这个值。因此，\ phi充当常数（相对于\ bk中的代数）和\ phi^{\ ba}（for \ ba \ in \ bk）可以作为指定元素。

给出了一类代数\ bk，用代数语言，具有恒定术语\ phi的\ bk，\ bk的持续逻辑\ bl _ {\ bk}^{\ phi}（\ bk，\ phi）由（\ phi）定义

\ gamma \ vdash _ {\ bl _ {\ bk}^{\ phi}}} \ phi \ txtiff in \ in \ bk（\ bl）in \ bk（\ bl）和每个估值v on \ ba，如果\ ba，则phi^{\ ba}对于\ gamma中的所有\ psi \，然后\ bv（\ phi）= \ phi^{\ ba}。

当存在\ bl的代数语言的代数\ bk时，一个逻辑系统\ bl是断言的，\ bk的常数术语\ phi因此，\ bl = \ bl = \ bl _ {\ bk}^{\ phi}。

关于断言逻辑的最新研究是Albuquerque等。 2018年。我们向读者讲述了本文的读者，其中解决了我们在后面部分中介绍的逻辑系统和弗雷格层次结构中主张逻辑的分类，并讨论了几个示例。

6。逻辑矩阵

在上一节中，我们看到，在许多情况下，在每个代数中都需要考虑一组指定元素，而不是单个指定的元素，我们需要在许多情况下提供代数语义。在我们讨论的示例中，指定元素集可以通过一个方程在代数中定义。这激发了第5节中代数语义的定义。对于许多逻辑，使用与它们自然相关的代数类别获得类似于代数语义的语义，每个代数都需要仅使用一组指定元素，而这些元素仅使用一个无法使用的代数代数语言的方程式，甚至仅通过使用此语言才能定义。正如我们已经提到的那样，发生这种情况的一个例子是正常模态逻辑K的局部结果。此外，请回想一下，根本没有代数语义的逻辑。

要赋予每个代数类型的语义，至少必须考虑代数以及一组指定元素，而不需要使用相应的代数语言对其确定性进行任何要求。这些对是逻辑矩阵。塔斯基（Tarski）定义了1920年代逻辑矩阵的一般概念，但该概念已经在ukasiewicz，bernays，post等先前的工作中隐含了，他们使用真理表，无论是独立证明还是定义了与古典逻辑不同的逻辑。逻辑矩阵是一对\ langle \ ba，d \ rangle，其中\ ba是一个代数，d \ ba的宇宙a子集； D的元素称为矩阵的指定元素，因此D称为指定元素集（一些作者称其为矩阵的真实集）。逻辑矩阵首先被用作特定逻辑系统定理的模型，例如在麦肯锡和塔斯基的工作中，也定义了具有与逻辑系统集合集合的属性相似的公式集，即在下面闭合的属性。替代实例。这就是olukasiewicz及其无限值逻辑的N值逻辑的情况。正是Tarski首先将逻辑矩阵视为定义这种集合的一般工具。

本条目中解释的逻辑矩阵的一般理论主要归功于波兰逻辑学家，从1949年oloś开始，并在lindenbaum先前的作品建立基础。在和苏斯科的纸质矩阵中，首次使用逻辑系统模型（从我们的意义上）使用，并定义了这些系统。

在本节的其余部分中，我们使用现代术语介绍了逻辑矩阵理论的相关概念。

给定逻辑\ bl，逻辑矩阵\ langle \ ba，d \ rangle被认为是\ bl的模型，如果\ gamma \ vdash _ {\ bl} \ phi，则在\ ba上映射\ ba的每个估值v \ gamma的某些指定值（即D的元素）也将\ phi映射为指定的值。当\ langle \ ba时，d \ rangle是\ bl的模型，据说d是代数\ ba的\ bl-filter。代数\ ba的\ bl滤波器集在逻辑系统的代数理论中起着至关重要的作用。我们将稍后到这一点。

逻辑矩阵的类\ bm被认为是逻辑\ bl的矩阵语义

(*)

\ gamma \ vdash _ {\ bl} \ phi \ phi \ txtiff for every \ langle \ ba，\ td \ rangle \ in \ bm in \ bm和每个估值v on \ ba on \ ba，if \ bv [\ gamma] \ phi）\。

从左到右的含义表明，\ bl是相对于\ bm的声音，而另一个含义则表明它已经完成。换句话说，\ bm是\ bl的矩阵语义，并且仅当\ bm中的每个矩阵都是\ bl的模型，并且对于每个\ gamma和\ phi，\ gamma \ gamma \ not \ vdash _ {\ bl} \} phi有一个模型\ langle \ ba，\ td \ rangle \ bl \ bm中的rangle，目睹了这一事实，即该模型上有一个估值，将\ gamma中的公式发送给指定元素和指定元素和\ phi至一个未指定的。

逻辑矩阵也用于语义定义逻辑。如果\ cm = \ langle \ ba，d \ rangle是一个逻辑矩阵，则定义的关系

\ gamma \ vdash _ {\ cm} \ phi \ txtiff for \ ba上的每个估值v in \ ba if \ bv（\ psi）\ in D in d in \ in \ gamma in \ in \ gamma中，然后\ bv（\ phi）\ in D

是替代不变的结果关系；因此，\ langle l，\ vdash _ {\ cm} \ rangle是逻辑系统。同样，我们可以通过将条件（*）作为后果关系定义来定义一类矩阵\ bm的逻辑。在许多值逻辑的条目中，读者可以找到以这种方式定义的几个逻辑。

每个逻辑（独立于定义的方式）都有一个矩阵语义。此外，每个逻辑都有一个矩阵语义，其元素具有以下意义减少的属性：矩阵\ langle \ ba，如果没有两个不同的元素以相同的方式行为。我们说，如果每个公式\ phi（q，p_1，\ ldots，p_n）和所有元素d_1，\ ldots，\ ldots，d_n \ in d_n in \ in a \ phi^{\ ba} [a，d_1，\ ldots，d_n] \ in d \ txtiff \ phi^{\ ba} [b，ba} [b， d_1，\ ldots，d_n] \在D中。之一} [b，d_1，\ ldots，d_n]属于d，但不属于两者。在\ langle \ ba中以相同方式行为的关系，d \ rangle是\ ba的一致关系。这种关系以Blok＆Pigozzi 1986，1989的名义而闻名，为矩阵\ langle \ ba，d \ rangle的leibniz一致性，并用\ bomega _ {\ ba}（d）表示。它可以被描述为与d兼容的\ ba的最大一致性关系，即，它与d中的元素不与D元素中的元素无关。 Blok和Pigozzi在1980年代开发的逻辑系统中。读者被称为字体，Jansana和Pigozzi 2003和Czelakowski 2001，以获取有关此期间莱布尼兹一致性概念的广泛信息。

每个矩阵\ cm可以通过识别其leibniz一致性相关的元素来变成减少的矩阵。该矩阵称为\ cm的还原，通常用\ cm^*表示。矩阵及其还原是相同逻辑系统的模型，并且由于降低的矩阵没有冗余元素，因此通常以逻辑系统矩阵语义为矩阵的矩阵类别通常被视为应有的矩阵类别；它们更适合用代数式的术语编码具有它们作为矩阵语义的逻辑的属性。

每个逻辑系统都具有降低的矩阵语义（即，由降低矩阵组成的矩阵语义）的证据如下。令\ bl为逻辑系统。考虑矩阵\ langle \ bfm_l，t \ rangle在公式代数上，其中t是\ bl的理论。这些矩阵被称为\ bl的Lindenbaum矩阵。不难看到这些矩阵的类是\ bl的矩阵语义。由于矩阵及其还原是相同逻辑的模型，因此\ bl的lindenbaum矩阵的减少也构成了\ bl的矩阵语义，而且确实是一个减少的矩阵语义。此外，包括\ bl的还原lindenbaum矩阵的任何\ bl的降低矩阵模型都是\ bl的完整矩阵语义。特别是，\ bl的所有还原矩阵模型的类是\ bl的完整矩阵语义。我们用\ brmatr（\ bl）表示此类。

上述证据可以看作是Lindenbaum-Tarski方法的概括，用于证明代数完整性定理，我们将在下一节中讨论。

\ brmatr（\ bl）中矩阵代数的类别在逻辑的代数理论中起着重要的作用，并且用\ balg^*\ bl表示。很长一段时间以来，自然等代数必须与给定的逻辑\ bl作为代数对应物相关。例如，在上面考虑的示例中，代数的类别被视为不同逻辑的代数语义（布尔代数，heyting代数等），正是相应逻辑\ bl的类\ balg^*\ bl。实际上，类\ balg^*\ bl吻合与1990年代所研究的所有逻辑\ bl的自然代数类别相吻合。在1990年代，由于获得了以前未曾研究过的几种逻辑的知识，一些作者提出了另一种方法来定义代数类别，这些代数必须被视为代数对应物，该代数与给定的逻辑\ bl相关。对于许多逻辑\ bl，它准确地导致了类\ balg^*\ bl，但对于其他类，它提供了一个可以正确扩展它的类。我们将在第8节中进行讨论。

7。用于证明代数完整定理的Lindenbaum-Tarski方法

现在，我们讨论了最常用的方法来证明一类代数\ bk是逻辑\ bl的\ delta（p）\ of varepsilon（p） - 代数语义\ bl，即lindenbaum-tarski方法。这是用于证明第5节中提到的示例的代数类别的标准方法是相应逻辑的代数语义。

Lindenbaum-Tarski方法在两个方面促进了对逻辑代数化理论中重要概念的阐述。它是Blok和Pigozzi的代数逻辑概念的基础，并反思了某些方法来为每种逻辑定义一类代数是合理的，可以证明提供自然类。我们将在第8节中考虑此问题。

Lindenbaum-Tarski方法可以概述如下。要证明一类代数\ bk是\ delta（p）\ of cour v \ varepsilon（p） - 逻辑\ bl的algebraic语义，首先显示\ bk给出了声音\ delta（p） （p） - \ bl的序列，即，如果\ gamma \ vdash _ {\ bl} \ phi，则为每个\ ba \ in \ bk in \ bk，每个估值v在\ ba中，如果\ gamma中的公式的值满足\ delta（p）\ about \ varepsilon（p），则\ phi的值也是如此。其次，另一个方向，即完整性部分，由适当地称为Lindenbaum-Tarski方法证明。该方法使用\ bl的理论在公式的代数上获得矩阵，然后还原这些矩阵，以便为每个矩阵获取一个矩阵，其代数位于\ bk中，其指定元素集为代数的元素集集。满足\ delta（p）\大约\ varepsilon（p）。我们继续逐步描述方法。

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